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1、专题一专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式第集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式第1 1 节节集合、常集合、常用逻辑用语用逻辑用语自主学习导引真题感悟21(2012浙江)设集合Ax|1x4，集合Bx|x2x30，则A(R RB)A(1,4)C(1,3)B(3,4)D(1,2)(3,4)解析首先用区间表示出集合B，再用数轴求A(R RB)解x22x30 得1x3，B1,3，则R RB(，1)(3，)，A(R RB)(3,4)答案B2(2012福建)下列命题中，真命题是Ax0R R，e00BxR,R,2 xCab0 的充要条件是 1Da1，b1 是ab1 的充分条件解析应用量词和充要条
2、件知识解决对于xR R，都有 e 0，故选项 A 是假命题；当x2 时，2 x，故选项 B 是假命题；当 1 时，有ab0，但当ab0 时，如a0，b0 时，无意义，故选项 C 是假命题；当a1，b1 时，必有ab1，但当ab1 时，未必有a1，b1，如当a1，b2 时，ab1，但a不大于 1，b不大于 1，故a1，b1 是ab1 的充分条件，选项 D 是真命题答案D考题分析高考对集合的考查主要集中在集合的运算与集合间关系的判定与应用，常用逻辑用语考查知识面十分广泛，可以涵盖函数、立体几何、不等式、向量、三角函数等内容考查的形式多为选择题，难度不大，但需掌握基本知识与方法网络构建xx2xx2a
3、babab高频考点突破考点一：集合的概念与运算【例 1】(1)(2012朝阳二模)已知集合A0,1，B1,0，a3，且AB，则a等于A1B0C2D3(2)(2012西城二模)已知集合Ax|log2x1，Bx|0 xc，其中c0 若ABB，则c的取值范围是A(0,1 B1，)C(0,2 D2，)(3)(2012宜春模拟)设全集UR，Ax|2阴影部分表示的集合为x(x2)1，Bx|yln(1x)，则图中Ax|x1Bx|1x2Cx|0 x1Dx|x1审题导引(1)利用子集的定义求解；(2)解出A，然后借助于数轴解决；(3)观察图形，求得阴影部分表示的集合，解出A，B并求解规范解答(1)AB，a31，
4、a2.(2)解不等式 log2x1，得 0 x2，Ax|0 x2ABB，AB，c2.(3)解不等式 2x(x2)12 得 0 x2，0Ax|0 x2又易知Bx|x1，图中阴影部分表示的集合为A(UB)x|0 x2x|x1x|1x2答案(1)C(2)D(3)B【规律总结】解答集合间的关系判定与运算问题的一般思路(1)正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性、代表的意义(2)根据集合中元素的性质化简集合(3)在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化一般规律为：若给定的集合是不等式的解集，用数轴求解；若给定的集合是点集，用数形结合法求解；若给定的集合是抽象集合，用Venn
5、 图求解易错提示(1)准确理解集合中代表元素的属性，以求解有关不等式(如例 1 中的第(3)题，集合B表示函数yln(1x)的定义域)(2)在借助于数轴进行集合的运算时，要标清实点还是虚点，避免漏解或增解(如例 1 中的第(2)题)【变式训练】1(2012三明模拟)已知集合Mm，3，Nx|2x27x30，xZ Z，如果MN，则m等于3A1 B2 C2 或1 D212解析由 2x7x30，得3x，2又xZ Z，N2，1，又MN，m2 或1.答案C2x22(2012海淀二模)设全集为 R R，集合Mxy14x3，Nx0 x1，则集3221合xxy42AMNC(R RM)N可表示为BMNDM(R R
6、N)解析根据椭圆的有界性知Mx|2x2，解不等式x30，得Nx|1x1x33221由圆的定义可得xxy42x|2x1，3221即xxy42答案DM(R RN)考点二：命题与逻辑联结词【例 2】(1)(2012潍坊模拟)命题：“若x21，则1x1”的逆否命题是A若x21，则x1，或x1B若1x1，则x21C若x1，或x1，则x21D若x1，或x1，则x21(2)若p是真命题，q是假命题，则Apq是真命题 Bpq是假命题Cp是真命题 Dq是真命题审题导引(1)按照四种命题的定义即可解决；(2)由复合命题的真值表判定规范解答(1)“1x1”的否定是x1，或x1.又由逆否命题的定义，原命题的逆否命题为
7、：若x1，或x1，则x21.(2)由条件知，p是假命题，q是真命题，故选 D.答案(1)D (2)D【规律总结】命题真假的判定方法(1)一般命题p的真假由涉及到的相关交汇知识辨别(2)四种命题的真假的判断根据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无必然联系(3)形如p或q、p且q、p命题的真假根据真值表判定【变式训练】3(2012衡水模拟)命题A：若函数yf(x)是幂函数，则函数yf(x)的图象不经过第四象限那么命题A的逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中假命题的个数是A0B1C2D3解析易知命题A是真命题，其逆否命题也是真命题，A的逆命题与否命题都是假命题答案C4(201
8、2石家庄模拟)有下列命题：p：函数f(x)sin4xcos4x的最小正周期是；q：已知向量a a(，1)，b b(1，2)，c c(1,1)，则(a ab b)c c的充要条件是1；r：若a11dx 1(a1)，则ae.x其中所有的真命题是ArBp，qCq，rDp，r解析f(x)sinxcosx(sinxcosx)(sinxcosx)cos 2x，T，故p是真命题；a ab b(1，1)，(a ab b)c c，则0，即1 或0，故q是假命题；22222244xdxlnx|1lna1，1a1aae，故r是真命题答案D考点三：量词、含有量词的命题的否定【例 3】下列命题中是假命题的是Ax0，xs
9、inx2Bx0R R，sinx0cosx02CxR,R,3 0Dx0R R，lgx00审题导引对全称命题与特称命题真假的判定，要结合具体的知识进行，要特别注意思维的严谨性规范解答x0，设单位圆与角x的终边交于点P(m，n)，与m轴正半轴交于2点A(1,0)，作PMm轴于M，由正弦函数的定义，知MPsinx，AP的长lx，由S扇形OAPxSOAPxsinx，故x0，xsinx，即选项 A 是真命题；sinxcosx22sinx 2，4所以不存在x0R R，使 sinx0cosx02，故选项 B 是假命题故选 B.(事实上，由指数函数的值域xR,R,3 0 是真命题；取x01，lgx0lg 10，
10、故x0R R，lgx00 是真命题)答案B【规律总结】全称命题与特称命题的判断方法对于特称命题的判断，只要能找到符合要求的元素使命题成立，即可判断该命题成立；对于全称命题的判断，必须对任意元素证明这个命题为真，也就是证明一个一般性的命题成立时，方可证明该命题成立，而只要找到一个特殊元素使命题为假，即可判断该命题不成立易错提示注意对数函数、指数函数、三角函数、不等式、方程等知识在解题中的应用，在判断由这些知识组成的全称或者特称命题时，要特别注意对数函数的定义域、指数函数的值域、三角函数的定义域和周期性、不等式成立的条件等x【变式训练】5(2012朝阳二模)若命题p：xR R，解析不等式10，则其
11、否定是_xx121120 的隐含条件为0 且xx10，22xx1xx1120，或xx10.xx12綈p：xR R，答案綈p：xR R，120，或xx10 xx121x1x6命题p1：x(0，)，；p2：x(0,1)，log1xlog1x；p3：x23321x11x(0，)，log1x；p4：x0，log1x，其中的真命题是23232Ap1，p3 Bp1，p4 Cp2，p3 Dp2，p4111x解析取x，则log1x1，log1xlog321，p2正确；当x0，时，1，而23232log1x1，p4正确3答案D考点四：充分必要条件【例 4】(1)(2012黄冈模拟)已知条件p：x1，条件q：1，
12、则綈p是q的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既非充分也非必要条件x12，q：x22x1m20(m0)，若p是q(2)(2012丰台二模)已知p：13的充分不必要条件，则实数m的取值范围是A(0,9)B(0,3)C(0,9 D(0,3审题导引(1)求出綈p与q中x的范围后，再判断；(2)先解p与q中的不等式，然后利用数轴求解规范解答(1)p：x1，又易知q：x0 或x1，p是q的充分不必要条件x12 得p：2x10，(2)解不等式13又x2x1mx(1m)x(1m)0，且m0，q：1mx1m.p是q的充分不必要条件，q是p的充分不必要条件221m2由图得1m10m00m3.答案(
13、1)A(2)D【规律总结】1m2或1m10m0充分必要条件的判定方法(1)充要关系的判断就是在两个条件之间互推，当问题为A是B的什么条件时，如果AB，反之不成立的话，则A是B的充分不必要条件(B是A的必要不充分条件)；如果BA，反之不成立的话，则A是B的必要不充分条件(B是A的充分不必要条件)；若AB，则A，B互为充要条件(2)充要关系可以从集合的观点理解，即若满足命题p的集合为M，满足命题q的集合为N，则M是N的真子集等价于p是q的充分不必要条件，N是M的真子集等价于p是q的必要不充分条件，MN等价于p和q互为充要条件，M，N不存在相互包含关系等价于p既不是q的充分条件也不是q的必要条件易错
14、提示充分必要条件的判断应注意问题的设问方式，我们知道：A是B的充分不必要条件是指：AB且BA；A的充分不必要条件是B是指：BA且AB.在解题中一定要弄清它们的区别，以免出现错误【变式训练】7(2012咸阳二模)下面四个条件中，使ab成立的充分而不必要的条件是Aab1Bab1Ca2b2Da3b3解析ab1b，ab1 是ab的充分条件，但当ab时不能推出ab1，故选 A.答案A18(2012成都模拟)已知p：|x10|9x|a的解集为 R R，q：1，则綈p是q的aA充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析|x10|9x|1，且|x10|9x|a的解集为 R R，p：a
15、1，则p：a1；1解不等式 1，得q：a0 或a1，ap是q的充分不必要条件答案A名师押题高考x0【押题 1】设全集UR R，集合AxZ Z3x，BxZ Z|x29，则图中阴影部分表示的集合为A1,2B0,1,2Cx|0 x3Dx|0 x3x0 xZ Zx3解 析图 中 阴 影 表 示 的 是AB，化 简 集 合：Axx30，xZ Zx30 xZ Z|0 x30,1,2，BxZ Z|3x33，2，1,0,1,2,3，所以AB0,1,2，故选 B.答案B押题依据高考对集合的考查集中在三个方面：集合的表示方法，元素的性质特征与集合的运算本题与不等式的解法交汇命题、综合性较强重点考查集合的运算，难度
16、不大，但重点突出，立意新颖，故押此题【押题 2】已知命题p1：当x，yR R 时，|xy|x|y|成立的充要条件是xy0.p2：函数y2x2x在 R R 内为减函数，则在命题q1：p1p2，q2：p1p2，q3：(p1)p2和q4：p1(p2)中，真命题是Aq1，q3Cq1，q4Bq2，q3Dq2，q4解析解法一p1是真命题，事实上：(充分性)若xy0，则x，y至少有一个为 0 或两者同号，|xy|x|y|一定成立2222(必要性)若|xy|x|y|，两边平方，得x2xyyx2|xy|y，xy|xy|.xy0.故p1为真11x1xx而对于p2：y2 ln 2xln 2ln 22 x，当x0，)
17、时，2 x，又 ln 20，222y0，函数单调递增；同理得当x(，0)时，函数单调递减，故p2是假命题由此可知，q1真，q2假，q3假，q4真故选 C.解法二p1是真命题，同解法一对p2的真假可以取特殊值来判断，如取x11x22，517517得y1 y2；取x31x42，得y3 y4，即可得到p2是假命题，由此可知，2424q1真，q2假，q3假，q4真故选 C.解法三p1是真命题，同解法一对p2：由于y2 2 2 2 2 2(等号在x0 时xxxx取得)，故函数在 R 上有最小值 2，故这个函数一定不是单调函数，p2是假命题，由此可知，q1真，q2假，q3假，q4真故选 C.答案C押题依据常用逻辑用语重要的数学基础知识，是高考考查的热点，本题综合考查了命题的真假判断，充分必要条件及逻辑联结词，题目难度适中，体现了对基础知识，重点知识的考查，故押此题