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1、每日一题一一解析几何（2）厂 v|一.试题：设椭圆+ 4 =的离心率为一，左焦点为尸，A,伐。分别为a b23百几左、右、上顶点，XFDB的面积为./） p（1）求C的方程./M ,41 一。 一 一（2）过点M（,0）作直线PQ交。于点P,。 n一（异于43）,连接且AP与3Q交于点N,证明点N在一条直线上.答案：（1）椭圆C方程为：土 +匕=1； 434（2）设PQ:x = ）-一, %七，y）,。（，为），带入。方程消去工，得八八 2 24/252 八24/252（3，+ 4）y - = 0,所以弘+%= 八，人，5255（31+ 4）25 （3,+ 4）直线AP: y =（x+2）,直
2、线3。： y =（x 2）,联立消去y得 % + 2x2 -2。614二2%（_2） +为（斗+2）=2引丁2+当N %区+2）-%但2）6145%+5，21z 、 614（X +%）+ %Ji=2= 3 二 一5 （定值），故点N在定直线x = 5上.614X c二.原题：2020全国I理：A,3分别为椭圆：不+/=1（。1）的左、右顶点，G为 的上顶点，AG GB=S, P为直线x = 6上的动点，PA与石的另一交点为C, PB与的另一交点为（1）求E的方程；（2）证明直线C。过定点.三试题说明：1 .难度估计：0.43.考察内容：此题主要考察椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系以及圆锥曲线中
3、的定点、定值问题.3.思想方法：主要考查化归与转化、特殊与一般的思想方法.4.能力立意：主要考查逻辑推理、直观想象和数学运算能力.5.解答入口: （1）bDB的面积为8 2 椭圆C离心率为！ 2-关于。力的方程组一。力的值-C的方程;4（2）设出直线P。方程：x = ty , P,Q点坐标（%，）,（，）24/-252联立尸。与C方程-必+ %=J% = 一丝一联立直线AP与5Q方程txl2） +），2（4+2）%（%+2） %（2）一点N在定直线尤=一5上.6.命制说明：从特殊到一般:九2 结论一：椭圆石：F CT-5=-5(定值)+ = 1的左右顶点分别为A, 3 ,点P是直线x = t（
4、t a）上的动点,2PA与的另一交点为C,与的另一交点为。，那么直线过定点。（1,0）.t22结论二：椭圆石：0 + = 1的左右顶点分别为A3,过点。（机,0）（|相|。,加。0）作直 b线CQ交片于C。两点，那么直线AC与3。的交点P在定直线x = .m显然结论一与二是等价的，下面给出结论一的四种不同思路的证明.证法一：联立+韦达（参见前面解析）证法二：平移+齐次化由题可知kpA : kpB =-,由椭圆垂径定理有kAD - kBD = kAC - kBC = - t + ab2a1rrpi i j _t . a ._b2(t-a)所以七C七。=二心D心。=而不我们把椭圆向右平移。个单位，
5、使A点与原点重合,2f 2得到新椭圆Er ：(工_：)一 +=1，设直线CDf方程为iwcr += 1a bX2 y2 lx z ,、n y2 2n , 1 - 2am f2 n齐次化得:齐次化得:+ (/nx+y) = O, 整理得xy +x =0a- b- ab a a77 乂 工 b2 (1 - 2am)b? (t - a)t所以女人,女人为，=三一=二%，所以加=cx xf2 a2/ + )Q + ,所以直线CDr过定点),o),从而直线CD过定点0(,0). tt证法三：利用交点曲线系 PAUP3：-(x+。) y-(x)切=0， t+at-aABCD:y-(x-my-n) = 0
6、,其中直线CD方程设为x my = 0.ss设:(九 +)-)x-d)-y + Ayx-my-it)-0 , t + at ci显然是过A,民C。四点的二次曲线方程，我们希望就是石，于是s sF 2 = 0n =幺，故直线CD过定点。(幺,0).tt t+a t-aas as 八nz = 0.t-a t + a证法四：利用椭圆参数方程先给出一个引理(不难证明)：设C(acos2/Z;sin2Q), )(acos2/?,bsin20 ,1 - tantan Btan a + tan/?.八那么直线CD方程为： -x +2y = l + tanatan尸，ab所以直线CD过定点(zn,0) o tanotan，= V-(定值). m + a、门门/ 、/ 八、 ,十,S/?sin2aas设 P(t, s)(s w 0) 由于 kPA = krA n=n tan a -，t + a (l + cos2。)bt + a)同理可得tan/? = 一),所以tanatan尸二4二(定值)， asa + t22因此直线CO的横截距/二亍(定值)，即直线CD过定点。(0).由以上两个结论，我们可以发现，任意给定参数机中的两个，都可以求出其余的一 个，基于此，可命制不同难度的试题.