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1、高考数学二轮复习专项训练函数模型及其应用一 、单选题（本大题共8小题，共40分）1.（5分）某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：小时)之间的函数关系为P=P0ekt(k为常数，P0为原污染物总量).若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤n小时，则正整数n的最小值为()(参考数据：取log52=0.43)A. 8B. 9C. 10D. 142.（5分）已知f(x)是定义在R上的函数，且f(x+1)关于直线x=1对称当x0时，
2、f(x)=214x2+1,0x22log2x,x2，若对任意的xm,m+1，不等式f(22x)f(x+m)恒成立，则实数m的取值范围是()A. 14,0)B. 12,1C. 1,+)D. 12,+)3.（5分）设f(x)=x2,x10f(x+6),x10，则f(9)=()A. 10B. 11C. 12D. 134.（5分）设f(x)=x2+1(x0)4xcosx1(x0的零点是()A. (1,0)，(1,0)B. 1，1C. (1,0)D. 16.（5分）设函数f(x)=3x2,x12x,x1，则满足f(f(a)=2f(a)的a的取值范围是()A. (,1B. 0,1C. 0,+)D. 1,+
3、)7.（5分）某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应为()A. x=15，y=12B. x=12，y=15C. x=14，y=10D. x=10，y=148.（5分）已知函数f(x)=x2(3a+1)x+2,x0且a1)，其图象如图所示，则下列说法正确的是( )A. 池塘中原有浮草的面积是0.5平方米B. 第8个月浮草的面积超过60平方米C. 浮草每月增加的面积都相等D. 若浮草面积达到10平方米，20平方米，30平方米所需要的时间分别为t1，t2，t3，则2t2t1+t
4、310.（5分）对于函数fx=sinx,x0,212fx2,x0,+，下列满足此函数结论的有()A. 任取x1,x20,+),都有|f(x1)f(x2)|2恒成立B. f(x)=2kf(x+2k)(kN)，对于一切x0,+)恒成立C. 函数y=f(x)ln(x1)有3个零点D. 对任意x0，不等式f(x)2x恒成立11.（5分）设函数f(x)=x2+1,x02x,x1在R上是单调函数，则a的取值可能是().A. 0B. 1C. 32D. 313.（5分）设函数f(x)=|2x1|,x2,x+5,x2,若互不相等的实数a，b，c满足f(a)=f(b)=f(c)，2a+2b+2c的值不可能是()A
5、. 16B. 18C. 30D. 34三 、填空题（本大题共5小题，共25分）14.（5分）已知函数f(x)=2x+1,x1x2+ax,x1，若ff(0)=4a，则实数a等于_15.（5分）函数f(x)=|x|,x0，则a的取值范围是_16.（5分）已知函数f(x)=x22x+1，则f(x)的值域为_.17.（5分）如图，OAB是边长为2的正三角形，记OAB位于直线x=t(t0)左侧的图形的面积为f(t).则函数f(t)的解析式为_18.（5分）已知函数f(x)=x2+2ax(x1)2ax1(x1)，若存在两个不相等的实数x1，x2，使得f(x1)=f(x2)，则实数a的取值范围为 _ .四
6、、解答题（本大题共5小题，共60分）19.（12分）某旅游景点预计2014年1月份起前x个月的旅游人数的和p(x)(单位：万人)与x的关系近似满足p(x)=12x(x+1)(392x)，(xN+,x12)已知第x月的人均消费额q(x)(单位：元)与x的近似关系是 q(x)=352x,(xN+,1x6)16x,(xN+,7x12) (1)写出2014年第x月的旅游人数f(x)(单位：万人)与x的函数关系式； (2)试问2014年哪个月的旅游消费总额最大，最大旅游消费额为多少万元？20.（12分）如图所示，在边长为4的正方形ABCD边上有一点P，沿着折线BCDA由B点(起点)向A点(终点)移动设P
7、点移动的路程为x，ABP的面积为y=f(x).(1)求ABP的面积与P点移动的路程间的函数关系式；(2)作出函数的图象，并根据图象求f(x)的最大值21.（12分）已知函数f(x)=lnx,x1ax2+x+1,x1，aR()若函数f(x)的值域为0,+)，求实数a的取值范围； ()若函数f(x)恰有两个零点，求实数a的取值范围22.（12分）某销售公司拟招聘一名产品推销员，有如下两种T资方案：方案一：每月底薪2000元，每销售一件产品提成15元；方案二：每月底薪3500元，月销售量不超过300件，没有提成，超过300件的部分每件提成30元(1)分别写出两种方案中推销员的月工资y(单位：元)与月
8、销售产品件数x的函数关系式；(2)从该销售公司随机选取一名推销员，对他(或她)过去两年的销售情况进行统计，得到如下统计表：月销售产品件数x300400500600700次数24954把频率视为概率，分别求两种方案该推销员的月工资超过11090元的概率23.（12分）菱形ABCD中，AB=1,BAD=3.点E，F分别在边BC，CD上，且BE=BC,CF=(1)CD(1)求ABAC的值；(2)求AEBF的取值范围答案和解析1.【答案】C;【解析】此题主要考查指数函数模型的应用，根据条件求出k的取值是解决本题的根据，考查指数函数的应用，属于中档题.先利用函数关系式，结合前4个小时消除了80的污染物，
9、求出常数k的值，然后根据指数方程，即可求出结论解：由题意，前4个小时消除了80的污染物，因为P=P0.ekt，所以(180)P0=P0e4k，所以0.2=e4k，即4k=ln0.2=ln5，所以k=ln54，则由0.5P0=P0ekt，得ln0.005=ln54t，所以t=4ln200ln5=4log5200=4log5(5223)=8+12log52=13.16，故正整数n的最小值为144=10.故选C.2.【答案】D;【解析】解：f(x+1)关于直线x=1对称，向右平移一个单位得到f(x)关于直线x=0对称，即f(x)是偶函数，当x2时，f(x)=2log2x为减函数，且f(x)2log2
10、2=21=1，当0x2时，由复合函数的单调性知f(x)为减函数，且1f(x)2，即当x0时，f(x)为减函数，对任意的xm,m+1，不等式f(22x)f(x+m)恒成立，等价为f(|22x|)f(|x+m|)恒成立，即|22x|x+m|恒成立，平方得4x28x+4x2+2mx+m2，得3x2(8+2m)x+4m20，设g(x)=3x2(8+2m)x+4m2，任意的xm,m+1，g(x)0，g(m)0g(m+1)0，得8m+404m10，得m12m14，得m12，故选：D根据对称性，先判断函数f(x)是偶函数，结合分段函数的表达式判断函数f(x)在0,+)上是减函数，结合函数的奇偶性和对称性的性
11、质将不等式进行转化求解即可这道题主要考查不等式恒成立问题，结合条件判断函数的奇偶性和单调性，以及利用奇偶性和单调性的性质进行转化是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度3.【答案】D;【解析】解：根据题意，f(x)=x2,x10f(x+6),x10，则f(9)=f(15)=152=13，故选：D根据题意，由函数的解析式直接计算可得答案此题主要考查分段函数函数值的计算，注意函数解析式的形式，属于基础题4.【答案】B;【解析】解：f(x)=x2+1(x0)4xcosx1(x04cosx,x04cosx,x04cosx,x0，当x0时，f(x)=x+1，若f(x)=0，即x+1=0，解可得x=1，即
12、1是f(x)的一个零点，当x0时，f(x)=lgx，若f(x)=0，即lgx=0，解可得x=1，即1是f(x)的一个零点，则f(x)的零点是1和1，故选：B根据题意，由函数的解析式，分x0与x0两种情况讨论f(x)=0的解，综合可得答案此题主要考查函数的零点，涉及分段函数的性质，属于基础题6.【答案】D;【解析】解：根据题意，函数f(x)=3x2,x12x,x1，若f(f(a)=2f(a)，必有f(a)1，a1时，f(a)=3a23，不等式f(a)1无解，a1时，f(a)=2a1，不等式f(a)1即2a1，则有a0，则有a1，综合可得：a的取值范围为1,+)，故选：D根据题意，由f(f(a)=
13、2f(a)可得f(a)1，进而分2种情况讨论，分析f(a)1的解集，综合即可得答案该题考查分段函数的性质，涉及函数的值域分析，属于综合题7.【答案】A;【解析】此题主要考查了函数的应用意识，属于基础题.利用相似三角形的性质，得到x与y的关系，面积的表达式，再利用配方法，得到二次函数取最值的条件，注意讨论当0y8时的情况.解：当8y24时，即矩形一个顶点在斜边上，由直角三角形相似得24y248=x20，得x=54(24y)，x0,20，此时矩形面积S=xy=54(y12)2+180，当y=12时，S有最大值180，此时x=15.当0y8时，Smax=208=160，综上所述，当x=15，y=12
14、时，矩形有最大面积故选 A.8.【答案】B;【解析】解：函数f(x)=x2(3a+1)x+2,x1ax,x1是R上的减函数；0a60，故B正确 当t=1时，y=1，增加0.5平方米，当t=2时，y=2，增加1平方米， 故每月增加的面积不相等，故C错误 由2t11=10，得t1=log210+1， 同理t2=log220+1，t3=log230+1，所以2t2=2log220+2=log2400+2log2300+2=t1+t3， 所以2t2t1+t3，故D正确故选ABD.10.【答案】ACD;【解析】此题主要考查分段函数的应用，考查数形结合的数学思想，正确作出函数的图象是关键作出f(x)的图象
15、，利用图象可得结论解：f(x)=sinx,x0,212f(x2),x2,+的图象如图所示：f(x)的最大值为1，最小值为1，任取x1、x20,+),都有|f(x1)f(x2)|2恒成立，故A正确；f(12)=2f(12+2)=4f(12+4)=6f(12+6)8f(12+8)，故B不正确；如图所示，函数y=f(x)ln(x1)有3个零点，故C正确；由题意，可得，x(2k,2k+2)，f(x)max=12k，(kx)min=1k+1.证明1k+112k，即证明2kk+1，构造f(k)=2kk1，则f(k)=2kln210(k1)，1k+112k，对任意x0，不等式f(x)kx恒成立，对任意x0，
16、不等式f(x)2x恒成立正确，故D正确故选：ACD.11.【答案】BC;【解析】解：根据题意，设函数f(x)=x2+1,x02x,x0，若f(a)=a，分2种情况讨论：当a0时，f(a)=a2+1=a，解可得a=2，当a1时，f(x)=ax+4也为增函数，所以，解得02=2x+1,x2，如图：若互不相等的实数a，b，c，满足f(a)=f(b)=f(c)，设f(a)=f(b)=f(c)=m，则函数y=f(x)的图象与直线y=m有3个不同的交点，分别为(a,m)，(b,m)，(c,m)，且0m1，结合函数的图象，有a(,0)，b(0,1)，c(4,5)，当m1时，表达式2a+2b+2c的值趋向最小
17、值0+2+24=18，当m0时，表达式2a+2b+2c的值趋向最大值1+1+25=34则2a+2b+2c的取值范围是(18,34)，结合选项可知，2a+2b+2c的值不可能是ABD故选：ABD画出分段函数的图象，利用数形结合判断a、b、c的范围与关系，然后求2a+2b+2c的取值范围，结合选项得答案此题主要考查分段函数的图象以及性质的应用，关键是画出函数的图象，属于中档题14.【答案】2;【解析】解：函数f(x)=2x+1,x1x2+ax,x1， ff(0)=4a， 可得ff(0)=f(20+1)=f(2)=22+2a=4a， 解得a=2故答案为：2利用分段函数列出方程转化求解即可该题考查分段
18、函数的应用，函数值的求法，考查计算能力15.【答案】（-，-1）（0，+）;【解析】解：函数f(x)=|x|,x0，a0或a02a10，a0，a的取值范围是(,1)(0,+)故答案为：(,1)(0,+)利用函数f(x)=|x|,x0，可得不等式组，解不等式，即可求出a的取值范围此题主要考查分段函数的应用，考查解不等式，考查学生的计算能力，比较基础16.【答案】0,2;【解析】此题主要考查函数的值域以及二次函数的性质，属于基础题.首先将函数f(x)进行配方，根据二次函数的性质得出f(x)的最大值，然后根据二次根式的意义得出f(x)的最小值，进而得出值域.解：f(x)=x22x+1=x+12+2，
19、当x=1时fxmax=2.又f(x)=x22x+10，函数f(x)=x22x+1的值域为0,2.故答案为0,2.17.【答案】f（t）=32t2，0t132t2+23t3，1t23，t2;【解析】解：当0t1时，如图，设直线x=t与OAB分别交于C、D两点，则|OC|=t，又|CD|OC|=3，|CD|=3tt，f(t)=12|OC|CD|=12t3t=32t2；当12时，f(t)=3综上所述f(t)=32t2,0t132t2+23t3,12，故答案为：f(t)=32t2,0t132t2+23t3,12直接利用三角形面积公式分段求函数f(t)的解析式该题考查函数模型的选择及应用，考查分段函数解
20、析式的求法，分段函数的对应关系是借助于几个不同的表达式来表示的，处理分段函数的问题时，首先要确定自变量的数值属于哪一个区间段，从而选相应的关系式对于分段函数，注意处理好各段的端点，是中档题18.【答案】0，+）;【解析】解：若存在两个不相等的实数x1，x2，使得f(x1)=f(x2)，则函数f(x)函数不为单调函数，由y=x2+2ax在(a,+)上为减函数，故函数f(x)=x2+2ax(x1)2ax1(x1)为单调函数时只能是减函数，此时a0，故函数f(x)函数不为单调函数时，a0，即实数a的取值范围为：0,+),故答案为：0,+)若函数f(x)=x2+2ax(x1)2ax1(x1)，若存在两
21、个不相等的实数x1，x2，使得f(x1)=f(x2)，则函数不为单调函数，进而根据二次函数和一次函数的图象和性质，可得实数a的取值范围此题主要考查的知识点是分段函数的应用，其中根据已知分析出函数f(x)函数不为单调函数，是解答的关键19.【答案】解：（1）当x=1时，f（1）=p（1）=37， 当2x12，且xN*时，f（x）=P（x）-P（x-1）=-3x2+40x 验证：x=1时，37符合f（x）=-3x2+40x f（x）=-3x2+40x（xN*，且1x12） （2）第x月旅游消费总额为g（x）=f（x）q（x）=(352x)(3x2+40x)，(xN+，1x6)16x(3x2+40x
22、)，(xN+，7x12)=6x3185x2+1400x，(xN+，1x6)48x+640，(xN+，7x12) 当1x6，且xN+时，g（x）=18x2-370x+1400，令g（x）=0， 解得x=5，x=140（舍去） 当1x5时，g（x）0，当5x6时，g（x）0， 当x=5时，g（x）max=g（5）=3125（万元） 当7x12，且xN*时，g（x）=-48x+640是减函数， 当x=7时，g（x）max=g（7）=304（万元）， 综上，2013年第5月份的旅游消费总额最大，最大月旅游消费总额为3125万元;【解析】(1)先计算x=1时的值，第x月的旅游人数f(x)=P(x)P(x
23、1)，代入可得结果； (2)第x月旅游消费总额为g(x)=f(x)q(x)，用分段函数表示，在求每一段的最大值 此题主要考查实际应用题，读懂题意，列出函数表达式，再应用函数的性质解决实际问题20.【答案】解：(1)由于x=0与x=12时，三点A、B、P不能构成三角形，故这个函数的定义域为(0,12)，当0x4时，S=f(x)=124.x=2x；当4x8时，S=f(x)=1244=8；当8x0=14a0，所以a14所以实数a的范围为14，+）；（2）由题意得f（x）=ax2+x+1在（-，1）恰有一个零点，又f（x）图象恒过点（0，1）则a0=0或a0a12+1+10或a=0，解得a=14或-2
24、a0实数a的范围是-2，014;【解析】(1)问题转化为f(x)=ax2+x+1(x300,xN；（2）方案一中推销员的月工资超过11090元，则15x+200011090，解得x606，所以方案一中推销员的月工资超过11090元的概率为P=42+4+9+5+4=16；方案二中推销员的月工资超过11090元，则30（x-300）+350011090，解得x553，所以方案二中推销员的月工资超过11090元的概率为P=5+42+4+9+5+4=38;【解析】(1)利用一次函数和分段函数分别表示方案一、方案二的月工资y与x的关系式； (2)分别计算方案一、方案二的推销员的月工资超过11090元的概
25、率值该题考查了分段函数与应用问题，也考查了利用频率估计概率的应用问题，是基础题23.【答案】解：(1)菱形ABCD中，AB=1,BAD=3ABAC=AB(AB+AD)=1+ABAD=1+|AB|2cos3=32；(2)BE=BC,CF=(1)CD，AE=AB+BE=AB+AD，BF=BC+CF=(1)AB+AD，AEBF=(1)(AB)2+(AD)2+(1)+1ABAD =122+3212=12(+32)2138，0,1，易知AEBF在0,1上单调递减，当=0时，AEBF取得最小值，=1时，AEBF取得最大值，AEAF12,32.;【解析】本题考查了菱形的性质，向量的加减运算，向量数量积运算，二次函数性质及其运用，属于中档题.(1)根据菱形的性质可得ABAC=AB(AB+AD)，然后结合AB=1,BAD=3带入数量积运算即可求解；(2)根据BE=BC,CF=(1)CD，得到AE=AB+BE=AB+AD，BF=BC+CF=(1)AB+AD，进而表示出AEBF关于的关系式，然后运用二次函数性质求解即可. 学科网（北京）股份有限公司