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1、 北 京 市 西 城 区2 0 1 0 2 0 1 1学 年 度 第 一 学 期 期 末 试 卷 九年级数学 2011.1 考生须知 1本试卷共 5 页，共五道大题，25 道小题，满分 120 分。考试时间 120 分钟。2试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。3在答题卡上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的 1.抛物线212yx的对称轴为（）.A直线1x B直线1x C直线2x D直线2x 2.如图，AB为O的直径，点C在O上，若C=15，则BOC=（）.A
2、60 B45 C30 D15 3.如图，在 84 的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则 tanACB的值为（）.A1 B13 C12 D 22 4用配方法将2611yxx化成2()ya xhk的形式为（）.A2(3)2yx B2(3)2yx C2(6)2yx D2(3)2yx 5如图，将ABC的三边分别扩大一倍得到111ABC（顶点均在格点上），若它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是（）.A(4,3)B(3,3)C(4,4)D(3,4)6.某商店购进一种商品，单价为 30 元试销中发现这 种商品每天的销售量P（件）与每件的销售价x（元）满
3、足关系：1002Px.若商店在试销期间每天销售这种商品获得 200 元的利润，根据题意，下面所列方程 正确的是（）.A(30)(1002)200 xx B(1002)200 xx C(30)(1002)200 xx D(30)(2100)200 xx 7.如图，OAB中，OA=OB，A=30，O与AB相切，切点为E，并分别交 OA，OB于C，D两点，连接CD.若CD等于2 3，则扇形OCED的面积等于（）.A23 B43 C83 D163 8.如图，OA=4，线段OA的中点为B，点P在以O为圆心，OB为半径的圆上运动，PA的中点为Q.当点Q也落在O上时，cosOQB的值等于（）.A12 B13
4、 C14 D23 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分）9.如图，在ABC中，DEAB分别交AC，BC于点D，E，若AD=2，CD=3，则CDE与CAB的周长比为 .10.两圆的半径分别为 3cm 和 4cm，若圆心距为 5cm，则这两圆的位置关系 为 .若11.如图，平面直角坐标系xOy中，点A(2,0)，以OA为半径作O，点P，B都在 O上，且四边形AOPB为菱形，则点P的坐标 为 .12抛物线2yaxbxc（a 0）满足条件：（1）40ab；（2）0abc；（3）与x轴有两个交点，且两交点间的距离小于 2 以下有四个结论：0a；0c；0abc；43cca，其中所有正确结论的序号是
5、 三、解答题（本题共 31 分，第 1317 题每小题 5 分，第 18 题 6 分）13计算：26tan 303sin60cos45 14若关于x的方程 2430 xxa有实数根 （1）求a的取值范围；（2）若a为符合条件的最小整数，求此时方程的根 15已知：如图，在 RtABC中，C=90，ABC=60，AC=3，D为CB延长线上一点，且BD=2AB 求AD的长 16 右图为抛物线cbxxy2的一部分，它经过A(1,0)，B(0,3)两点 （1）求抛物线的解析式；（2）将此抛物线向左平移 3 个单位，再向下平移 1 个单位，求平移后的抛物线的解析式 17.如图，热气球的探测器显示，从热气球
6、看一栋高楼的顶部B的仰角为 45，看这栋高楼底部C的俯角为 60，热气球与高楼的水平距离AD为 50m，求这栋楼的高度.（2取 1.414，3取 1.732）18对于抛物线 243yxx.（1）它与x轴交点的坐标为 ，与y轴交点的坐标为 ，顶点坐标为 ；（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；（3）利用以上信息解答下列问题：若关于x的一元二次方程 2430 xxt （t为实数）在1x72的范围内有 解，则 t 的取值范围是 四、解答题（本题共 19 分，第 20 题 4 分，其余每小题 5 分）19已知：如图，在ABC中，AB=AC=5，BC=8，D，E分别为BC，AB边上一点，ADE=C （
7、1）求证：BDECAD；（2）若CD=2，求BE的长 20两个长为 2，宽为 1 的矩形ABCD和矩形EFGH如图 1 所示摆放在直线l上，DE=2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转角（090），将矩形EFGH绕点E逆时针旋转相同的角度 （1）当两个矩形旋转到顶点C，F重合时（如图 2），DCE=，点C到直线l的距离等于 ，=；（2）利用图 3 思考：在旋转的过程中，矩形ABCD和矩形EFGH重合部分为正 方 形 时，=x y 21 已知：如图，AB 是O 的直径，AC 是弦，ODAC 于点 E，交O 于点 F，连接 BF，CF，D=BFC.（1）求证：AD 是O 的切线；（2）若 AC=8，t
8、anB=12，求 AD 的长.22请阅读下面材料：若10(,)A x y，20(,)B xy 是抛物线2yaxbxc（a 0）上不同的两点，证明直线122xxx 为此抛物线的对称轴.有一种方法证明如下：证明：10(,)A x y，20(,)B xy是抛物线2yaxbxc（a 0）上不同的两点，20112022,yaxbxcyaxbxc 且 1x2x.-得 221212()()0a xxb xx.1212()()0 xxa xxb.12bxxa.又 抛物线2yaxbxc（a 0）的对称轴为2bxa，直线122xxx为此抛物线的对称轴.（1）反之，如果11(,)M x y，22(,)N xy 是抛
9、物线2yaxbxc（a 0）上不同的 两点，直线122xxx 为该抛物线的对称轴，那么自变量取1x，2x时函数值相等吗？写出你的猜想，并参考上述方法写出证明过程；（2）利用以上结论解答下面问题：已知二次函数21yxbx 当 x=4 时的函数值与 x=2007 时的函数值相等，求 x=2012 时的函数值.五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分）23.已知关于x的一元二次方程 2(2)(1)0mxmxm.（其中m为实数）（1）若此方程的一个非零实数根为k，当k=m时，求m的值；若记1()25m kkk为y，求y与m的关系式；（2）当14m2
10、 时，判断此方程的实数根的个数并说明理由.24.已知抛物线2()yaxac xc（其中a c且a 0）.（1）求此抛物线与x轴的交点坐标；（用a，c的代数式表示）（2）若经过此抛物线顶点A的直线yxk 与此抛物线的另一个交点为(,)acBca，求此抛物线的解析式；（3）点P在（2）中x轴上方的抛物线上，直线yxk 与 y轴的交点为C，若 1tantan4POBPOC，求点P的坐标；（4）若（2）中的二次函数的自变量x在nx1n（n为正整数）的范围内取值时，记它的整数函数值的个数为N，则N关于n的函数关系式为 .25.含 30角的直角三角板ABC中，A=30.将其绕直角顶点C顺时针旋转角（012
11、0且 90），得到 RtA B C，A C边与AB所在直线交于点D，过点 D作DEA B交CB边于点E，连接BE.（1）如图 1，当A B边经过点B时，=；（2）在三角板旋转的过程中，若CBD的度数是CBE度数的m倍，猜想m的值并证明你的结论；（3）设 BC=1，AD=x，BDE的面积为S，以点E为圆心，EB为半径作E，当S=13ABCS 时，求AD的长，并判断此时直线A C与E的位置关系.北京市西城区 2010 2011 学年度第一学期期末试卷（北区）九年级数学参考答案及评分标准 2011.1 一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C
12、B D A A B C 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分）9.35.10.相交.11.(1,3)，(1,3).（每个2 分）12.，.（写对一个给 2 分，每写一个错误答案扣 1 分，最低 0 分不倒扣分）三、解答题（本题共 31 分，第 1317 题每小题 5 分，第 18 题 6 分）13解：26tan 303sin60cos45 23326()33223 分 1222.5分 14 解：（1）244(3)a 44a.1 分 该方程有实数根，44a02 分 解得a13 分（2）当a为 符 合 条 件 的 最 小 整 数 时，a=1 4 分 此时方程化为2440 xx，方程的根为1
13、22xx 5 分 15解：在 RtABC中，C=90，ABC=60，AC=3，2sin60ACAB，BC=12 分 D为CB延长线上一点，BD=2AB，BD=4，CD=5 4 分 222 7ADCDAC5 分 16解：（1）抛物线经过A(1,0)，B(0,3)两点，10,3.bcc 1 分 解得 2,3.bc 2 分 抛物线的解析式为223yxx 3 分（2）抛物线223yxx 的顶点坐标为(1,4)，平移后的抛物线的顶点坐标为(2,3)平移后的抛物线的解析式为22(2)341yxxx 5 分 17解：在 RtABD中，BDA=90，BAD=45，BD=AD=50(m)2 分 图1 图2 在
14、RtACD中，ADC=90，CAD=60，350 3CDAD(m)4 分 BC=BD+CD=5050 350(31)136.6(m)5 分 答：这栋楼约高 136.6 m 18解：（1）它与x轴交点的坐标为(1,0),(3,0)，与y轴交点的坐标为(0,3)，顶点坐标为(2,1)；3 分（2）列表：4 分 图象如图 3 所示 5 分（3）t的取值范围是18t 6 分 四、解答题（本题共 19 分，第 20 题 4 分，其余每小题 5 分）19（1）证明：AB=AC，B=C1 分 ADE+BDE=ADB=C+CAD，ADE=C，BDE=CAD 2 分 BDECAD 3 分 （2）解：由（1）得D
15、BACBECD 4 分 x 0 1 2 3 4 y 3 0-1 0 3 图4 图3 AB=AC=5，BC=8，CD=2，6DBBCCD 6 22.45DB CDBEAC 5 分 20 解：（1）DCE=60 ，点C到 直 线l的 距 离 等 于3，=30；3 分（2）=45 4 分 21（1）证明：ODAC 于点 E，OEA=90，1+2=90 D=BFC，BFC=1，D+2=90，OAD=90 OAAD 于点 A1 分 OA 是O 的半径，AD 是O 的切线 2 分 （2）解：ODAC 于点 E，AC 是O 的弦，AC=8，42ACAEEC3 分 B=C，tanB=12，在 RtCEF 中，
16、CEF=90，tanC=12 tan2EFECC 设O 的半径为 r，则2OEr 在 RtOAE 中，由勾股定理得 222OAOEAE，即 222(2)4rr 解得 r=54 分 在 RtOAE 中，4tan23AEOE 在 RtOAD 中，420tan2533ADOA 5 分 22 解：（1）结论：自变量取1x，2x时函数值相等 1 分 证明：11(,)M x y，22(,)N xy为抛物线2yaxbxc上不同的两点，由题意得 21112222,yaxbxcyaxbxc 且1x2x 图5 -，得 221212121212()()()()yya xxb xxxxa xxb.2 分 直线122x
17、xx是抛物线2yaxbxc（a 0）的对称轴，1222xxbxa.12bxxa.121212()()0yyxxa xxb，即12yy.3 分（阅卷说明：其他代数证明方法相应给分；直接利用抛物线的对称性而 没有用代数方法进行证明的不给分）（2）二次函数21yxbx当 x=4 时的函数值与 x=2007 时的函数值相等，由阅读材料可知二次函数21yxbx的对称轴为直线20112x.201122b，2011b .二次函数的解析式为220111yxx.4 分 20112012(1)22，由（1）知，当 x=2012 的函数值与1x 时的函数值相等.当 x=1时的函数值为2(1)2011(1)12011
18、 ，当 x=2012 时的函数值为2011.5 分 五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分）23.解：（1）k为2(2)(1)0mxmxm的实数根，2(2)(1)0mkmkm.1 分 当k=m时，k为非零实数根，m 0，方程两边都除以m，得(2)(1)10mmm.整理，得 2320mm.解得 11m，22m.2 分 2(2)(1)0mxmxm是关于x的一元二次方程，m 2.m=1.3 分（阅卷说明：写对m=1，但多出其他错误答案扣 1 分）k为原方程的非零实数根，将方程两边都除以k，得(2)(1)0mmkmk.4 分 整理，得 1()21
19、m kkmk.1()254ym kkmk.5 分（2）解法一：22(1)4(2)3613(2)1mm mmmm m .6 分 当14m2 时，m0，2m0.3(2)m m0，3(2)1m m10，0.当14m2 时，此方程有两个不相等的实数 根.7 分 解法二：直接分析14m2 时，函数2(2)(1)ymxmxm的图象，该函数的图象为抛物线，开口向下，与y轴正半轴相交，该 抛 物 线 必 与x轴 有 两 个 不 同 交点.6 分 当14m2 时，此方程有两个不相等的实数根.7 分 解法三：222(1)4(2)3613(1)4mm mmmm .6 分 结合23(1)4m 关于m的图象可知，（如图
20、 6）当14m1 时，37164；当 1m2 时，14.当14m2 时，0.当14m2 时，此方程有两个不相等的实数根.7 分 24.解：（1）抛物线2()yaxac xc与x轴交点的横坐标是关于x的方程2()0axac xc（其中a 0，a c）的解.解得 11x，2cxa.1 分 抛物线与x轴交点的坐标为(1,0)，(,0)ca.2 分（2）抛物线2()yaxac xc的顶点A的坐标为2()(,)24acacaa.经过此抛物线顶点A的直线yxk 与此抛物线的另一个交点为 图6 (,)acBca，由得 c=0.3 分 将其代入、得 1,42 01.akk 解得 2a .所求抛物线的解析式为
21、222yxx.4 分（3）作PEx轴于点E，PFy轴于点F.（如图 7）抛物线222yxx 的顶点A的坐标1 1(,)2 2，点B的坐标为(1,0)，点C的坐标为(0,1).设点P的坐标为(,)m n.点P在x轴上方的抛物线222yxx 上，222nmm，且 0m1，102n.tanPEnPOBOEm，tanPFmPOCOFn.1tantan4POBPOC，224mn.解得 m=2n，或2mn（舍去）.5 分 将m=2n代入222nmm，得2830nn.解得138n，20n（舍去）.324mn.点P的坐标为图 7 3 3(,)4 8.6 分 （4）N关于n的函数关系式为N=4n.7 分 说明：
22、二次函数222yxx 的自变量x在nx1n（n为正整数）的范围内取值，此时y随x的增大而减小，222nny222nn，其中的整数有2221nn，2222nn，222nn.22(22)(22)4Nnnnnn .25.（1）当A B边经过点B时，=60 ；1 分 （2）猜想：如图 8，点D在AB边上时，m=2；如图 9，点D在AB的延长线上时，m=4.（阅卷说明：为与后边证明不重复给分，猜想结论不设给分点）证明：当090时，点D在AB边上（如图 8）.（阅卷说明：、两种情况没写的取值范围不扣分）DEA B，CDCECACB.由旋转性质可知，CA=CA，CB=CB，ACD=BCE.CDCECACB.
23、CADCBE.2 分 A=CBE=30.点D在AB边上，CBD=60，2CBDCBE，即 图 8 m=2.3 分 当90120时，点D在AB的延长线上（如图 9）.与同理可得 A=CBE=30.点D在AB的延长线上，180120CBDCBA，4CBDCBE，即 m=4.4 分（阅卷说明：第（2）问用四点共圆方法证明的扣 1 分.）（3）解：在 RtABC中，ACB=90，A=30，BC=1，AB=2，3AC，32ABCS.由 CADCBE 得 ADBEACBC.AD=x，13xBE，33BEx.当点D在AB边上时，AD=x，2BDABADx，DBE=90.此时，211332 3(2)2236B
24、DExxxSSBDBEx.当S=13ABCS时，232 3366xx.整理，得 2210 xx.解得 121xx，即AD=1.5 分 此时D为AB中点，DCB=60，BCE=30=CBE.（如图 10）EC=EB.90A CB，点E在CB边上，圆心E到A C的距离EC等于E的半径EB.直线A C与E相切.6 分 图 9 图 10 当点D在AB的延长线上时，AD=x，2BDx，DBE=90.（如图 9）.211332 3(2)2236BDExxxSSBDBEx.当S=13ABCS时，232 3366xx.整理，得 2210 xx.解得 112x ，212x （负值，舍去）.即1+2AD.7 分 此时BCE=，而90120，CBE=30，CBEBCE.ECEB，即圆心E到A C的距离EC小于E的半径EB.直线A C与E相交.8 分