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1、高考专题突破一 高考中的导数应用问题第1课时导数与不等式题型一 证明不等式师生共研例1设函数凡。=In xx+ 1.(1)讨论人工)的单调性；Y 1(2)证明当 x(l, +8)时，(I)解 由题设知，r)的定义域为(0, +), f (x)=：1,令/ (x)=0,解得x=l.当(Kv0,凡0单调递增；当Q1时，/ (a)0, 7U)单调递减.(2)证明由(1)知，人X)在x=i处取得极大值也为最大值，最大值为1)=0.所以当xWl时，nxx-.故当 x(l, +8)时，Inx 1, ln-以幻的一般方法是证明(x)=/(幻一g(.r)0(利用单调性)，特殊情况是 证明)ming(K)max
2、(最值方法)，但后一种方法不具备普遍性.(2)证明二元不等式的基本思想是化为一元不等式，一种方法为变换不等式使两个变元成为 一个整体，另一种方法为转化后利用函数的单调性，如不等式./Ul) + ,?(X| )勺(X2)+g(X2)对XX1 恒成立，即等价于函数h(x)=flx)+g(x)为增函数.跟踪训练1已知函数y(x)=xlnxeX+l.求曲线)，=人工)在点(1, 7(I)处的切线方程；(2)证明：yU)vsinx在(0, +8)上恒成立.解 依题意得/ (x)=lnx+l-又川)=le, / (l)=le,故所求切线方程为 yl+e=(le)(xl),即 y=(le)x.(2)证明 依
3、题意，要证y(x)vsinx,即 1正 xln %8+ lsin x,即证 Ain xer+sin x 1.当 00, xlnxWO,故 xln xl 时，令 g(x)=e+sin x 1 xln x, 故 g (x)=er+cosx- In x 1.令 h(x)=g (x)=e+cos x- In x- 1,则(x)=er-sinx, -X当 Ql 时，所以(x)er-sin x0, X故人(X)在(1, +8)上单调递增.故 Mx)/i(l)=e+cos 1 10,即 g(x)0,所以g(X)在(1, +8)上单调递增，所以 g(x)g(l)=e+sin 1 1 0,即 xln xev+s
4、in x 1,即 fix)sn x.综上所述，_/U)0, x)单调递增；当x(l, +8)时，f (x)0,贝x)单调递减.所以x=i为函数7U)的极大值点，且是唯一极值点,所以 0l0),1| +x则 F。)=一+1 evxe=-(x+ l)e .IX= (x+l)g-e)令G(x)=：e*可知G(x)在(0,+8)上为减函数，且 39=2-&0, G(l)=l-e0, ：.F (x)(),尸为增函数;当 x(xo, +8)时，G(x)0,：.Fr u)x+(l x)ev,即 eax+e-xe*即 eax120, x20.令力。)=&-at1(x20),贝4/ (x)=e*q(x20),当
5、时，由x20知(x)20,/心)2/?(0)=0,原不等式恒成立.当 al 时，令人(x)0,得 xlna；令 h (x)0,得 OWxvln a.工力(x)在0, In 4)上单调递减,又./?(0)=0,，加%)2。不恒成立，不合题意.综上，。的取值范围为(- 8, 1.In y3. (2018贵州适应性考试)已知函数危)=0。3田，g(x)=一 X求函数7U)的单调区间；(2)3x(0, +8),使不等式危)Wg(x)一廷成立,求a的取值范围.解(1)因为/ (x)=fl-e xR.当aWO时，f (x)0 时，令/ (x)=。，得 x=lna.由/ (x)(),得儿0的单调递增区间为(
6、一8, ma)；由/ (幻0时，./U)的单调递增区间为(一8, In a),单调递减区间为(Ino, +).(2)因为三4(0,十8),使不等式於)Wg(x)一。,则 axWj-,即设械)=，则问题转化为aW第mx, 由/? (x)=-_|r,令 /J (x)=o,得 x=#.当x在区间(0, +8)内变化时，h(X),力)随x变化的变化情况如下表：X(0, #)(#, +0)hr (x)+0h(x)极大吗由上表可知，当x=#时，函数/?(1)有极大值，即最大值为所以aW*.故。的取值范围是(一8,目.V技能提升练(2018天津河西区模拟)已知函数_/U)=lnx一以(aR).(1)若曲线丁
7、=75)与直线_)，一1111 2=0相切，求实数a的值；若不等式(x+lVU)Wlnx：在定义域内恒成立，求实数。的取值范围. V*解(1/ (1)=：-4,设切点的横坐标为的， 人卜由题意得I。、孙一1 - In 2=hi xo-aro,解得的=；,=1,所以实数的值为1.XIn r(2)由题意，(x+l)(lnx-aY)Wlnx一二在定义域内恒成立，得2工7+、/4i、在(。，+)-h恒成立，人，、 Inx ,1 ，八令以)=币+而石()1 +Inx则 g(#=-(叶1)2-，再令 h(x)= 1 -+-In x, e x则。)=一6+0, y=g(x)在(0, e)上单调递增;当 x(
8、e, +8)时,。(工)(),从而 g (x)0, y=g(x)在(e, +8)上单调递减;所以g(x)在ae处取得极大值也为最大值g(e)=：,所以实数。的取值范围是3+8).M拓展冲刺练5.已知函数7U)为偶函数，当.120时，yu)=2e,若存在实数7,对任意的xWl, k(Ql),都有/U+?)W2ex,求整数人的最小值.解 因为为偶函数，且当时，40=2廿，所以 yu)=2e%对于 x 1, k,由 /(x+。W 2ex 得 2铲“川 W 2ex,两边取以e为底的对数得以+?|Wlnx+l,所以一xInkI WmWx+lnx+1 在1, k上恒成立，设 g(x)=x+lnx+1, k
9、),1| x贝Ig (x)=-l+-=1,且攵为整数，所以攵=2满足要求，故整数女的最小值为2.6.设函数y(x)=ar2刈一(2。- l)x+a1(。 R).若对任意的工W1, +), ./U)20 恒成 立，求实数。的取值范围.解 / (4)=2ar 1 Inx (2a 1)=2a(x I)In.r(.r0),易知当 x(0, +8)时，lnxWx-l,则f (x)22a(x-l)-(x-l)=(2r/-l)(x- 1).当2120,即。2；时，由xl,+8)得/ (x)20恒成立，人幻在1, +8)上单调递增，火幻为()=(),符合题意.当。W0时，由xl, +8)得/ (x)W0恒成立，儿1)在1, +8)上单调递减，儿t)W/U)=0,显然不合题意，aWO舍去.当 0vg时，由 In xx 1,得InW1一1,即hixl一1，A .XX当xl，4时，f (x)WO恒成立, /Cr)在1,0上单调递减， 工当人1，勤时，Xa)A1)=0, 显然不合题意，o3舍去. 综上可得，士4-00).