全等三角形辅助线系列之二---中点类辅助线作法大全.pdf

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1、全全等等三三角角形形辅辅助助线线系系列列之之二二-中中点点类类辅辅助助线线作作法法大大全全-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1全等三角形辅助线系列之二全等三角形辅助线系列之二与中点有关的辅助线作法大全与中点有关的辅助线作法大全一、中线类辅助线作法一、中线类辅助线作法1、遇到三角形的中线，可以倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，通过全等将分散的条件集中起来，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”2、遇到题中有中点，可以构造三角形的中位线，利用中位线的性质转移线段关系3、遇到三角形的中线或与中点有关的线段，如果有直角三角形，可以取直角三角形斜边的中点，

2、试图构造直角三角形斜边的中线，利用斜边中线的性质转移线段关系典型例题精讲典型例题精讲【例1】如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，AF EF，求证：AC BEAEAFFBEDCBDCG【解析】延长AD到G，使DG AD，连结BGBD CD，BDG CDA，AD GDADCGDB，AC GBG EAF又AF EF，EAF AEFG BEDBE BG，BE AC【例2】如图，在ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EFAD交CA的延长线于点F，交EF于点G，若BG CF，求证：AD为ABC的角平分线FGFGBAABEDCEDCH2【解析】延长FE到点

3、H，使HE FE，连结BH在CEF和BEH中CE BECEF BEHFE HECEF BEHEFC EHB，CF BH BGEHB BGE，而BGE AGFAFG AGF又EFAD，AFG CAD，AGF BADCAD BADAD为ABC的角平分线【例3】已知AD为ABC的中线，ADB，ADC的平分线分别交AB于E、交AC于F求证：BE CF EFAAEFEFBNDCBDC【解析】延长FD到N，使DN DF，连结BN、EN易证BNDCFD，BN CF，又ADB，ADC的平分线分别交AB于E、交AC于F，EDF EDN 90，利用SAS证明EDNEDF，EN EF，在EBN中，BE BN EN，

4、BE CF EF【例4】如 图 所 示，在ABC中，D是BC的 中 点，DM垂 直 于DN，如 果BM2CN2 DM2 DN2，求证AD21AB2 AC24AMNBDCAMNBDEC【解析】延长ND至E，使DE DN，连接EB、EM、MN因为DE DN，DB DC，BDE CDN，则BDECDN3从而BE CN，DBE C而DE DN，MDN 90，故ME MN，因此DM2 DN2 MN2 ME2，即BM2 BE2 ME2，则MBE 90，即MBD DBE 90因为DBE C，故MBDC 90，则BAC 901AD为 RtABC斜边BC上的中线，故AD BC211由此可得AD2BC2AB2 A

5、C244【例5】在RtABC中，F是斜边AB的中点，D、E分别在边CA、CB上，满足DFE 90若AD 3，BE 4，则线段DE的长度为_ADCFE图 6GB【解析】如图、延长DF至点G，使得DF FG，联结GB、GE由AF FB，有ADF BGF BG AD 3 ADF BGF ADGB GBE ACB 180 GBE 90GE GB2 EB2 5又DF FG，EF DG DE GE 5CE、CD，求证CD 2EC【例6】如图所示，在ABC中，AB AC，延长AB到D，使BD AB，E为AB的中点，连接AFAAEEEBCBCBCGDDD【解析】解法一：如图所示，延长CE到F，使EF CE容易

6、证明EBF EAC，从而BF AC，而AC AB BD，故BF BD4注意到CBD BAC ACB BAC ABC，CBF ABC FBA ABC CAB，故CBF CBD，而BC公用，故CBF CBD，因此CD CF 2CE解法二：如图所示，取CD的中点G，连接BG因为G是CD的中点，B是AD的中点，1122由BGAC可得GBC ACB ABC EBC，故BCEBCG，从而EC GC，CD 2CE故BG是DAC的中位线，从而BG AC AB BE，【例7】已知：ABCD 是凸四边形，且AC BDE、F 分别是 AD、BC 的中点，EF 交 AC 于 M；EF 交BD 于 N，AC 和 BD

7、交于 G 点 求证：GMN GNMAMNGEDHHAAEEMMNNFFGGDDBFCBBCC【解析】取 AB 中点 H，连接 EH、FHAE ED，AH BH，EHBD，EH BD，GNM HEFAH BH，BF CFFHAC，FH ACGMN HFEAC BD，FH EHHEF HFE，GMN GNM【例8】在ABC中，ACB 90，AC 求证：AE EB且AE BEECD12121BC，以BC为底作等腰直角BCD，E是CD的中点，2DECFABAB【解析】过E作EFBC交BD于FACE ACB BCE 1355DFE DBC 45EFB 135又EFBC，EF BC，AC BCEF AC，

8、CE FBEFBACE，CEA DBE又DBE DEB 90DEB CEA 90故AEB 90AE EB且AE BE【例9】如 图 所 示，在ABC中，D为AB的 中 点，分 别 延 长CA、CB到 点E、F，使1212DE DF过E、F分别作直线CA、CB的垂线，相交于点P，设线段PA、PB的中点分别为M、N求证：（1）DEM FDN；（2）PAEPBFCDBCDBAAEEFGHFPP【解析】（1）如图所示，根据题意可知DM BN且DM=BN，DNAM且DN=AM，所以AMD APB DNB而M、N分别是直角三角形AEP、BFP的斜边的中点，所以EM AM DN，FN BN DM，又已知DE

9、 DF，从而DEM FDN（2）由（1）可知EMD DNF，则由AMD DNB可得AME BNF而AME、BNF均为等腰三角形，所以PAEPBF【例10】已知，如图四边形ABCD中，AD BC，E、F分别是AB和CD的中点，AD、EF、BC的延长线分别交于M、N两点求证：AME BNE6NMFDCMFDHNCAEBAEB【解析】连接AC，取AC中点H，连接FH、EH1122AD BC，EH FH，HFEHEFFHAM，EH BCAMEHFE，HEF BNE，AME BNEDF CF，AH CH，FH AD，FH AD，同理，EH BC，EH BC12【例11】已知：在ABC中，BC AC，动点

10、D绕ABC的顶点A逆时针旋转，且AD BC，连结DC过AB、DC的中点E、F作直线，直线EF与直线AD、BC分别相交于点M、NMNF(N)CHDFCCFNMAE图1BAE图2BAE图3BDMD（1）如图 1，当点D旋转到BC的延长线上时，点N恰好与点F重合，取AC的中点H，连结HE、HF，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论AMF BNE(不需证明)（2）当点D旋转到图 2 或图 3 中的位置时，AMF与BNE有何数量关系请分别写出猜想，并任选一种情况证明【解析】图 2：AMF ENB，图 3：AMF ENB 180证明：在图 2 中，取AC的中点H，连结HE、HFF是DC的中点，H是

11、AC的中点HFAD，HF AD，AMF HFE同理，HECB，HE CB，ENB HEFAD BC，HF HE，HEF HFE，ENB AMF证明图 3 的过程与证明图 2 过程相似12127MNDFHCHCFNMDAEBAEB【例12】如图所示，P是ABC内的一点，PAC PBC，过P作PM AC于M，PL BC于L，D为AB的中点，求证DM DLCCMPLMPELFDBADBA【解析】如图所示，取AP、PB的中点E、F，连接EM、ED、FD、FL，则有DEBP且DE BP，DFAP且DF AP因为AMP和BLP都是直角三角形，1122又因为MED MEPPED，DFLDFPPFL，而MEP

12、 2MAP 2LBPPFL，且PEDDFP，所以MEDDFL，从而MEDDFL，故DM DL1212故ME AP，LF BP，从而ED FL，DF ME【例13】如右下图，在ABC中，若B 2C，AD BC，E为BC边的中点求证：AB 2DEAAFBDBDECEC【解析】如右下图，则取AC边中点F，连结EF、DF由中位线可得，EF AB且B CEFDF为RtADC斜边上的中线，DF CFCDF C，又DFE FDE CEF，即C DFE 2C，1DFEEDF，DE EF AB，AB 2DE212【例14】如图，ABC中，AB AC，BAC 90，D是BC中点，ED FD，ED与AB交于E，8F

13、D与AC交于F求证：BE AF，AE CFAFEBDCBEDCAF【解析】连结ADAB AC，BAC 90B C 45D是BC中点BAD 45且AD BCED DFEDAADF 90ADE EDB 90BDEADF在BDE与ADF中，AD BD，DAF B 45，BDEADFBDEADFBE AFAE CF【例15】在ABCD 中，A DBC，过点 D 作DE DF，且EDF ABD，连接 EF、EC，N、P 分别为 EC、BC 的中点，连接 NP.（1）如图 1，若点 E 在 DP 上，EF 与 DC 交于点 M，试探究线段 NP 与线段 NM的数量关系及ABD 与MNP 满足的等量关系，请

14、直接写出你的结论；（2）如图 2，若点 M 在线段 EF 上，当点 M 在何位置时，你在（1）中得到的结论仍然成立，写出你确定的点 M 的位置，并证明（1）中的结论ADFMENBPCADFEN32CADFM14EBBP图2【解析】（1）NP MN，ABDMNP 180（2）点 M 是线段 EF 的中点(或其它等价写法).证明：如图，分别连接 BE、CF.四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，ABDC，A DCB，ABD BDC.A DBC，DBC DCB，DB DCEDF ABD，EDF BDC.BDC EDC EDF EDC即BDE CDF又DE DF，由得BDECDFEB FC,12.

15、NPC图19 N、P 分别为 EC、BC 的中点，NPEB，NP EB同理可得 MNFC，MN FCNP NM NPEB，NPC 4，ENP NCP NPC NCP 4MNFC，MNE FCE 3 2 3 1MNP MNE ENP 3 1 NCP 4 DBC DCB 180BDC 180ABD1212ABD MNP 180【例16】在 RtABC 中，ACB 90，tanBAC BD，F 为 BD 中点1点 D 在边 AC 上（不与 A，C 重合），连结2（1）若过点 D 作 DEAB 于 E，连结 CF、EF、CE，如图 1 设CF kEF，则 k=；（2）若将图 1 中的ADE 绕点 A

16、旋转，使得 D、E、B 三点共线，点 F 仍为 BD中点，如图 2 所示求证：BE DE 2CF；（3）若BC 6，点 D 在边 AC 的三等分点处，将线段 AD 绕点 A 旋转，点 F 始终为 BD 中点，求线段 CF 长度的最大值ADAAEDEFFC图1BC图 2BC备图B【解析】（1）k 1；（2）如图 2，过点 C 作 CE 的垂线交 BD 于点 G，设 BD 与 AC 的交点为 Q.由题意，tanBAC，12BCDE1.ACAE2 D、E、B 三点共线，AEDB.BQC AQD，ACB 90，QBC EAQECAACG 90，BCG ACG 90，ECA BCGBCGACE，BCGB

17、1，GB DE.ACAE2 F 是 BD 中点，F 是 EG 中点.10在RtECG中，CF EG，BE DE EG 2CF（3）情况 1：如图，当AD AC时，取 AB 的中点 M，连结 MF 和 CM，ACB 90，tanBAC，且BC 6,AC 12，AB 6 5.M 为 AB 中点，CM 3 5AD AC，AD 4.M 为 AB 中点，F 为 BD 中点，FM AD 2当且仅当 M、F、C 三点共线且 M 在线段 CF 上时 CF 最大，此时CF CM FM 2 3 5.1213121312情况 2：如图，当AD AC时，取 AB 的中点 M，连结 MF 和 CM，类似于情况 1，可知

18、 CF 的最大值为4 3 5综合情况 1 与情况 2，可知当点 D 在靠近点 C 的三等分点时，线段 CF 的长度取得最大值为4 3 5.ADD23ADAEQFGC图 2MFFMBCBCB11课后复习课后复习【作业1】如图，ABC中，AB AC，AD是中线求证：DAC DABAEAFFBEDCBDCG【解析】延长AD到E，使AD DE，连结BE在ADC和EDB中AD EDADC EDBADCEDBDC DBAC EB，CAD BEA在ABE中，ABAC，AB EBAEBEAB，DACDAB【作业2】在RtABC中，BAC 90，点D为BC的中点，点E、F分别为AB、AC上的点，且ED FD以线

19、段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形AAEBFCBEFCDGD【解析】延长FD到点G，使FD GD，连结EG、BG在CDF和BDG中CD BDCDF BDGFD GDCDF BDGBG CF，FCD GBDA90ABC ACB 90ABC GBD 90在EDF和EDG中12ED EDEDF EDG 90FD GDEDF EDGEF EG故以线段BE、EF、FC为边能构成一个直角三角形【作业3】AD是ABC的中线，F是AD的中点，BF的延长线交AC于E求证：AE 1AC3AEFBDCBDFAEGC【解析】取EC的中点G，连接DG易得DGBE，1F为AD的中点，所以AE EG，从而可证得：AE AC3【作业4】如图，在五边形ABCDE中，ABC AED 90，BAC EAD，F为CD的中点求证：BF EFAABECFDBCMNE【解析】取AC中点M，AD中点N连结MF、NF、MB、NE，则根据直角三角形斜边中线的性质及中位线的性质有MF AD NE，NF AC MB，MFAD，NFAC，DNF CAD CMF，BM AM，MBA CABBMC MBACAB 2CAB同理可证DNE 2DAEBAC EAD，BMC ENDBMC CMF FND DNE，即BMF ENF，MBF NFE，BF EF1212FD13