放缩法技巧全总结.docx-淘文阁

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1、高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩求证:*J_ 2.a父3求证:*J_ 2.a父3r? n例i.(i)求叶的值;64公-1解析:(1)因为,4?7- -1 (2-1)(2 + 1) 2n- 2n + l.所以寸 24公-122 +1 2” + I因为I1 4 Jn42n-l 2 + l

2、.所以故t-i k1 11 I A + +I 3 52n- 2n+l)奇巧积累：(l) 1 = 4 4 n: 4，/ 42 -1加 1C：+C：+( - I) n(n +1)7 = Cr山nr !( )！ nr! r(r-l)(6)(4)(l+-)n 1 + 1 + n(5) I =!L2(2-1) 2-1 2(7)2(Vw+T-册) 京 2(-册=T) /)2 + 1 2n + 3)2” (2/t + l)-2n-1 (2n + 3)-2I J + 1 - A k( + l + A) A + n + + k Ik(n + -k)(10),j_ ,_京 3=3(2-1)222*=2M-1 =5

3、 32-1 3(14)(14)Jt!+(*+ !)! + (*+ 2)! (A +1)!伏+ 2)!(15)* 2)(15)(15)=3-52 2-4 2-4-6+3 - 5(2n 1) /rr V277 + l -12-4-62即。，满足约束条件。+ b 2-3a+b3。+ 2-3a三 32由线性规划得，力的最大值为5.九、均值不等式放缩例32.设s“ =VTi +&G +加而可.求证四Ss 尸？-2 .2解析：此数列的通项为=再而人 = |2皿；k 河+ D 弋+ 1 =火 + ；，. VS. d + 3，/1-12即( + 1)(+1) (+1-， + 12222注：应注意把握放缩的“度

4、”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式，启皿，假设放成廊而& + |那么得工伏+ 1)=-1工 +占1 + , 2 5222解析：所台人六()=/+.+/()六)+ (1-) + -+(1) - H- - (l 4-+ + !-r) = n + !-r-.2x2-2x2422n2n+, 2例34.4, 为正数，且1 试证：对每一个wN,，(a +力)一,-之22-2叫 a h解析：由，+_ = 得= a +又s+切(_1 +1)=2 + + 224，故ab = a + bN4,而a hah ba(a + b = C，a + Canxb + + Crnan-rbr + C”,令 f() = (a

5、 + /2)-a-，那么/5)=C) + C”+。丁初2,因为 C；=CTJ 倒序相加得 2/(/?) = C；(an-lb + 4bT) + + ； + a。) + + C(次人 + an-b),an-lb + abn- = . . = anrh + abnr = = M几万之 241 =2”,那么 2/() = (C： + + C； + + C：t )(/1 尸 + anrbr) = (2 -+ anrbr) (2-2)- 2”“，所以/() 2 -2 2”，即对每一个e AT, (a + b)n -an -bn 22n -2n.n例 35.求证c： + C； + C + + C： n-2

6、(n 1,/zg N)fl-1 解析：不等式左 C： +C； +C： +. + C； = 2/,-l = 14-2 + 22+- + 2,-, n-Vl-2-222n =n-2 ,原结论成立.n例 36. f(x) = ex + ex，求证:/(I)- /(2) /(3) f(n) (e” +1)2解析“11dI+*)+5+； +iee e - e e 1 -e -经过倒序相乘.就可以得到/(1)./(2). /(3) /() (en+i + I)1例 37. /(r) = x+L 求证:/(1) /(2). /(3) f(2n) 21n + If解析 + Q +汨匕）= 3 + I） +等+

7、铲解析 + Q +汨匕）= 3 + I） +等+铲k(2n + -k)2(2” + 1-幻+ 2其卜：% = 1.2,3一.2，因为 k - 2n + k(-k) - 2n = (k- l)(2n- k) N 0 = k(2n + l-k)2n所以(A + -)(2/j +-k + !)2n + 2 k2n+-k从而 1/(1) /(2)八3) f(2n)2 (2n + 2产，所以/(1). /(2)./(3) f(2n) 2n(n + 1).例 38.假设 kl，求证:s =- + + + + ! -.n + 1 n + 2 nk- 2_J_，当且仅当x=），时取到等号. x + y_J_，

8、当且仅当x=），时取到等号. x + y解析：2S”=d+念）+（. +/）+（+ +志+（看+因为当文0,），。时,五+），之邛+工之金，所以+产）（+ !）24，所以+工之 X y gX yx y所以 2S,一+ 一 + 一 +=网0 + 一 1 +1 + - 2 + 2 +，次一 3 + 成一 1 + 成一 1所以 2/一1) 2依-1)43 所以s.+ J- + _L + .+_!_3iTTI 旧 a ”，+ 疝-2 n例 39. /(a) = a(x-xt)(x f) .求证:/(0) /(1)s 16解析:f(0) /=J卬1 -3川七(1 - X2) wg Io例 40.己知

9、函数,Ax)=M-(-lF2lnEieN*).k 是奇数,N*时，求证:(/,(.r)lw-2n-,/W2,(2rt-2).解析：由得r(x)= 2x + 2*o)， X当 =1时9左式=(2x + 2)_(2x + 2)= o右式=0.，不等式成立. XX(2)之 2,左式=，(x)r - 2M /，)= (2x + ) -2T (2x +) Xxn=2(Cx-2 + c%z +. + 禺-2 W + c： W).令 S = eV + c,R + +C；2 *+ QT J-由倒序相加法得：2s = CM + W)+ C： (I + 吉)+ +C：”( + 尸)2(C： + C；+- + C；

10、-) = 2(2fl-2).所以 SN(2-2).所以/（%）-2t /（*）之2（2 -2）成立.综上,当女是奇数，N时，命题成立例41. （2007年东北三校）函数x）= 7（ai）（I）求函数/（大）的最小值，并求最小值小于。时的。取值范围: 令5()=。()+ 叱八2) + - + 仁-/(-1)求证：”“)(22)./9(2)S(m) = C：(a In 1) + C：面 In a -1) + +(a”一 -1)() =Ina - 1,f (x) O.BP： a Inrr l.J. a1 ，又。 1 /. x -logu InaIn a同理：f x) 0, Wx - logu In

11、 a,所以f(t)在(-oo.-log/na)上逆战，在(-睢“ m,+oo)上递增：所如好=/(-log. In fl) = I+111In a假设/(x)mm 0,1P * 1 ln ln a 0,那么 In In a -I,.1. Ina-Inae二”的取值范困拈。1例42. (2008年江西高考试题)函数，/、1=a + C, + +)ln-(Ci+C；+- + C：-)=gC：(a +) + C；(2 + a) + + )ln a-(2- -2)n2/(2-2)lna-(2-2)n=(2 - 2)(a”n a -1) = (2 - 2)/g,所以不等式成立。L+ I - ,(0-8)

12、对任意正数 4，证明:l/() 0, X 0,由，八M欣+忌+忘假设令人=色，那么 g=8，而. II_ar外加行+后+会(一)、先证”|：因为 1 丁 1 , I ： I ，1.1,4 + x l + x ,1 + a l+4 + b 1 + b又由 2 + a + /? + x22/i + 224y2欣t = 8 ，得 a+b+x6-所以, iiij _ 3 + 2( + /? + x) + (ab + ax + bx)f(X)= -?=4- / + -7；-J；x/ + x Jl + a，+ b 1 + x 1 + a l + (1+ x)(1 + a)(l+。) 9 + (a + !

13、+ x) + (a0 + at+fev) _ I + (a + Z + x) + (ab + av + bx) + abx _ i ( + x)( + a)( + b)一(1 +*)(1 +a)(1 +1)(二)、再证x)2；由、式中关于的对称性，不妨设X2让小贝1JO27，那么aN5,所以X之之5，因为 J .I + 1 2,此时，/、_ J ， 1 I IkEF I后+京+行2(ii)、当a+b + 8因为 1/ fl力2所以J + b2(1 + %)同理得，于是4)22+ 2-2、户)y/i + a2(1 +a)2(1 + a 1+力 V 2 /帅,因为 a : 2 : 疝，l + +

14、b 7而+ 8l + fl 1 + 6 - V(l + a)(l + b)只要证 ah ,即ab+8(l + a)(l + b)，也即a + hl，据，此为显然.(1 + a)(l + b) ab + S因此得证.故由得f(x)2.综上所述，对任何正数a,x，皆有例43.求证:II I 11-+C； + C =/ + 1,2之C；+C+C； = ”； 22n n(n - IX/i 2)例也八%=。+ 4以+证明 /r + 2解析.aI n(n-l) n(n-I)向八|n2l11ln(n4l + l)-ln(a +l)ln(l +)ln(a.,. +1) - ln(a + 1) ln(a +1

15、)- ln(a, +1)1 In(n-) n(w-l) 占Z? 0,-l)即ln(a +I)l + ln3na“ 3e-e2.例45.设” =（）+if,求证：数列/单调递增且a“ a0那么6+-0川+（证略）整理上式得优 h（n + ）a-nb. （ 0 ）以“l+_Ll代入式%+（4. +1 n +1n即”单调递增。以1代入（）式得“+ 1 / 1 fI+ V-42n2n 2 2n此式对一切正整数都成立，即对一切偶数有“ 1V,-又因为数列伍单调递增，所以对一切正整数有（I + 一） 4（i+-r 4 n注：上述不等式可加强为2 4（1+_!）” 3.简证如下：n利用二项展开式进行局部

16、放缩：a =（|+.L） = + c - + C2 - + - +C,. nn nnn1 n /i-l n-k + C：Xkl n n只取前两项有a“21 + C：/= 2.对通项作如下放缩：故有y+2+ M 乙= 2 + Ll3.“2 222t2l-i/2上述数列“的极限存在，为无理数6;同时是下述试题的背景：是正整数，且1 （1+ ）.（01年全国卷理科第20题） mn简析对第（2）问：用1/代替得数列色：2=（1 + ）一是递减数列；借鉴此结论可有如下简捷证法：数列（1 + ）；递减，且 1 I （1+）,即（I + m）n （I + n）m。当然，此题每题的证明方法都有10多种.如使用

17、上述例5所提供的假分数性质、贝努力不等式、甚至构造“分房问题”概率模型、构造函数等都可以给出非常漂亮的解决！详见文I。例46.。+例1,30/0,求证:an +bn 2f解析：因为a+b=l,08X）,可认为成等差数列，设=，22从而“+/=(卜)+(； + ) 2 2一例 47.设 n 1, e N ,求证(2) 1 + +=，3(2 =(+鼻)(l + -y =I + C+222223即 “ J、-、( + D( + 2),得证(I + ) 28例 48.求证:正妲m1n+ n2n n解析:参见上面的方法.希望读者自己尝试!)例42.(2008年北京海淀5月练习)函数y = /(x),xe

18、N;)，GN,满足：对任意 a,w N, a = b , 都有 af (a) + bf (b) af(b) + bf (a)；对任意 w N都有/() = 3n .(I)试证明：/(X)为N*上的单调增函数：(ID 求/(l) + /(6) + /(28)；(III)令a.=/(3).wN，试证明：+ 4+ 2% a2 an 4解析:此题的亮点很多，是一道考查能力的好题.(1)运用抽象函数的性质判断单调性：因为(a) + (b) (力 + /(4),所以可以得到(“。)/(4)一(“。)/() 0，也就是(a-勿(/()-/(。)(),不妨设,所以,可以得到f(a) /S),也就是说/(x)为

19、N上的单调增函数.(2)此问的难度较大.要完全解决出来需要一定的能力！首先我们发现条件不是很足,，冬试探索看看按(1)中的不等式可以不可以得到什么结论,一发现就有思路了！由(1)可知(a- )(/(a)_/S)0,令b = l,a = /，那么可以得到(/*)-1)(/(/)-/(1)(),又 /(”1) = 3,所以由不等式可以得到1/(1)3,又/g N*,所以可以得到/=2接下来要运用迭代的思想：因为 /=2，所以/=/(1) = 3 ./=/(2) = 6, /(6) = /(3) = 9 /(9) = /(6) = 18,/(18) = ff(9) = 27,/(27) = /(18

20、)1 = 54, /(54) = /(27) = 81在此比拟有技巧的方法就是：8154 = 27 = 54-27,所以可以判断了(28) = 55当然，在这里可能不容易一下子发现这个结论，所以还可以列项的方法，把所有项数尽可能，地列出来，然后就可以得到结论.所以,综合有/+ /(6) + /(28) = 55 + 9 + 2 = 66(3)在解决4的通项公式时也会遇到困难./V(3) = 3iJ(3S) = /V(3) =3/(3),nc* =3% ,所以数列 4 = /(3),wN的方程为 1 = 2 3，从而一方面_1(1_)_1,另一方面3=(1 + 2)之。:2 +。：2|=2 +

21、1所以_1_)= _L.3_ =，_，所以，综上有43“ - 42 + 14 2n + l 4/7 + 2n. I11WF - -+-+ 4h + 2% a2an 4例49.函数人工)的定义域为0,1,且满足以下条件：对于任意XW 0,1,总有了(X)之3,且/=4；假设 A N O,XQ 0,x, +马 I,那么力 f ( X1 + 电)之 f (5)+ f(x2)-3.(I)求及0)的值：(II)求证：凡。*:（III）当*吗击(3123.)时试证明:/（x）3又由得 /(0) 2/(0) - 3,即 /(0) 0，所以即/(.q f)-3NQ.当xe0,l时，/(.v)/(l)=4.(H

22、i)证明：先用数学归纳法证明：/(_!_)0 （i = 1,2，。求证：上卡上+ .+江+上%+q %+% an_t+an a,+, 2解析:构造对偶式：令，a； a； . ；, f a；i + %+%a-+a“ /+/a fl；a：a；勾+。2 %+31+% %+44+/ 心+%+为 +q=（q _%）+（。2 _%）+ _ +（%“）+（% -）=0，二 4= 8又山3.1 , . D. 1 /% 一。；、3+a1ta”+q.A = -(A + B) = -(-!2-) +22 q + /+“2）+（“2 +%）+ +（a“T +可）+（/+4）=；十一、积分放缩利用定积分的保号性比大小保

23、号性是指，定义在岫上的可积函数/卜”侈）0,那么J7（x）c（w）。.例 51 .求证：nr ex .解析：犬e*o叱巫，V ln_lneIn.vx,(nx1-lnxdx，时，3（），中公or J x2：.叱皿，炉/. n e利用定积分估计和式的上下界定枳分产生和应用的一个主要背景是计算曲边梯形的面积，现在用它来估计小矩形的面积和.例52.求证：+解析：考虑函数/但=在区间依+i（i = 123,）上的定积分.对i求和，什W+1=-24/=2(标-力例 53.“WN,24.求证：_L+_L + _L + .+Z+l + 2 n+3 2n 10解析:考虑函数/（冷=1!一在区间= 1,2,3,，

24、?）上的定积分.V 1 i 22 fr-i -= f1 tir = in (1 + x)-!1 = in 2 2-z/ + /=l._L gj?l + x J” + x LI ，。m/|0 =, w l + i例54. （2003年全国高考江苏卷）设”o,如图，直线/：产.及曲线C：），二炉，。上的点。的横坐标为为（o4Q.从C上的点q（“叫作直线平行于X轴，交直线I于点用,再从点PnA作直线平行于），轴，交曲线。于点。向.Q,（ = 12的横坐标构成数列?卜 I 试求。什与。“的关系，并求的通项公式:（II）当“a” 时，证明（1 ；/4-1“un）当g时，证明 *-i3解析:”=（4-2

25、（过程略）.a证明（II）：由。=1知%=小.， 1 2- 416当左21时,当左21时,1I V11E(4 一q”)/.2 4 77 Z a 一 4.1)= 77(4 - -116 4-i1632证明(III)：由 a = | 知,*=“：.=(q -。川)原恰表不阴影局部面积，显然(%-%f,/小Sa - %, j 限=（）;“ 产心 %xdx=：奇巧积累：将定积分构建的不等式略加改造即得“初等”证明，如:；叩叫：（q -4句般广 xldx = J* J十二、局部放缩（尾式放缩）例 55.求证：，+，+3+1 3x2 + 13-2n- +1 7解析.111111 Hi11H H；=1F

26、+；+r + +3 + 13x2 + 13-2n-+1 47Sr-+1 28 3-2232T!11 I 447 48 4 + = =-28 3 . I 84 84 7I2例56.设 =| + _!_+_!_十.+ _!_闻22.求证：4 k(k-1)#22 (只将其中一个女变成攵一1,进行局部放缩)，._!_ = _!_1 k2 k(k-) k- k丁 (in 41 + t- + -v + , + 1 + (I ) + (- -) + , + ( -) = 22 +1 A + 3，成此。(/7)利用上述局部放缩的结论a*” = &(& -&)+1 26(& + 2- &) +1 2(& + 2

27、2 +1 A + 3，成此。(/7)利用上述局部放缩的结论+122(6 +1)= (tk +1-2X-,(1 +l)2i-1 -4 = 2*+1n rr，%+1 2川6/,+1之24+ 1来放缩通项，可得 11-1 1k屋7rI注：上述证明(i)用到局部放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩：62e+ 2)( + 2-幻+ 1& + 3；证明(万)就直接使用了局部放缩的结论a1N 2% + 1十三、三角不等式的放缩例 58.求证:| sin x | x | (x /?) . 解析:当x = 0时,|sinx|=U|(ii)当0 * 时，构造单位圆，如下图： .2因为三角形AOA的面积小于扇形

29、异侧加强(数学归纳法)(iii)双向加强有些不等式,往往是某个一般性命题的特殊情况，这时，不妨“返璞归真”，通过双向加强还原其本来面目，从而顺利解决原不等式.其基本原理为：欲证明 A f(x) 3.只要证明:A + C/(x)O,AB).例 60.数列小满足:q =an + ，求证:J2-1 an 2).解析：小(12,从而-2,所以有I a-l)a j =(a,j -) + (%? - a4) + +(a J _ q ?)+a； 2(“ -1) +1 = 2 -1，所以 a“ y/2n-i又小上+六/+3,所以小/3,所以有a J =-)+ (/ - a：) + +(c - a)+ a；

30、 3(，D + = 3 - 2 所以 a“ ，3-2所以综上有 yj2n- an 2).引申:数列aj满足:q = l%+ = % + _L，求证:9J_ v口 ,解析油上可知“ 辰不又万口 +标p所以27 , - , .=?_ - V - 3-v 2/r -1 J2/1 -1 +，2 3从而之 _!_1+后一加 +6一75 + 2-1 一5/2-3=2 2)又当 =I时,J_ =,所以综上有V_L J2” 一 1 . alt-| 4同题引申：(2008年浙江高考试题)数列之0吗=()，”: + an+i - 1 = ci2(n e /V,) 记 S“ = q + a, + + 4”，t lI

31、l.求证:当 “eN,时.l + t (1 + ajXl + Oj)(l + a,Xl + aj)-(l + a)见”2；7； 3.解析：(Da ；一2= 猜测。,下面用数学归纳法证明： /H-l nntln(i)当八=1时,q 1,结论成立；(ii)假设当 n k(k 1)时,4vl，那么 =(+1(2之 1)时,ak+l2 + ak+l = 1 +ak2从而 a*/ + az v 2 = a,_ v 1,所以()W aM 1所以综上有0a“ 0n“/i+l nzi+l n因为4/一%2=1_/“那么4一=1一生，卬2=_/，%/一42=1一%“，相力|后可以得到：U12-12 =一(/+/

32、+.+山)= S“+| =-q+:，所以Sn =n-a -2.所以S“ n-2因为a / += 1 + a；之24,从而0 +1 也，有_!_ %L,所以有UTiJrrinfl3/1.1 1 册“ l + a”+i 2a”!. .a = 矶.从而(1 + %)(l + a”)(l + a”“)2a 2a., 2a2 2 &! . _1_ = 4l ,所以(1 + 6乂1 +。2乂1+ %)(l + a”)(l + a”“) 2,_| a2 1 + % 2”!_=,所以(l + f/1Xl + 2Xl + )-(l + J_ 2n2a2 + a2 2n2 H- p=F 1 + 1 32-2、月+

33、 13 , n = 1,2,24 + 1不 ,，1a, an . I 11T , 1 + + +2T 1 + + = + l + ,222二+a2 2 22所以综上有7； 3.例61.(2008年陕西省高考试题)数列J的首项“(4)求证：2(内-1)1 +(4)求证：2(内-1) r 1(2n-l)2 (2H-IX2n+l) = 2- 2/ + 1所以37另一击）|+另一七），+_L+_L+=_1 a+，+与) _1( + _ _1)4 16 364，/ 422 n2 4（3）先运用分式放缩法证明出I,3,5（2n-l）I ，再结合_ 厂进行裂项,最后就可以得到答案246.2 757 不? S

34、7（4）首先;2（G.片所以容易经过裂项得到4nV/i + l + 4n2(vh+T-1)1 +/2(j2n +1 -1)=2V2而由均值不等式知道这是显然成立的，所以、/2” + l+j2n-l - I If r+2+r-2+ - + - + - + -V2(V2n + l-l)V2 V3 a例 3.求证:_如_5I + i + i + . + 45 (/; + 1)(2/7 + 1)4 9 n2 3解析:一方面:因为.4 z .、，所以 1 + += I=4 9 n 2x3 3x4 n(n +1) + 1 / +1当 23 时， ,6“，当 =1 时， 6= 1 J / + 1 (zj +

35、 1)(2m + I)(z, + 1X2/J+ 1)4 9 n:当 =2时,_&_ +、.+ _L,所以综上有 ( + 1)(2 + 1)4 92b解析:由数学归纳法可以证明4是递增数列,故存在正整数,使仆之人那么%+I 。之 b，否那么才 am b(m &),那么由 0 q M /】知am,n (,m - 6 In am q In 0,qga=4 一 E 0 In因为 Z。 In q a1+ A % In0q + - 4)= 例 5. njn e -电=F + 21 + 31 + nm，求证： (m +1 电 l + ,u尸=zl+,-(M-ir,+ (n-l)n+,2严 + + r+,尸=zl+,-(M-ir,+ (n-l)n+,2严 + + r+,-0 =_优_ ），向】所以要证X-l故只砂” (m+i)sn (+ir -1 只要证:小” 一(&- 1 严I (m + 1)内

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