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1、高二期末考试说明一、期末测试说明 考试时间：2021年7月5日(周一)13:3015:30。 考试形式：笔试。考试时间120分钟，总分值150分。 考查范围：(1)选择性必修第一册“第一章 空间向量与立体几何，“第二章平面解析几何”；(2)选择性必修第二册“第四章概率与统计”(不考查”第三章排列、组合与二项式定 理”；不考查第四章中的4. 2. 5正态分布；4.3. 1 一元线性回归模型；4. 3. 2独立性检验) (3)选择性必修第三册“第五章数列”(不考查5. 5数学归纳法)，“第六章导数及其应用” 考查原那么：注重基础与理解、关注落实、关注学习过程、关注能力素养。 预估难度：0.65左右
2、。 试卷结构：I卷.选择题：4X10 = 40分。II卷.非选择题：共110分。其中，二、填空题：5义5二25分；三、解答题：共6道题，共85分。二、各局部考查内容及要求(-)选择性必修第一册“第一章 空间向量与立体几何、(小题、大题均有考查，重基础、重理解、重合理的运算。注：重点是用空间向量的工具解决空间中的夹角和距离问题)1 .在正方体ABC。-A旦GA中，直线AQ与AC所成的角的大小为. 60.平面。的一个法向量是机=-1,2),且点40,3,1)在平面。上，假设P(2,-1,1)是平面a外一点，那么点P到平面。的距离是.V6.棱长为1的正方体ABCQ-AgCQ中，七为3C中点，那么点8
3、到平面世E的距离为2 .如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，Q4_L底面ABCD, AB = AP, E为棱的中点.P(I )求直线与CE所成角的大小；/! (II)求直线CD与平面ACE所成角的正弦值;(III)求二面角石一ACP的余弦值.h Q解：(I )等比数列%的公比4 =生=凹=3, b2 3所以4 =2=1, b4 = bq = 27 . q设等差数列册的公差为d.因为q =4=1 , %4 =d=27 ,所以l + 13d = 27,即d = 2.所以% =2-1 ( = 1,2,3,)(II )由(I )知，=2 - 1 , hn = 3t .因此% =%+2=
4、2 1 + 31.从而数列%的前n项和S =1 + 3+ + (2 1) + 1 + 3 + +31_(1 + 21) 321-32 31= +-227.设等差数列的公差不为0,%=1，且。2，。3, &成等比数列(I )求4的通项公式；(II)设数列q的前项和为5，求使S 35成立的的最小值.解：(I )设等差数列q的公差为d, dw0.因为2, a3 9 &成等比数列，所以裙=%.6,即(1 + 4)2=1 + 44,解得d = 2,或d = O (舍去).所以4的通项公式为=a2 +(-2)d = 2n-3 .(II)因为% = 2 - 3 ,所以 S =.4+%)= (电+。1)=2_
5、2一 22依题意有235,解得7.使S 35成立的的最小值为8.28 .等差数列。中，生+/=4,%+%=6(I )求”的通项公式;(II)设=%,求数列2的前10项和,其中国表示不超过的最大整数,如0.9 = 0, 2.6 = 2.解：(I )设数列为的公差为d,由题意有2q+5d = 4, 4+5d = 3.2解得 q =1 , d =.5所以的通项公式为% =所以的通项公式为% =2几+ 3(H)由(I )知，2=生!曰.5当 = 1,2,3 时，当 =4,5 时，2W3,2=1 ；5当 =6,7,8时，3W网也52=2；当 =9,10 时，4W 卫士。5,2=4.所以数列d的前10项和
6、为1x3 + 2x2 + 3x3 + 4x2 = 24.(五)选择性必修第三册“第六章 导数及其应用”(小题、大题均有考查，重基础、重理解、会应 用).曲线y =胆在点(1,0)处的切线方程为. y = x- x29 .正四棱柱的体积为8cm3,该正四棱柱外表积的最小值为(B )(A) 16cm2(B) 24cm2(C) 32cm2(D) 48cm230 .为评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量.设该药物在人体血管中药物浓度。与时间，的关系为.甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间，变化的关系如以下图所示.给出以下四个结论： 在。时刻，甲、乙两人血管
7、中的药物浓度相同； 在时刻，甲、乙血管中药物浓度的瞬时变化率相同； 在匕通这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同； 在上两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同.其中所有正确结论的序号是.函数/(幻=/+加+& + C在/处取得极小值白，其导函数为了(X),当工变化时，TO)变 化情况如下表：,2、(-0，-4)_2-31(1,+CO)+00+(T )求/的值；(II)求 a,b,c 的值.解：(I)由题意可知，尸(%)=3/+2办+ 52当(_：1)时,ff(x)0 .2所以/。)在区间(-J)上单调递减，在区间(l,+oo)上单调递增.故%=1时，函数/(幻有极小值
8、，所以/=1.(H)由(I )知x = l为函数/的极小值点，得八1) = 0,即3 + 2，+ b = 0.33因为函数/。)的极小值为-：，所以/=-不，35即l + Q + b + C = 2,整千里彳导：Q + b+C = 巳.222?由题设，x为函数/的极大值点，所以/，(-) = 0,4 4即 +。= 0.3 3联立得，a = ,h = 2,c = 0.2.已矢口函数,f(x) = J3d9x + 5 .(I )求/(X)的单调区间；(II)求/(x)在区间-2,0上的最大值和最小值. 解：(I ) ff(x) = 3x2-6x-9.令(x) = 0,得为=一1,%=3./(%)与
9、一(幻的变化情况如下;所以/(x)的单调递减区间为(-1,3),单调递增区间为(-00,7)和(3,+QO).X(-1)-1(-13)3(3,4W)小)0+0/(x)/(H)由(I )知，/(x)在区间(-2,-1)上单调递增，在区间(-1,0)上单调递减.所以/(x)在区间-2,0J上的最大值为/(-I) = 10./(x)区间-2,0上的最小值为min(-2),/(0).因为 2) = 3J(0) = 5,所以/(x)在区间-2,0上的最小值为/(-2) = 3.33 .函数 fx = x + anx .(I )当a = 1时、求/(x)的极值；(II)假设不等式以对任意尤0恒成立，求4的
10、取值范围.解：函数/(x) = x + alnx的定义域为(0,+oo),尸(尤)=1 +旦. x1 y 1(I )当 =1 时，fx) = 1二.X X令(x) = o,得X = l.当工变化时，/(x)(x)的变化情况如下：X(0,1)1(l,+oo)(。)0+/所以/(X)的极小值为了=1,无极大值.(II )不等式,f(x) w!/恒成立等价于A. / +依一x-.inx20恒成立.令 g(x) = 工2 + 以一 x - Q In X , X (0,4-00).I、1，/、 a x1 + ax-x-a (x l)(x + Q)所以 g (x) = x + l =-XXX(1 )当Q2
11、0时，因为X(),+8),所以X + Q0.令 g(x) = 0,得 x = l.L符合题意. 2当不变化时，g(x),g(x)的变化情况如下:X(0,1)1(1,+co)g(x)0+g(x)g(l) = 一;/当。20时，不等式g(x)20恒成立当且仅当所以(2)当0时，因为g(l) = Q 0,所以/(x)在(0,十划单调递增.假设 Q0,那么当 xi(O)时，/(x)。；当 X(1,+8)时，/(x)v(). aa所以/(X)在(0，)单调递增，在(L+8)单调递减.aa(II)由(I )知，当WO时，/(x)在(0,+oo)无最大值；当。0时，/(x)在x二,取得最大值, a最大值为
12、f()= ln() + 6z(l- -) = - lna+ a- 1 . a aa因此 /(-) 2a- 2 等价于 ln6z+ a- l1 时，g(a)0.因此，。的取值范围是(0,1).35 .设函数/(x) = lnx-x + l .(I )讨论/(x)的单调性；(II )证明当 X(l, + 8)时，- l,证明当 (0,1)时，l + (c l)xc1解：(I )由题设，/(X)的定义域为(0,+ 8),令八幻=0解得X=l.X当Ovxvl时，fx) 0 , /(x)单调递增；当xl时，fx) 0 , /(x)单调递减.(H)由(I )知/(x)在x = l处取得最大值，最大值为了=
13、0.所以当xw 1时，nxx- .故当 x(l, + oo)时，lnxvx-1. In 1, x x即nx令 g，(x) = 0, 当工 为时， 由(II )知令 g，(x) = 0, 当工 为时， 由(II )知(III)由题设cl,设 g(x) = 1+ (c-l)x-c,贝g(x) = c-l-c*lnc .Incg(x)0, g(x)单调递增；g(x)vO, g(x)单调递减.1 - vc, 故 0 % 1 . Inc又 g(O)= g =0,故当 0vx0.所以当 (0,1)时，l + (c-l)xc.三、几点说明1、期末考查内容会依据课程标准，不会涉及“边边角角”。所以请老师们在常
14、规知识、方法上下功 夫，一定关注落实。2、每局部内容大致分值分布如下：立体几何约25分；解析几何约25分；概率统计约25分；数列约30分；导数及其应用约45分；3、六个解答题题型：(1)数列(基础题)；(2)导数及其应用(基础题)；(3)空间向量与立体几何(中等难度)；(4)概率与统计(中等难度)；(5)解析几何(直线与圆锥曲线，中等偏难)；(6)导数及其应用(较难)。简解：(I)建系.PD = (O,l,-1),屈=舄,-1,|,所以直线尸O与CE所成角的余弦值V3直线PD与CE所成角的大小为30.(II)CD = (-1,0,0),平面 ACE 的法向量是机= (1,-1,-1),所以si
15、n8 = 3(III)平面ACP的法向量为n = BD = (-1,1,0)，所以cos(九/=V63 又由图可知，。为锐角，所以cos8 = Y535.如图，长方体 ABC。- ASG中，AB = 16, BC = 10, A41=8 ,点、E,尸分别在 A4, 0c 上,AE = RF = 4 .过点E,尸的平面，与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.(I )在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(II)求直线Ab与平面。所成角的正弦值.解：(I )交线围成的正方形由Gb如图:CD F勺/(H)作石MJLAB,垂足为那么 AM = A = 4, EM=AA=S.因为EHGb为正方形
16、，所以EH = EF = BC = 10.于是 MH =d EH? EM? = 6,所以 AH = 10.以。为坐标原点，砺的方向为x轴正方向，建立如下图的空间直角坐标系。-5，那么4(10,0,0), (10,10,0), (10,4,8),尸(0,4,8), FE = (109090) , HE = (0, 6,8).设 = (x,y,z)是平面EHG尸的法向量，那么即JHE = 0,10x = 0,6y + 8z = 0,所以可取 =(0,4,3).又衣= (10,4,8),故 |cos4丽 |= 1,坦=迪nAF15所以A尸与平面EHGF所成角的正弦值为述.156.如图，四棱锥 P A
17、BCD 中，底面 ABCD, AD/BC, AB = AD = AC = 3, PA = BC = 4 , M 为线段4)上一点，AM = 2MD, N为PC的中点.(I )证明例N 平面Q4B；(II)求直线4V与平面PMN所成角的正弦值.解：(I )由得AM = 40 = 2.3取族的中点T,连结AT, TN.由 N为 PC中点知 77VBC, TN = -BC = 2.2又AO3C,故刀四边形4W7VT为平行四边形，于是M7V4T.因为ATu平面Q4B,平面Q4B,所以MN 平面Q43.(II)取3C的中点石，连结AE.由AB = AC得AEJ_3C,从而AE_LAD,且AE = VAB
18、2 - BE2 = AB2 (苧2 =亚.umi以A为坐标原点，AE的方向为x轴正方向，建立如下图的空间直角坐标系A- 由题意知，P(0,0,4) , M(0,2,0),。(石,2,0), 7V(,1,2), W = (0,2,-4), PN = (,l,-2), 病=(4,2). 设 = (x,y,z)为平面的法向量，那么 c 2y-4z = 0,.上。即U/W = 0,x+ y-2z = 0.可取 = (0,2,1).工日 / -TT7X I n-AN 875于是 |cos, AN)|=nAN25所以直线4V与平面所成角的正弦值为述.25(二)选择性必修第一册“第二章平面解析几何”(小题、
19、大题均有考查，重基础、重理解、会计算、会转化)7.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是. (x l)2+(y l)2=28 .过三点 A(l,3), B(4, 2), C(l, 7)的圆交 y 轴于N 两点，那么 |MN|= ( C )(A) 276(B) 8(C) 476(D) 10.A, 3为双曲线E的左，右顶点，点用在石上，?!加 为等腰三角形，且顶角为120。，那么E的 离心率为(D )(A) 75(B) 2(C) 6(D) V2.双曲线过点(4,百)，且渐近线方程为y = gx,那么该双曲线的标准方程为X2.圆。：。-3)2+(丁-4)2=1和两点4-加,0),5(仅0)(加0).假
20、设圆。上存在点?，使得乙4。3 = 90, 那么团的最大值为. 69 .方程J = i表示双曲线，且该双曲线的焦距为4,那么力的取值范围是(A )m + n 3 - n(A) (-1,3)(B) (-1,73)(C) (0,3)(D) (0,73)r2 v2_110 .椭圆C：u + R = l(0)的离心率为5 ,右焦点为尸，点且=(I )求椭圆。的方程；(II)过点尸的直线/ (不与x轴重合)交椭圆C于点MN,直线朋AN4分别与直线x = 4交于点尸， 。，求NP9Q的大小.c _ 1解：(I)由题意得a- c .解得 a = 2 , c = l 9从而 b = J a1 - c2 - a
21、/3 ,22所以椭圆C的方程为二+乙=1.43(H)当直线/的斜率不存在时，有NQ,-2),尸(4,3), 2(4,3),/(1,0),22那么用 =(3,3),户0 = (3,3),故而加 =0,即NP尸0 = 90二当直线/的斜率存在时，设=1),其中女工0.联立得(4/+3)/一8,2% + 4左2-12 = 0.W+4/=12,4 尸12 y二FT由题意，知()恒成立,8kN(X2，)，2)，那么玉+%2=qtK I J直线MA的方程为y = 3(x-2).X - 2令1=4,得力=工，即尸(4,4).%一2工1-2同理可得。(4,2二).%2 2所以在=(3,2匚)，&=(3,2“)
22、.X _ 2x2 2因为9闻=9 I 句，2=9| 4、(5-1)(-1) =9 I 4二断(与+马)+ 1(% 2)(%2 2)(%) 2)(x2 - 2)X|X9 2(X + %) + 42 4k2-n8k2(卡三一正有+)=% 4小(4/-12)-8/+(4/+3) =04r_1216 吊 - (4 公12) 16公+4(4公+3)4尸+3 -4公+3 -所以/尸尸。=90。.综上，ZPFQ = 90.14.椭圆G 9/+ V =/(根0).直线/不过原点。且不平行于坐标轴，/与。有两个交点A, B,线段A3的中点为(I )证明：直线OM的斜率与/的斜率的乘积为定值；(II)假设/过点(
23、,加)，延长线段OM与C交于点P,四边形04PB能否为平行四边形？假设能，求此时 3/的斜率；假设不能，说明理由.解：(I )设直线/:y = Ax + Z?(人工0,/;。0), 4西/), B(x2,y2),.将 y = Ax + /?代入 9x2 + 2 = m2 得(k? + 9)x2 + 2kbx + Z22 - m2 = 0 ,故x. + -kb , 9b于是直线。M的斜率攵OM=迎二-2，即em = 9. k所以直线OM的斜率与I的斜率的乘积为定值.(II)四边形0AP3能为平行四边形.因为直线/过点（,加），所以/不过原点且与。有两个交点的充要条件是kO,kQ.Q由（I ）得O
24、M的方程为y =x. k设点P的横坐标为Xp.9 ,）=一% 得.二及1ml ，即丐二9f + j%+813随百将点（三,M的坐标代入I的方程得h = 假设名，因此与=兼得 四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段0P互相平分，即/ = 21m .于是一丝=2义华辿，解得攵=4a.3VPT93（攵2+9）因为勺0, %产3, 1 = 1,2,所以当/的斜率为2=4时，四边形Q4必为平行四边形.15.4是椭圆E：? + q = l的左顶点，斜率为攵（攵0）的直线交石于A, M两点，点N在石上,MALNA.（I ）当|AM|=|AN|时，求AMV的面积；（II）当 21AMi = |A7V
25、| 时，证明：y/3k0.由及椭圆的对称性知，直线AA1的倾斜角为巴. 4又4-2,0）,因此直线AM的方程为y = x + 2.22将x = y 2代入土+ =1 得 7y212y = 0.1?1?解得y = （）或y假设，所以凹假设.1 io 1?144因此AAW的面积S-mn=2x x x = .AM/v 2774922（II）将直线AM的方程y =攵。+2）（左0）代入 +、= 1得（3 + 4/）2 +16/x + 16/-12 = 0.由 x,(-2)=16公123 + 4-得X=2(3-4k2)故 1AM |=| % + 21 + /=由题设，直线4V的方程为y = -(x +
26、2),故同理可得|AN|=12：；k由 21AMi = |A/V| 得，即 4/6攵 2+3 左一8 = 0.2 + 4公 3二+4设/=4d6*+ 31 8 ,那么)是/(r)的零点.广=12+ 3 = 3(2 1尸2 0 ,所以/在(0, +oo)单调递增.X/(V3) = 15V3-260,因此/在(0,4x)有唯一的零点,且零点攵在(后2)内.所以6攵2,(三)选择性必修第二册“第四章 概率与统计”(小题、大题均有考查，重基础、重理解、会计算。不考查“第三章 排列、组合与二项式定理”；不考查第四章中的4. 2. 5正态分布；4. 3.1 一元线 性回归模型；4. 3. 2独立性检验)1
27、6 .随机变量X服从参数为 =g的两点分布，那么随机变量X的方差Q(X)=.设随机变量Xj满足 P(Xj = 1)=化，P(Xj =0) = 1 Pj , i = l,2 .假设那么(B )(A) (%,) E(X2), D(X) D(X2)(B) (%1) Z)(X2)(C) E(X,)E(X2),0(%,)(X2),D(X()Z)(X2)17 .防洪工程对防洪减灾起着重要作用，水库是我国广泛采用的防洪工程之一，既有滞洪作用又有蓄洪 作用.北京地区2010年至2019年每年汛末(10月1日)水库的蓄水量数据如下：年份20102011201220132014201520162017201820
28、19蓄水量(亿立方米)11.2513.2513.5817.412.412.118.326.534.334.1(I )从2010年至2019年的样本数据中随机选取连续两年的数据，求这两年蓄水量数据之差的绝对值 小于1亿立方米的概率；(II)从2014年至2019年的样本数据中随机选取两年的数据，设X为蓄水量超过33亿立方米的年份 个数，求随机变量X的分布列和数学期望；(III)由表中数据判断从哪年开始连续三年的水库蓄水量方差最大？(结论不要求证明)解：(I )设事件A为“连续两年的蓄水量数据之差的绝对值小于1亿立方米”，从2010年到2019年的样本数据中随机选取连续两年共有9种可能，由图表可知
29、,事件A包含“2011年和2012年”，“2014年和20租年”，“2018年和20租年”.3 1所以 P(A) = =.9 3(II)由表可知，2014到2019年的样本数据中，蓄水量超过33亿立方米有2年，蓄水量不超 过33亿立方米有4年.随机变量X的所有可能取值为0, 1, 2.P(X=0) =_ 6 _2Cl -T5-5 P(X =1)=815C2 C尸(X = 2) = U；L =115所以随机变量X的分布列为:X012P258151152 Q1所以 (X) = 0x + lx + 2x 51515(III)从2016年开始连续三年的水库蓄水量方差最大.年份2013201420152
30、01620172018201920202021年生产台数(单位：万台)3456691010a年返修台数(单位：台)3238545852718075b年利润(单位：百万元)3.854.504.205.506.109.6510.0011.50c19.某公司在20132021年生产经营某种产品的相关数据如下表所示:注:年返修率二年返修台数 年生产台数(T )从20132020年中随机抽取一年，求该年生产的产品的平均利润不小于100元/台的概率;(II)公司规定：假设年返修率不超过千分之一，那么该公司生产部门当年考核优秀.现从20132020年中随机选出3年，记J表示这3年中生产部门获得考核优秀的次数
31、，求J的分布列和数学期望；(III)记公司在20132015年，20162018年，20192021年的年生产台数的方差分别为s： , 532.假设邑zwmaxk；,4,其中maxs：,s；表示s：,破这两个数中最大的数.请写出的最大值和最小 值.(只需写出结论)解：(I )由图表知，20132020年中，产品的平均利润小于100元/台的年份只有2015年,2016年. 所以从20132020年中随机抽取一年，该年生产的产品的平均利润不小于100元/台的概 率为 9 = 0.75.8(II)由图表知，20132020年中，返修率超过千分之一的年份只有2013, 2015年，所以J的所有可能取值
32、为1, 2,3.r2 3C2C11S5PC = 1)= SL =上，pc = 2)= = D, pc = 3)= 5 = 2Cl 28， 亡 28， Cl 14oooxF 2 xF 3 x 282814故4的数学期望石0 = 1所以。的分布列为94123P32815285 ?44(III)。的最大值为13,最小值为7.(四)选择性必修第三册“第五章数列”(小题、大题均有考查，重基础、重理解、会计算。不考查 5. 5数学归纳法)20 .acR, R,假设一L a, A 9成等比数列，那么。+。= ( A )3(A) -2(B) 2(C) -4(D) 4.等比数列a满足a1= ； , %。5=4(
33、。4一1),那么出=(C )(A) 2(B) 1(C) -(D)-2821 .等差数列4前9项的和为27, 4。=8，那么4oo=( C )(A) 100(B) 99(C) 98(D) 9722 .设等差数列%的前项和是S，假设q=2-9,那么S 的最小值为-16.设等比数列满足4+% =1。，4+。4=5，那么。的最大值为 6423 .数列和2的通项公式分别为4=2-1 ,2=3-2.将数列%与的公共项从小到大 排列得到数列qj ,那么qj的前n项和为. 3n2 -2n.%是等差数列，2是等比数列，且。2=3,4=9,a4=b4.(I )求册的通项公式；(II )设cn = an + btl ,求数列c的前项和.