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1、第七章玻耳兹曼统计7.1据公式p = q电证明，对于非相对论粒子 = /1 = -L网1d+；+；）有P=也。1 dV2m 2加 I L ）y x y z/ 3r解：边长的立方体中，粒子能量本征值：九?”（芋（4+力+明，简记为与其中厂=1?是系统体积，常量Q =后），并以指标/代表小”%三个量子数。2m y ，y从而得：迫二 =_乙旷,代入压强公式，有夕=_0包=2工。向=2巳。 dV 33 /1 dV1 1 3 77.2 试根据公式2=-.|去证明，对于相对论粒子 = = c竿有夕=；指解:边长为的立方体中，极端相对论粒子的能量本征值为：=c过田+2+2）；nxnynzL X y Z J用
2、指标/表示量子数表示系统的体积=厂，可将上式简记为巧=1万3其中：a = 2%加（几;+屋+娟，.由此明= 一!。/ =一，刍,代入压强 x y zf qV 33 Vg 与 iuP Q,=/ Cl=.T dV 3KT3K选择不同的能量零点，粒子第/个能级的能量可以取为弓或与*。以表示二者之差，A = ；-卬试证明相应配分函数存在关系Z：=”不 并讨论由配分函数Z和Z：求得的热力学函 数有何差异.解:中选择不同的能量零点时，粒子能级的能量可以取为马或弓*=与+入配分函数Z； =W/e-“ =2。僧-桁+可=6一您工0心-陶=6一您4，故InZ； =ln4 -於III根据内能的统计表达式：u =
3、-NnZ容易证明。*=U + NA,明 1根据压强的统计表达式：pJZ、，容易证明p*=p,0 dV 根据燧统计表达式：S = NknZ1-nz 容易证明S* = S，其他热力学函数请自行考 I 明U虑。7.3 试证明，对于遵从玻尔兹曼分布的系统，焙函数可以表示为S = -MtZ&ln鸟,式中Ps是粒S子处在量子态s的概率乙一=/，y 对粒子的所有量子态求和。s N Z 七-a-ps证明：S态上的平均粒子数为-怨,概率为*一JVZ 显然有归一化条件Z G=l，且粒子的平均能量可以表示为 = Z Ps%定域系统的次商为：S = NkOnZ _0lnZJ = NkQnZ+华)=NkPsOnZ +
4、04)_Nk&PsnPs某固体含有A、B两种原子，试证明由于原子在晶体格点的随机分布起的混合牖为：S = AlnN!= -7VA:xlnx + (l-x)ln(l-x)其中，N是总原子数,II I (1) I .X是/原子的百分比,(1-x)是B原子的百分比。证明：A种原子在N个格点随即分布的状态数：Q = C =N!网!N(l 切!所以混合烯S = klnQ = klnN!网!N(l 一切!= klnN!-ln(M:)!-lnN(I)!当N很大时，利用公式Inm!a加当N很大时，利用公式Inm!a加(in加-1),得 S = -Nk xInx + (1 -x)In(1 -x)7.6晶体含有N
5、个原子，原子在晶体中的正常位置如图中的“O”所示,当原 子离开正常位置而占据图中的“X”位置时，晶体中就出现缺位和填隙原子. 晶体的这种缺陷称为Frenkel缺陷.(a)假设正常位置和填隙位置数都是N,试证明，由于在晶体中形成个缺7.6晶体含有N个原子，原子在晶体中的正常位置如图中的“O”所示,当原 子离开正常位置而占据图中的“X”位置时，晶体中就出现缺位和填隙原子. 晶体的这种缺陷称为Frenkel缺陷.(a)假设正常位置和填隙位置数都是N,试证明，由于在晶体中形成个缺O xO xO xO x位和填隙原子而具有的端等于:S = 2klnN!XXO OXXO Oo xO xO xO xOo x
6、O xO xO x(b)设原子在填隙位置和正常位置的能量差为.试由自由能产= m/-TS为极小证明，温度为TU时，缺位和填隙原子数为:笈e Ne 2仃解：(a)晶体内N个原子，正常的格点位置亦为乂当固体的N个正常位置出现个缺位时，由于缺位位置的不同，可以有G；=N!个微观状态，同样也可以有或=N!个微观状态.因此总的可能的微观状态数为：。=S = knQ = 2knN!叫N-)!N!、2,因此弗伦克尔缺陷焙为:(b)形成个缺位和填隙原子后，固体内能的增加为U = mz自由能的改变为尸=3 = 一2 5NlnN- ln (N)ln(N-明假设形成缺陷后固体的体积不变，温度为7时平衡态的自由能为极
7、小:更=0 dndnn 2kT曰 dF a N-n 八 nn. N-n u 从而得：-u-2kTIn= 0, 即In=由于N,上式可以近似为 bNS而如果原子脱离晶体内部的正常位置而占据外表上的正常位置，构成新的一层，称为肖脱基缺 陷.以N表示晶体中的原子数，表示晶体中的缺陷数.如果忽略晶体体积的变化，试用自由能为w_极小的条件证明，温度为T时，有。战一百（设 N）,其中少为原子在外表位置与正常位 置的能量差。解:在原有的N个正常位置中个原子转移到外表，就有个缺位，有：Q= J!加（N ）!形成缺陷后固体端增为S = kln0 =左InN!叫 N-)!=A: TVIn TV-win -(#-)
8、 In形成个肖脱基后内能的增加为。=W，自由能的改变为/=少-TS忽略固体体积的变化，温度为7时平衡态自由能最小要求：二=0 dn得生=%一左Tin 上4 = 0，即后上三二2，由于 N,上式近似为： gNe而 dnnn 2kT气体以恒定的速度沿Z方向作整体运动。试证明，在平衡状态下分子动量的最概然分布为厂内心的.小巧小。证明：气体是非定域系统，由于满足经典极限条件而遵从玻尔兹曼分布。微观状态数为Q =其对数为1no = Z为1n例一Z lna,! = Z为山用一q!iiiii令各有ai的变化InQ,因而有变化blnQ = -Z ln i g在气体沿Z方向作整体运动的情形下，分布满足：工 四=
9、N .工。国二,工aRz=Pz iii要求Z M=bN工 勿Q/=5E = 0；Z Piz3ai=3Pz=Q ,气体分子分布是使In。为极大。 /ii用拉氏乘子5 B和Y法，得51nQ aQN-夕砧一川B=Z W旦+。+囱+/G）期=。 i g每个3al的系数都等于零，所以有Int+ a + &/ + 74 = 0或。产广限-丫%写成动量的连续分布：在体积V=I?内，在Px至UP/dPx, Py到PrMPy, Pz到PzHlPz,的动量范围内的分子数为7.7 气体以恒定速度为沿Z方向作整体运动。求分子的平均平动能量。解：以w沿Z方向运动的气体，速度分布为:/ =阳5）%屋券必化盟内血源丫）喔分
10、子平均动能为:万= （小）”广；掰（4+彳+匕2上普*弓+“。）为dVxdVydVzZrkT 山 Jy 2=（备可汇嗡飞+同二”2kTdvr+l2 -旦t? e 2kT v3dv.27rkT )7.13 分子从器壁的小孔射出，求在射出的分子束中，分子的平均速率和方均根速率。解：单位时间内，碰到单位面积器壁上的分子数为d（v） =加(、3/2m、2 兀 kT )v2kT2v3 dv如果器壁有小孔，分子可以通过小孔逸出。当小孔足够小，对容器内分子的平衡分布影响可 以忽略时，单位时间内逸出的分子数就等于碰到小孔面积上的分子数。因此，平均速率为=L/m 2c vp+oo ydr(v)+00速率平方的平
11、均值为2p+00 cp+00L y2 dv5e 2kT dv 很丁f+oom 2 d/隆-犷& mJ 0即速率的方均根值为Vs=#个，平均动能为-殷纳7.14 粒子遵从经典玻耳兹曼分布，其能量表达式为： = 2（P；+P；+P；） + &+bx，其中a、b是常数，求粒子的平均能量。解：能量表达为： = 3-（p；+p；+P：）+ a x + 2a),由能均分定理: 4a羡4竺-且=25-工7.15 气柱高H,截面S,处在重力场中，证U = U/NKT U = U/NKT NmgHmgH/(e /b-I)CV=C+NK-mgH/N(mgHe /kt 1mgH/(e Ar-1)2KT2气柱的内能为
12、：U = N且InZi =3nA7 + NA7 - dP 1 2NmgHmgH/(e 4I)= uq+nkt-NmgH(e削g -1)气体的热容量为CV=- = C+NK- v dT vN(mgH)2%T imgH/JT2(e Ar-1)2 KI7.16试求双原子分子理想气体的振动燧。解：双原子分子理想气体的振动配分函数:phcoZ；=e丁/(1 ef0), lnZ：=ln(l 振动嫡:Sv =M: InZ；-/前InZ： =Nk J3ha)上一山(1一*0)引入ev=h。/晨得夕=%41 vI T7-e-ejT7.17双原子分子，常温下左T远大于转动的能级间距.求双原子分子理想气体转动燧。解
13、:用经典近似求转动配分函数：Z；=h21 sin2 pmgz dxdydzdPxdPYdPz21双原子分子理想气体的转动端为:5 = M(lnZ-lnZ =Nk Inl 耶)21k是转动特征温度，/ = /是分子绕质心的转动惯量，=型二是约化质mx +m2量。7.18 试求爱因斯坦固体的熠S = 3股粤竺pln(l-*)。解：据爱因斯坦固体配分函数，容易得燧为5 = 37WC(lnZ1-771lnZ1) = 3M-ln(l-e-)7.19 以表示晶体中磁性原子的密度。设原子的总角动量量子数为/.在外磁场下，原子磁矩可 以有三个不同的取向，即平行、垂直、反平行于外磁场.假设磁矩之间的相互作用可以
14、忽略.试求在温度为T时晶体的磁化强度及其在弱场高温极限和强场低温极限下的近似值。解：原子具有三个状态，能量分别为B、0、B。按玻尔兹曼分布，几率分别为Ce“,c,Ce一项且由 CeB+C + d = i,得 C = 1 /(e如b +1 + i)晶体的磁化强度：E = N十 0 +（一）c* 卜n布耐一。/ （/加+狎b +1）弱场高温极限下：削B-1,此时/如8。1 + 2处及6处8穴1 +纵3所以晶体的磁化强度： =（2加5）/（3班5 + 3）。汽（2加5）/3 = 2业-83 kT强场低温极限下：物B-00,此时E N42b /卜2班8 +e萩bN促削BI/耐。N内容总结（1）第七章玻耳兹曼统计7.1据公式证明，对于非相对论粒子有（2）解：据爱因斯坦固体配分函数，容易得端为7.19以n表示晶体中磁性原子的密度（3）解：原子具有三个状态，能量分别为庐、0、piB