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1、3.4心角(2)教学目标：1 .经历探索圆心角定理的逆定理的过程；2,掌握“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个圆心距中有一对量相等, 那么它们所对应的其余各对量都相等这个圆的性质；3 .会运用关于圆心角，弧，弦,弦心距之间相互关系的定理解决简单的几何问题.教学重点与难点：教学重点：关于圆心角，弧，弦,弦心距之间相互关系的性质教学难点:证一证（2）涉及四边形、圆等较多知识点，且思路不易形成.学情分析：学生已通过折叠、对称、平移旋转、推理证明等方式认识了三角形、四边形、平行 四边形以及特殊平行四边形等许多图形的性质，积累了大量的空间与图形的经验.而且是在 学习了这些直线型图形的有
2、关性质的基础上，进一步来探索一种特殊的曲线圆及有关性 质。圆是一种特殊的图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形，学生已经掌握了利用圆的 对称性去探索“垂经定理”及其推论；借助于圆的旋转不变性探索出了圆心角定理的基础上, 继续探索并认识圆心角、弧、弦之间的相等关系的定理。对学生今后继续学习数学，尤其是 逐步树立分类讨论的数学思想、化归的数学思想和归纳的能力起着良好的铺垫作用。情感、态度与价值观经历探索3个圆心角逆定理，再结合圆心角定理得到圆心角、弧、弦、弦 心距之间相互关系定理的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助 学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验；利用数学中的素材，设计具有
3、挑 战性的情景，激发学生求知、探索的欲望和归纳总结的能力。设计意图本节课的设计，从学生已有的知识（圆心角定理）出发，得到它的三个逆命题，引导他 们在“做数学”的活动中，在自主探索的过程中获得知识和技能，掌握基本的数学思想方法。 让学生在合作交流、自主探索的基础上获得的3个圆心角逆定理.再结合圆心角定理，得到 圆心角、弧、弦、弦心距相互之间的关系定理。学生在亲身体验探索中认识数学（理解问题）， 掌握数学知识和方法（解决问题），和并通过与他人的合作，学会交流思想，学会表达自己 的观点，学会质疑，学会倾听，学会尊重他人，学会评价信息.这种“过程”会改变数学学习 的过程和结果，对促进学生的发展具有非常
4、重要的意义。通过填一填环节，帮助学生能熟练巩固所学的圆心角、弧、弦、弦心距相互之间的关系 定理的内容，也让学生体会到在同圆或等圆中，知其一得其三。通过补一补环节，让学生体会要证明两条弦相等，可以去从这两条弦所对的两条弧或两 个圆心角或两条弦心距中找条件，也让学生体会到在同圆或等圆中，要证明圆心角、弧、弦、 弦心距这四组量中的某一组量相等，通常是转化成证明另外三组量中的某一组量相等.即一 个结论可以通过转化其余三个条件来中的一个来求证或证明；也让学生明白适当添加辅助线 进行构造相关的元素来辅助解决；降低证一证（1）和（2）的难度。通过证一证（1）让学生明白有些题目可以用多种方法去解决；而且可以从
5、中挑选最优的 方法来完成；一个结论可以通过转化其余三个条件来中的一个来求证或证明；同时也让学生 明白当遇到问题时可以及时添加辅助线进行构造相关的元素来辅助解决。通过证一证（1）中的变一变1和变一变2让学生体会到一道题目通一类，让学生明白及 时归纳和总结的好处.通过证一证（2）让学生继续体会到在同圆或等圆中，要证明圆心角、弧、弦、弦心距 这四组量中的某一组量相等，通常是转化成证明另外三组量中的某一组量相等.即一个结论 可以通过转化其余三个条件来中的一个来求证或证明。以及添加恰当的辅助线来帮助解决问 题.通过谈一谈让学生归纳这节课所学的主要内容以及一些解题思路、方法和策略，让学生 能站在更高层次去
6、看问题,有利于学生进一步的发展。通过找一找环节，巩固本节课所学的定理和培养学生的发散思维和推理能力以及计算能力.教学过程:、温故知新师：在这个圆中，如果两个圆心角NAOB与NCOD相等，那么我们还 能得到哪些结论0=小生：AB=CD,，弦心是巨0二弦心星巨OF师：1.这就是上节课我们学习的圆心角定理，多媒体展示圆心角定理 的内容2 .注意：圆心角定理有一个前提条件：在同圆或等圆中。3 .我们也可以用数学语言来表达（在黑板上书写）在同圆或等圆中ZAOB=ZCOQ-AB=CD二.探索新知：AB=CDOE=OF1 .师：圆心角定理包含了几个定理？分别是什么？生：（1）,在同圆或等圆中相等的圆心角所对
7、的弧相等.在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弦相等（2） .在同圆或等圆中 相等的圆心角所对弦的弦心距相等2 .师：那我们能说出这三个定理的逆命题吗？生：（1）.在同圆或等圆中 相等的弦所对圆心角的相等.在同圆或等圆中 弦心距相等的两弦，所对的圆心角相等（学生易错）（2） .在同圆或等圆中 相等的弧所对圆心角的相等3 .师：这3个逆命题是真命题吗？ 我们如何证明？那我们这样安排学生分成3个大组，以前后桌为单位合作讨论，完成一个逆命题的证明，并选派一个代表 到讲台上来讲解证明过程。4 .师：（1）.通过同学们的推理，我们知道，两条弦相等可以推出所对的两个圆心角相等， 再根据圆心角定理我们还能得到什
8、么结论？（所对的两条弧相等，所对的弦心距也相等）同 时在黑板上用几何语言表达出来；依次类推两条弦的弦心距相等可以推出所对的两个圆心角 相等，两条弧相等，两条弦也相等；两条弧相等可以推出所对的两个圆心角相等，两条弦相 等，两条弦的弦心距也相等。在同圆或等圆中在同圆或等圆中ZAOB=ZCOD AB=CD 圆心a角相等弋=弦相等AB=CD OE=OF弧相等冬=弦心距相等(2) .刚才我们证明了这三个逆命题都是真命题，再结合圆心角定理得到了在同圆或等圆中 这4对量之间的相互关系.你能用一句话来概括吗？学生表述：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对 量相等，那么它们所对应的
9、其余各对量都分别相等.学生：齐读5.师：这就是圆心角、弧、弦、弦心距之间相互关系的定理.这就是今天这节课我们所学的 主要内容。板书：3.4圆心角(2)三.运用新知L填一填己知：如图，AB, AC是。0的两条弦，OE, OF为AB、AC的弦心距，根据圆心角的相关定理填空：A(1)如果 A3=AC,那么 ,o/ / (2)如果0E=0凡 那么 ,o ( %(3)如果金= ,那么,o(4)如果NA03二NA。，那么 师：通过对这道题的解答，你有什么启发?小结：在同圆或等圆中，知其一可得其三。2 .补补如图，已知AB,CD是。0上的两条弦,求证：AB二CD 问题1：如果连结OA、OB、OC、0D,那么
10、我们又可以补上什么条件，使得AB=CD?7-问题2：如果添加两条弦的弦心距OE、OF,那么我们又可以补上什么条件，使得AB=CD?问题3：如果连结BC、AD,那么我们又可以补上什么条件，使得AB=CD?小结：要证两条弦相等，我们可以从它所对的优弧或劣弧，也可以从它所对的圆心角或所对 的弦心距是否相等入手;那要证两条弧相等呢？我们也可以从它所对的弦、所对弦的弦心距、所对的圆心角是否相等入手；也就是说，在同圆或等圆中，要证明四对量中的一对量相等, 只要转化为证明其余三对量中的一对量相等就可以了。师：既然我们掌握了在同圆或等圆中证明弧、弦、弦心距、圆心角相等的思路和方法，我 们来试着证证看.证一证(
11、1) .如图，过。0上一点P作两条弦PD、PB,连结0P.若P0平分NBPD.求证：PB=PD师：还有方法吗？师:通过这道题目的证明，你有什么启发呢？小结：一道题目我们可以尝试用多种方法来解决；当一道题目有多种方法来完成时，我们 可以用最优最简单的方法来完成；在同圆或等圆中，要证明圆心角、弧、弦、弦心距这四组 量中的某一组量相等，通常是转化成证明另外三组量中的某一组量相等.师：刚才这两条弦相交于圆上一点，那如果这两条弦相交于圆内一点，其它条件不变，那这两条弦还相等吗？变一变1：如图，点P在。0内，过点P作两条弦AB、CD,连结0P,若P0平分NBPD.求证：AB=CD师：如果这两条弦相交于圆外
12、一点呢?变一变2：如图，点P在。0外，过点P作PB和PD交。0于点A和点C.连结 师：通过解决这三道变式题目，你有什么启发吗?OP.若PO平分NBPD 求证:AB=CD0小结：一道题目可以通一类师：刚才证明了弦相等，那接下来我们证弧相等 (2)已知：如图，AABC为等边三角形，以BC为直径的圆0分别交AB、AC于点D、E.求证:BD=DE=EC小结：1 .在同圆或等圆中，要证明圆心角、弧、弦、弦心距这四组量中 的某一组量相等，通常是转化成证明另外三组量中的某一组量相等.2.当遇到问题不能解决时，可以添加适当的辅助线来帮助解决问题.4 .谈一谈 本节课你的收获(1) .四个元素：圆心角、弦、弧、
13、弦心距(2) .在同圆或等圆中四个相等关系:圆心角相等弧相等弦相等 弦心距相等弧相等弦心距相等(3) .在同圆或等圆中要证明圆心角、弧、弦、弦心距这四组量中的某一组量相等，通常是转化成证 明另外三组量中的某一组量相等.即一个结论可以通过其余三个条件来求证或证 明.找一找如图，等边三角形ABC内接于。连结。4、OB. 0C,延DDBC长AO,分别交BC于点P, 于点D.请同学们在这个图形中，找出相等的角，相等的弧，相等的线段。相等的角:相等的弧: 相等的线段:师：在这个图形中，如果再连结BD、CD.问题L四边形BDCO是菱形吗？如果是，你能证明吗？问题2：若。0的半径为r,你能求出等边三角形AB
14、C的边长吗?问题3：若等边三角形ABC的边长a,你还能求出。0的半径吗？小结：事实上我们只需要知道这个图形中的任意一条线段长，就能求出这个图形中其余所 有的线段长，并且还可以求出这个图形中所有图形的周长和面积。今后我们还可以求出这 个图形中每一条弧的长度.板书设计:3.4圆心角（2）学生板演四边形BDCO是菱形 的推理过程定理在同圆或等圆中ZAOB=ZAOCABwCDAB二CD OE=OF证明：连结OD,OE是等边三角形 /.ZB=ZC=60 XVOB=ODMBD是等边三角形 /.ZB0D=60同理可得：ZE0C=60 /.ZD0E=180o-ZB0D-ZE0C = 180o-60-60o=60：,ZBOD=ZDOE=ZEOC/.BD=DE=EC