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1、1 / 11【2019【2019 最新最新】精选高二数学下学期第一次段考试题精选高二数学下学期第一次段考试题 4 4 月试题理月试题理一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的 1. 下列函数求导运算正确的个数为(3x)3xlog3e；(log2x)； cos ；x.A. 1B. 2C. 3D. 42. 函数的导函数的图象如右图所示，则函数的图象可能是 A. B. C. D. 3. 已知函数 的导函数 ，若 在 处取到极大值，则 的取值范围是 A. B. C. D. 4. 曲线 与直线 及 所围成的封闭图形的面积为 A. B. C.
2、D. 5. 已知曲线的方程为，给定下列两个命题：C22 1259xy kk2 / 11:p若，则曲线为椭圆； 若曲线是焦点在轴上的双曲线，则925kC:qCx9k 那么，下列命题中，真命题是A. B. C. D. pq()pq ()pq()()pq 6. 若函数 在 上是增函数，则 的取值范围是 A. B. C. D. 7. 设函数 有三个零点 ，且 ，则下列结论正确的是 A. B. C. D. 8. 曲线 上的点到直线 的最短距离是 A. B. C. D. 9. 某堆雪在融化过程中，其体积 （单位：）与融化时间 （单位：）近似满足函数关系：（为常数），其图象如图所示记此堆雪从融化开始到结束的
3、平均融化速度为 那么，瞬时融化速度等于 的时刻是图中的 A. B. C. D. 10. 设函数 是奇函数 的导函数，当 时，则使得 成立的 的取值范围是 A. B. C. D. 3 / 1111. 已知函数，若且，则的取值范围是 exexeexxxxf,23 210 ,ln2, cba cfbfafcbaablnlnA. B. C. D. ee 3 ,ee ,3e3 , 11,3 e12. 已设函数 f(x)ex(2x1)axa，其中，若存在唯一的整数 x0，使得，则 a 的取值范围是1a 0()0f xA. ，1)B. )C. )D. ，1)3 2e33,24e33,24e3 2e二、填空题
4、：本大题共 4 小题，每小题 5 分13. 定积分 的值为 14. 已知三棱锥中，平面，且，则三棱锥的外接球的表面积为 ABCDAB BCDACCD2,1ABBCCDABCD15. 若直线 与曲线 相切，则 16. 是双曲线右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值为 P2 2115yx ,M N22(4)4xy22(4)4xyPMPN三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17. (本小题 10 分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为 r 米，高为 h 米，体积为 Vm2.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为 100 元/m3，底面的建造成
5、本为 160 元/m2，该蓄水池的总建造成本为 12 000 元( 为圆周率)（1）将 V 表示成 r 的函数 V(r)，并求该函数的定义域；（2）讨论函数 V(r)的单调性，并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大4 / 1118. (本小题 12 分)已知经计算得，（1）由上面数据，试猜想出一个一般性结论；（2）用数学归纳法证明你的猜想19. (本小题 12 分)如图，在三棱柱 中，点 是线段 的中点（1）证明：；（2）若 ，求二面角 的余弦值20. (本小题 12 分)设函数 （1）若 ，求 的单调区间；（2）若当 时 ，求 的取值范围21. (本小题 12 分)已知椭圆 的离心率
6、是 ，且过点 直线 与椭圆 相交于 ， 两点（1）求椭圆 的方程；（2）设直线 ， 分别与 轴交于点 ，判断 ， 的大小关系，并加以证明22. (本小题 12 分)已知函数，其中设（1）若 在 处取得极值，且 ，求函数 的单调区间；（2）若 时，函数 有两个不同的零点 ，求 的取值范围；求证：答案答案一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的 ADBBC DDACB AD5 / 11二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13. 14. 15. 16. 54三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17. (1)因为
7、蓄水池侧面的总成本为 1002rh200rh 元，底面的总成本为 160r2 元，所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元，又据题意 200rh160r212 000，1 分所以 h(3004r2)，2 分从而 V(r)r2h(300r4r3)4 分因 r0，又由 h0 可得 r0，故 V(r)在(0,5)上为增函数；8 分当 r(5,5)时，V(r)0，故 V(r)在(5,5)上为减函数9 分由此可知，V(r)在 r5 处取得最大值，此时 h8，即当 r5，h8 时，该蓄水池的体积最大10 分18.（1） 由题意知，6 / 11由此得到一般性结论：（或者猜想 也行）4 分（2） 当 时
8、，猜想成立5 分 假设 时，结论成立，即 ，6 分那么， 时，7 分9 分10 分所以当 时，猜想也成立11 分由 可知，上述结论对 都成立，所以猜想成立12 分19.（1） 连接 AC1，交 A1C 于点 M。连接 OM，BC1。因为 棱柱的侧面是平行四边形，所以 M 是 AC1 的中点。又因为 O 是 AB 中点，所以 OM 是ABC1 的中位线，1 分所以 OMBC1。2 分又因为 OM平面 OA1C，BC1平面 OA1C，3 分所以 BC1平面 OA1C4 分（2）连接，因为 ，故 ， 都为等边三角形。7 / 11因为 O 是 AB 中点，所以 ，。因为，所以 OCOA1，A1C2OC
9、2A1O2。所以 OCOA1。所以 ， 两两垂直，5 分以 为原点， 所在直线分别为 x， 轴，建立空间直角坐标系，则 ，6 分，7 分设平面 的法向量 ，则 8 分取 ，得 ，9 分平面 的法向量 ，10分设二面角 的平面角为 ，显然为锐角，故 11 分所以二面角 的余弦值为 12 分20. （1） 时，2 分令 ，可得 或 ；令 ，可得 4 分8 / 11所以函数的单调增区间是 ，；单调减区间为 6 分（2） 令 ，则 8 分若 ，则当 时， 为增函数，而 ，从而当 时，即 9 分若 ，则当 时， 为减函数，而 ，从而当 时，即 11 分综合得 的取值范围为 12 分21. （1） 设椭圆
10、 的半焦距为 ，因为椭圆 的离心率是 ，所以 ，即 ，1 分由 解得 3 分所以椭圆 的方程为 4 分（2） 证明如下：将 代入 ，消去 整理得 ，5 分令 ，解得 ，6 分设 ，9 / 11则 ，7 分设直线 ， 的斜率分别是 ，则 ，其中10 分所以直线 ， 的倾斜角互补，所以 ，所以 ，11分所以 12 分22. （1） 因为 ，所以 ，1 分由 可得 又 在 处取得极值，所以 ， 所以 ，所以 ，其定义域为 ，2 分令 ，得 ，当 时，；当 时，； 所以函数 的增区间为 ，减区间为 3 分10 / 11（2） 当 时，其定义域为 ，由 得 ，记 ，由题意得 与函数 的图象有两个不同的交点，4分又 ，5 分令 ，且 ，得 ；令 ，且 ，得 ；所以 在 上单调递减，在 上单调递增；所以当 时， 取得最小值 ，6 分又 ，所以当 时，而当 时，当 时，7 分因为与函数 的图象有两个不同的交点，所以 的取值范围是 8 分由题意得 ，所以 ，所以 ，则 ，不妨设 ，要证 ，只需要证 ， 即证 ，9 分设 （），则 ，10 分令 （），11 / 11所以 ，11 分所以函数 在 上单调递增，所以 ，即 ，12 分所以 ，即