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1、开始开始 1.已知向量已知向量a,b，在平面上任取一点，在平面上任取一点A，作，作AB=a,BC=b，再，再作向量作向量AC，则向量，则向量AC叫做叫做a与与b的的 记作记作 ，即，即a+b=AB+BC=.上述求两个向量和的作图法则，上述求两个向量和的作图法则，叫做叫做 .2.已知两个不共线向量已知两个不共线向量a,b,作作AB=a,AD=b，则，则A，B，D三点三点不共线，以不共线，以AB,AD为邻边作平行四边形为邻边作平行四边形ABCD,则对角线上则对角线上的向量的向量AC=.这个法则叫做两个向量求和的这个法则叫做两个向量求和的 .3.已知向量已知向量a,b,c,d，在平面上任选一点，在平
2、面上任选一点O，作，作OA=a,AB=b,BC=c,CD=d，则，则OD=OA+AB+BC+CD=a+b+c+d.已知已知n个向量，依次把这个向量，依次把这n个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n个向量个向量的终点为终点的向量叫做的终点为终点的向量叫做 .这个法则叫做向量这个法则叫做向量求和的求和的 .和（或和向量）和（或和向量）a+bAC向量求和的三角形法则向量求和的三角形法则平行四边形平行四边形法则法则这这n个向量的和个向量的和向量多边形法则向量多边形法则返回返回 4.运算律运算律交换律：交换律：a+b=；结合律：结合律：(a+b)+c=
3、.5.如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是 以以 为始点，为始点，为终点的向量为终点的向量.6.一个向量一个向量BA等于它的终点相对于点等于它的终点相对于点O的位置向量的位置向量OA减去它减去它的始点相对于点的始点相对于点O的位置向量的位置向量OB，或简，或简 记记“”.7.与向量与向量a方向相反且等长的向量叫做方向相反且等长的向量叫做a的的 ，记作，记作-a.显显然然a+(-a)=.8.从一个向量减去另一个向量等于加上从一个向量减去另一个向量等于加上 .b+aa+(b+c)减向量的终点减向量的终点被减向量的终点被减向量的终点终点向量
4、减始点向量终点向量减始点向量相反相反向量向量0这个向量的相反向量这个向量的相反向量返回返回 学点一学点一 向量的加、减法运算向量的加、减法运算 1.化简下列各式：化简下列各式：（1）（）（AB+CD）+（BC+DE）；）；（2）（）（AB-CD）+（BD-AC）.【分析】【分析】本题考查向量加法和减法的字母形式及运用向量加本题考查向量加法和减法的字母形式及运用向量加法的交换律和结合律的能力法的交换律和结合律的能力.【解析】【解析】（1）（）（AB+CD）+（BC+DE）=（AB+BC）+（CD+DE）=AC+CE=AE.返回返回（2）（）（AB-CD）+（BD-AC）=（AB-AC）+（BD-
5、CD）=CB+（BD+DC）=CB+BC=0.【评析】【评析】n(nN*)个向量通过平移，顺次使前一向量的终点个向量通过平移，顺次使前一向量的终点与后一向量的始点重合，组成一向量折线，连续应用向量加与后一向量的始点重合，组成一向量折线，连续应用向量加法的三角形法则，可以得到这法的三角形法则，可以得到这n个向量和等于折线的始点到个向量和等于折线的始点到终点的向量，即终点的向量，即A1A2+A2A3+An-1An=A1An，若组成一个，若组成一个封闭图形，则其向量为封闭图形，则其向量为0，另外注意向量，另外注意向量0与实数与实数0的区别的区别.返回返回 2.已知点已知点C是向量是向量AB上一点，求
6、证：上一点，求证：AC+CB+BA=0.【分析】【分析】画出图形，观察分析出三个向量的关系，运用加画出图形，观察分析出三个向量的关系，运用加法法则可得法法则可得.【证明】【证明】由向量加法及减法运算法则得由向量加法及减法运算法则得AC+CB+BA=AB+BA=AB-AB=0.若点若点C与点与点A重合，则重合，则AC=0，CB=AB，AC+CB+BA=AB+BA=AB-AB=0；若点若点C与点与点B重合，也可证明结论成立重合，也可证明结论成立.因此，因此，AC+CB+BA=0.返回返回【评析】（【评析】（1）若点）若点C是向量是向量AB所在直线上一点，结论仍然所在直线上一点，结论仍然成立成立.证
7、明如下：证明如下：不妨设点不妨设点C在在AB的延长线上，则的延长线上，则AC+CB+BA=AC-BC+BA=AB+BA=0.同理，当点同理，当点C在在BA的延长线上时，结论也成立的延长线上时，结论也成立.（2）若点）若点C1，C2，Cn是是AB所在直线上的点所在直线上的点(nN*)，可以推出可以推出AC1+C1C2+C2C3+CnB+BA=0，请同学们自己，请同学们自己证明证明.返回返回 用图中用图中a，b，c，d表示向量表示向量AB.连接连接AC，AD.在在ADE中，中，AD=AE+ED=a-b,在在ADC中，中，AC=AD+DC=a-b+c，最后在最后在ABC中，中，AB=AC+CB=a-
8、b+c-d.返回返回 在四边形在四边形ABCD中，中，AC=AB+AD，试判断四边形的形状，试判断四边形的形状.【分析】【分析】要结合图形中的三角形运用向量加减法的法则要结合图形中的三角形运用向量加减法的法则.学点二学点二 向量加、减法在平面几何中的应用向量加、减法在平面几何中的应用 【评析】如果再添上【评析】如果再添上|AB|=|AD|，那么四边形，那么四边形ABCD是菱形，是菱形，如果如果AB和和AD垂直，那么此四边形就是矩形了垂直，那么此四边形就是矩形了.【解析】【解析】如图如图2-2-3所示，由向量加法的三角形法则得所示，由向量加法的三角形法则得AC=AD+DC，AC=AB+AD，AB
9、=DC，即即ABDC，且，且|AB|=|DC|，四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形.返回返回 如图如图2-2-4所示，已知所示，已知O为为平行四边形平行四边形ABCD内一点，内一点，OA=a,OB=b,OC=c，用，用a，b，c表示表示OD.解法一：解法一：OD=OA+AD=OA+BC=a+(OC-OB)=a+c-b.解法二：解法二：OD=OA+AB+BC+CD=OA+BC+(AB+CD)=OA+BC+0=OA+BO+OC=a-b+c=a+c-b.返回返回 已知向量已知向量a，b，求证求证:a-b aba+b.【分析】【分析】借助平行四边形中的三角形，运用三角形的基本借助平行四边形中
10、的三角形，运用三角形的基本性质性质“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”解题解题.学点三学点三 向量运算法则的综合应用向量运算法则的综合应用 返回返回【证明】【证明】（1）当）当a与与b不共线时，如图所示，设不共线时，如图所示，设OA=a,OB=b，作平行四边形，作平行四边形OACB，则，则OC=a+b，BA=a-b.在在OAB中，中，OA+OBBA，即即a+ba-b；OB-OABA,OA-OBBA，即即a-ba-b.在在OBC中，中，BC+OBOC，即即a+ba+b;BC-OBOC,OB-BCOC，即即a-ba+b.a-baba+b.返回返回(2)当
11、当a与与b方向相同时，方向相同时，a+b=a+b；a-b=a-b.(3)当当a与与b方向相反时，方向相反时，a+b=a-b；a-b=a+b.综合综合(1)(2)(3)可知可知a-baba+b.【评析】本题解题的关键在于正确运用【评析】本题解题的关键在于正确运用“数形结合数形结合”的思想的思想方法，解题的突破口是向量加减法的几何意义和几何知识方法，解题的突破口是向量加减法的几何意义和几何知识“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”.由于应由于应用了向量加法的平行四边形法则，因此，对于用了向量加法的平行四边形法则，因此，对于a，b共线的情共线的情
12、况要单独讨论况要单独讨论.返回返回 已知已知|AB|=6，|CD|=9，求，求|AB-CD|的取值范围的取值范围.如图如图，将，将A，C重合，由向量的减法知，重合，由向量的减法知，当当AB与与CD同向（即同向（即B重合于重合于B1点）时，点）时，|AB-CD|=9-6=3，达到最小值；，达到最小值；当当AB与与CD反向（即反向（即B重合于重合于B2点）时，点）时，|AB-CD|=9+6=15，达到最大值，达到最大值.故故|AB-CD|的取值范围是的取值范围是3,15.返回返回 1.向量和有什么特点？向量和有什么特点？向量和与数量和是不同的向量和与数量和是不同的.向量和的特点是：向量和的特点是：
13、（1）两个向量的和仍是一个向量；两个向量的和仍是一个向量；（2）当向量当向量a与与b不共线时，不共线时，a+b的方向与的方向与a，b都不同向，且都不同向，且|a+b|b|，则，则a+b的方向与的方向与a相同，且相同，且|a+b|=|a|-|b|;若若|a|b|，则，则a+b的方向与的方向与b相同，且相同，且|a+b|=|b|-|a|.即当即当a与与b反向时，反向时，a+b的方向与的方向与a，b中模较大的向量的方向相同中模较大的向量的方向相同.返回返回 2.向量加、减法的三角形法则是怎样的？向量加、减法的三角形法则是怎样的？（1）向量加法的三角形法则的式子内容是：两个向量（均向量加法的三角形法则
14、的式子内容是：两个向量（均指用两个字母表示的向量）相加，则表示第一个向量终点的指用两个字母表示的向量）相加，则表示第一个向量终点的字母与表示第二个向量始点的字母必须相同（否则无法相加）字母与表示第二个向量始点的字母必须相同（否则无法相加），这样两个向量的和向量是以第一个向量的始点的字母为始，这样两个向量的和向量是以第一个向量的始点的字母为始点，以第二个向量终点的字母为终点；点，以第二个向量终点的字母为终点；（2）向量减法的三角形法则的式子内容是：两个向量相减向量减法的三角形法则的式子内容是：两个向量相减,则表示两个向量始点的字母必须相同（否则无法相减），这则表示两个向量始点的字母必须相同（否则无法相减），这样两个向量的差向量是以减向量的终点的字母为始点，以被样两个向量的差向量是以减向量的终点的字母为始点，以被减向量的终点的字母为终点减向量的终点的字母为终点.返回返回 向量加减法的平行四边形法则和三角形法则是向量运算向量加减法的平行四边形法则和三角形法则是向量运算的基础，也是解平面几何问题、有关物理问题的基础，的基础，也是解平面几何问题、有关物理问题的基础，因此，是考试重点因此，是考试重点.一定要结合图形，找出运算的几何意一定要结合图形，找出运算的几何意义，结合平面几何知识求解义，结合平面几何知识求解.返回返回