《2021_2022学年高中数学第3章圆锥曲线与方程44.2圆锥曲线的共同特征4.3直线与圆锥曲线的交.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021_2022学年高中数学第3章圆锥曲线与方程44.2圆锥曲线的共同特征4.3直线与圆锥曲线的交.pdf（10页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、.4.24.2圆锥曲线的共同特征圆锥曲线的共同特征 4.3 4.3直线与圆锥曲线的交点直线与圆锥曲线的交点学习目标：1.掌握圆锥曲线的共同特征(重点)2.了解直线与圆锥曲线的三种位置关系(重点)3.掌握求解直线与圆锥曲线有关问题的方法(难点)1圆锥曲线的共同特征圆锥曲线椭圆抛物线双曲线圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值e2共同特征e的值或范围0e1e1e122思考：在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样的一个式子：acxaxc y，将其变形为：xc y22a2xc.ca(1)你能解释这个式子的意义吗？(2)具有这个关系的点的轨迹一定是椭圆吗？a2提示(1)这个式子表
2、示一个动点P(x，y)到定点(c，0)与到定直线x 的距离之比等c于定值.(2)不一定当ac时，是椭圆，当ac时是抛物线，当a0，那么直线l与曲线C相交；假设0，那么直线l与曲线C相切；假设0，即k1 时，且k0 时，l与C有两个公共点，此时l与C相交；下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。.当0，即k1 时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；当1 时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离综上所述，(1)当k1 或k0 时，直线l与C有一个公共点；(2)当k1 时，直线l与C没有公共点2.(变条件)把本例条件换为“直线l：ykx2，双曲线C：x4y4”当k为何值时：(1)l与C无公共点
3、？(2)l与C有唯一公共点？(3)l与C有两个不同的公共点？解将ykx2 代入双曲线C的方程并整理，得(14k)x16kx200.当 14k0 时，(16k)4(14k)(20)16(54k)14k0，55(1)当即k或k时，l与C无公共点220，22222222212(2)当 14k0，即k 时，方程只有一解；2当 14k0 且0，即k时，l与C有唯一公共点14k0，551(3)当即k且k 时，方程有两个不同的解，2220，22515时，方程有两个一样的解故当k 或k222即此时l与C有两个不同的公共点1用判别式可以判断直线与圆锥曲线的位置关系，当0 时，直线与圆锥曲线相交；当0 时，直线与
4、圆锥曲线相切；当0.2利用根与系数的关系求直线与圆锥曲线相交弦长的步骤：联立直线方程与圆锥曲线的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程；设出交点坐标A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用根与系数的关系求出x1x2，x1x2，弦长|AB|1k|x1x2|或|AB|2112|y1y2|(k0)k下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。.2双曲线的一个焦点为F1(3，0)，且渐近线为y 2x，过点A(2，1)的直线l与该双曲线交于P1，P2两点(1)求线段P1P2的中点P的轨迹方程；(2)过点B(1，1)，能否作直线l，使l与双曲线交于Q1，Q2两点，且B是线段Q1Q2的中点？请说明理由x2y
5、2解(1)设双曲线方程为221(a0，b0)ab2bc2a23ac 3，2222，aa2aa1，b2.故双曲线方程为x 1.2设P1和P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点为P(x，y)，那么x 1，221222y2y21x 1.222y22得 2(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)，2xy1y2当x1x2，y0 时，.yx1x2又P1，P2，P，A四点共线，y1y1y2.x2x1x22xy122由得，即 2xy4xy0，yx2故中点P的轨迹方程为 2xy4xy0.(2)假设存在直线l，同(1)可得l的斜率为 2，l的方程为y2x1.22y2x1，2y2
6、无解，与假设矛盾，x 12满足条件的直线l不存在.11平面内到定点(0，3)的距离与到定直线y3 的距离之比为 的动点的轨迹是()2A椭圆B双曲线下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。.C抛物线D直线1A A由于点(0，3)不在直线y3 上，且 0 1，所以，由圆锥曲线的统一定义知：动2点的轨迹是椭圆2函数yax1 的图像与直线yx相切，那么a()1A.81C.2221B.4D1B B函数yax1 的图像与直线yx相切，yax1，22它们有且仅有一个交点由得xax1，即axx10，14ayx，210，a.43直线yx1 与双曲线x 1 相交于A，B两点，那么弦长|AB|_22y2yx1，4
7、2联立方程组2y2x 1，2消去y，得x2x302.由方程解得x11，x23，代入yx1.得y10，y24，于是A，B两点坐标分别为(1，0)，(3，4)，那么|AB|13 04 4 2.4点P(1，1)为椭圆 1 内一定点，经过P引一弦，使此弦在P点被平分，那么此42弦所在的直线方程为_22x2y2x2y30法一：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为y1k(x1)，弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1kx1，22由xy消去y得，1.42(2k1)x4k(k1)x2(k2k1)0，4kk1x1x2，22k1又x1x22，4kk112，得k.22k12222下载后可自行编辑
8、修改，页脚下载后可删除。.1故弦所在直线方程为y1(x1)，即x2y30.2法二：由于此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k，且设弦的两端点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，那么 1，1，两式相减得4242x1x2x1x2y1y2y1y20，42x1x22，y1y22，x2y211x2y222x1x22(y1y2)0，ky1y21.x1x221此弦所在直线方程为y1(x1)，即x2y30.25求过点P(0，1)且与抛物线y2x只有一个公共点的直线方程解假设直线的斜率不存在，那么过点P(0，1)的直线方程为x，即直线x0 与抛物线只有一个公共点假设直线的斜率存在，设方程为ykx1，y2x，22由消去y得k x2(k1)x10，当k0 时，解得y1，即直线y1 与ykx1，22抛物线只有一个公共点122当k0 时，由4(k1)4k0，得k.21即直线yx1 与抛物线只有一个公共点21综上所述，所求直线方程为x0 或y1 或yx1.2下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。