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1、第 1 讲 四点共圆 典型例题 一.基础练习【例1】如图，P为ABC内一点，D、E、F分别在BC、CA、AB上已知P、D、C、E四点共圆，P、E、A、F四点共圆，求证：B、D、P、F四点共圆 【例2】如图 7-55，在梯形ABCD中，ADBC，过B、C两点作一圆，AB、CD的延长线交该圆于点E、F求证：A、D、E、F四点共圆 【例3】如图，1O、2O相交于A、B两点，P是BA延长线上一点，割线PCD交1O于C、D，割线PEF交2O于E、F，求证：C、D、E、F四点共圆 【例4】如图 7-56，在ABC中，AD=AE，BE与CD交于点P，DP=EP，求证：B、C、E、D四点共圆 【例5】如图，已
2、知ABC是O的内接三角形，O的直径BD交AC于E，AFBD于F，延长AF交BC于G，求证：2ABBG BC 【例6】如图 763，在ABCD的对角线上，任取一点P，过点P作AB、CD的公垂线EG，又作AD、BC的公垂线FM求证：EF/GM 【例7】如图 7-66，四边形ABCD是O的内接四边形，DEAC，AFBD，点E、F是垂足求证：EF/BC 【例8】如图 7-60，已知ABC，AB、AC的垂直平分线交AC、AB的延长线于点F、E求证：E、F、C、B四点共圆 【例9】如图，已知：60ABDACD，1902ADBBDC 求证：ABC是等腰三角形 二.综合提高【例10】如图 7-61，在O中，A
3、BCD，点P是AB的中点，CP的延长线交O于点F，又点E为弧BD上任一点，连EF交AB于点G求证：P、G、E、D四点共圆 【例11】如图 7-62，在ABC中，BAC为直角，AB=AC，BM=MC，过M、C任作一圆，与AC交于点E，BE与圆交于F点，求证：AFBE 【例12】如图 764，P为ABC外接圆一任意一点，点P到ABC三边的垂足分别为D、E、F三点成一直线 【例13】如图 7-65，在ABCD中，过 D、B 两点作一圆，交平行四边形四条边(或它们的延长线)于点E、F、G、H求证：EF/GH 【例14】如图 7-67，AB为半圆的直径，弦AC、BD相交于点H，HPAB求证：12 【例1
4、5】如图 768，四边形ABCD是正方形，点E为BC上的任一点，AEEF，EF交BCD的外角平分线于点F求证：EA=EF 【例16】在等边三角形ABC中，D、E分别是边BC、AC上的点，且有12BDCECD，连结BE、AD交于点P，求证：CPAD 【例17】设凸四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，垂足为E，证明：点E关于AB、BC、CD、DA的对称点共圆 【例18】证明：三角形的三条高交于一点 【例19】已 知 在 凸 五 边 形ABCDE中，3BAEBCCDDE，且1802BCDCDE，求 证：BACCADDAE 【例20】如图所示，设N是正九变形，O为其外接圆的圆心，PQ和QR是N的
5、两相邻边，A为PQ的中点，而B为垂直于QR的圆半径的中点，试求AO与AB的夹角 EDCBA 【例21】如图，已知ABC内接于O，AD、BD为O的切线，作DEBC，交AC于E，连结EO并延长交BC于F，求证：BFFC 【例22】如图，在凸四边形ABCD的BC边上取E和F（点E比F更靠近点B）已知BAECDF 及EAFFDE，证明：FACEDB OFEDCBA【例23】如图，在平行四边形ABCD中，BAD为钝角，且AEBCAFCD，（1）求证：AECF、四点共圆；（2）设线段BD与（1）中的圆交于MN、求证：BMND 【例24】正方形ABCD的中心为O，面积为2009，P为正方形内的一点，且45O
6、PB，:4:5PA PB，求PB 【例25】如图，已知ABC中，AH是高，AT是角平分线，且TDABTEAC，【例26】求证：（1）AHDAHE；（2）BHCHBDCE NMFEBDACPODCBA 【例27】如图，O为ABC的外接圆，60BAC，H为AC、AB上高BD、CE的交点，在BD上取点M，使BMCH连结OMOH、，求证：OMOH 【例28】如图，CD是O的直径，弦AE交CD于点Q，点B是弧DE上一点，BC和DE交于点FABCD，垂足为M，求证：QFAB【例29】THEDCBA 三.过三点的圆【例30】如图，四边形ABCD中，ABACAD，若76CAD，13BDC，则CBD_，BAC_
7、 【例31】已知凸四边形ABCD，2BACBDC，2CADCBD，求证：ABACAD NMQOFEDCBADCBA 思维飞跃【例32】如图，直线AB和AC与O分别相切于BC、，P为圆上一点，P到ABAC、得距离分别为4 9、，试求P到BC的距离 【例33】如图，ABC中，90ACB，AB边上的高线CH与ABC的两条内角平分线AM、BN分别交于P、Q两点PM、QN的中点分别为E、F求证：/EFAB OPFEDCBA【例34】如 图，已 知P是 正ABC外 接 圆 的 弧BC上 的 任 一 点 求 证：22PAACPB PC 【例35】如图，PA、PB切圆O于A和B，PO交AB于M，过M任作一弦C
8、D，求证：APCBPD 【例36】如图，AB为O的直径，P为O外一点，过P引圆O的两条切线，切点分别为C、D，AD与BC交于点E，求证：EPAP 作业 1.在锐角ABC中，三条高AD、BE、CF相交于点H求证：点H是DEF的内心 2.已知AB是圆的直径，AD为圆的切线，FB和DB是圆的割线，分别交圆于E、C，求证：BE BFBC BD 3.已知ABC中，ABAC，AD是高，P为AC上任一点，PC的中垂线RQ交AD于R，求证：RPBDAC 4.如图，设四边形ABCD的两组对边AB、DC及AD、BC的交点分别为E、F 若E、F的平分线互相垂直，则A、B、C、D四点共圆 5.如图，PA、PB切O于A、B两点，过P作割线交O于C、D，过B作BECD，连结AE交PD于M，求证：M为DC的中点 6.过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为AB、，所作割线交圆于CD、两点，C在PD、之间在弦上取一点Q，使DAQPBC 求证：DBQPAC QPDCBA