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1、不不 等等 式式 选选 讲讲A A组组1若a,b是任意的实数,且a b,则()(A)a b (B)2不等式22b111 (C)lg(ab)0 (D)()a()ba222 3的解集是()x2222(A)(,)(B)(,)(0,)(C)(,0)(0,)(D)(,0)33333不等式x1 x2 5的解集为()(A),22,(B),12,(C),23,(D),32,4若n 0,则n(A)232的最小值为()n2(B)4 (C)6 (D)85若 A=(x3)(x7)，B=(x4)(x6)，则 A，B 的大小关系为_.6设a，b，c是不全相等的正数，求证：1）(ab)(bc)(ca)8abc；2）a bc
2、 ab bc ca.x2 y2x y27.已知x，yR，求证()228如图1，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转作成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大9已知a，b，c 0，且不全相等，求证a(b c)b(a c)c(a b)6abc.n10 已知a1，a2，an R，且a1a2an1，求证(1 a1)(1 a2)(1 an)2.222222B B组组11.已知x，y 0，且x y 2.试证：1 x，1 y中至少有一个小于 2.yx12.求函数y 5 x 1 10 2x的最大值.13.已知a b 1，求证acosbsi
3、n1.14.已知x 2y 1，求x y的最小值.15.已知2x 3y 4z 10，求x y z的最小值.222222216.已知a，b，c是正数，求证32229abbccaabc.17.证明：n 5n(n N)能够被 6 整除.18.设a,b,cR,求证：abc3.bccaab2不不 等等 式式 选选 讲讲 答答 案案.提示：注意函数y ()的单调性；.提示：先移项，再通分，再化简；.提示：当x2 时，原不等式可以化为(x1)(x2)5，x 2解得x3，即不等式组x1 x2 512x的解集是(,3.当2 x 1时，原不等式可以化为(x1)(x2)5，即 35，矛盾.所以不等式组2 x 1x1
4、x2 5，的解集为，当x1 时，原不等式可以化为(x1)(x2)5，解得x2，x 1即不等式组的解集是2,).x1 x2 5综上所述，原不等式的解集是(,32,);.提示：n32nn32;n222n25.A B.提示：通过考察它们的差与0 的大小关系，得出这两个多项式的大小关系.因为(x3)(x7)(x4)(x6)(x 10 x21)(x 10 x24)3 0所以(x3)(x7)(x4)(x6);6提示：22a b 2 ab，bc 2 bc，c a 2 ca分别将以上三式相乘或相加即可;222222227.提示:x y(x y)(x y)x y 2xy(x y)2;24428.提示:设切去的正
5、方形边长为x，无盖方底盒子的容积为V，则V (a2x)2x11(a2x)(a2x)4x32a3(a2x)(a2x)4x 443272a3a当且仅当a2x a2x 4x，即当x 时，不等式取等号，此时V取最大值.即当切去的小正方276形边长是原来正方形边长的1时，盒子容积最大.69.分析：观察欲证不等式的特点，左边3 项每一项都是两个数的平方之和与另一个数之积，右边是三个数的积的 6 倍.这种结构特点启发我们采用如下方法.22证明：因为b c2bc，a 0，所以a(b c)2abc.22因为c a2ac，b 0，所以b(c a)2abc.22因为a b2ab，c 0，所以c(a b)2abc.2
6、22222由 于a，b，c不 全 相 等，所 以 上 述 式 中 至 少 有 一 个 不 取 等 号，把 它 们 相 加 得a(b2c2)b(a2c2)c(a2b2)6abc.10提示：观察要证明的结论，左边是n个因式的乘积，右边是2 的n次方，再结合a1a2an1，发现如果能将左边转化为a1，a2，an的乘积，问题就能得到解决.证明：因为a1 R，所以1 a11a1a1，即1 a1 2 a1.2同理，1a2 2 a2，1 an 2 an.因为a1，a2，an R，由不等式的性质，得(1 a1)(1 a2)(1 an)2na1a2an 2n.因为ai1时，1 ai 2 ai取等号，所以原式在a
7、1 a2 an1时取等号.11.提示：要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰.另外，如果从正面证明，需要对某一个分式小于2 或两个分式都小于 2 等进行分类讨论，而从反面证明，则只要证明两个分式都不小于 2 是不可能的即可.于是考虑采用反证法.证明：假设1 x1 y1 x1 y 2，且，都不小于 2，即 2.yyxx因为x，y 0，所以1 x 2y，且1 y 2x.把这两个不等式相加，得2 x y 2(x y)，从而x y 2.这与已知条件x y 2矛盾.因此，1 x，1 y都不小于 2 是不可能的，即原命题成立.yx12.提示：利用不等式解决极值问题，通常设法在不
8、等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件.这个函数的解析式是两部分的和，若能化为acbd的形式就能利用柯西不等式求其最大值.解：函数的定义域为1,5，且y 0.y 5当且仅当2 x 1 2 5 x52(2)2(x1)2(5 x)2274 6 3x 1 55 x时，等号成立，即x 127时函数取最大值6 3.27213.提示:acosbsin(acosbsin)(a2b2)(cos2sin2)a2b212214.提示:1(x 2y)(1 2)(x y)5(x y)x y 222222222222221.5100.2922215.提示:100 (2x3y 4z)(2 3 4)(x y z)x
9、 y z 16.提示:2(abc)(ab)(bc)(ca)(111)abbcca111)(111)2 9.abbcca2229.abbccaabc17.提示：这是一个与整除有关的命题，它涉及全体正整数，若用数学归纳法证明，第一步应证n 1时3命题成立；第二步要明确目标，即在假设k 5k能够被 6 整除的前提下，证明(k 1)5(k 1)也能被36 整除.证明：1）当n 1时，n 5n 6显然能够被 6 整除，命题成立.2）假设当n k(k 1)时，命题成立，即k 5k能够被 6 整除.当n k 1时，(k 1)5(k 1)k 3k3k 15k 5 (k 5k)3k 3k 63323233(k3
10、5k)3k(k 1)6.由假设知k 5k能够被 6 整除，而k(k 1)是偶数，故3k(k 1)能够被 6 整除，从而3(k35k)3k(k 1)6即(k 1)35(k 1)能够被 6 整除.因此，当n k 1时命题成立.由 1）2）知，命题对一切正整数成立，即n 5n(n N)能够被 6 整除;18.证明：（法一）要证原不等式成立，只须证：即只须证：2(abc)(3abc9111bccaab2111)9bccaab由柯西不等式易知上式显然成立，所以原不等式成立。111，bccaababcbca所以：（顺序和）（乱序和）bccaabbccaababccab（顺序和）（乱序和）bccaabbccaababc3.将以上两式相加即得：bccaab2（法二）由对称性，不妨设：a b c 0,则