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1、【精编】二项式系数的性质及应用课时练习1 .假设+的展开式中一，丁的系数之和为一 10,那么实数。的值为（）A. -3 B. -2 C. T D. 12 .(x + 1) 1=1 + 2* + 3*2+14假设数列 ai, a2, 为，aKlWkWll, kN)是 一个单调递增数列，那么k的最大值是()A. 5B. 6C. 7D. 8那么“2二（(X I)5 = % + q(X + 1) + %(1 + %(X + 1)二A. 20 B. -20 c. 80 D. 一808284.4.假设(2x+l) = %+4 (x + l) + 2 (x + 1) Fa/x + l)那么3 =A. 56
2、B. 448 C. -56.D.5.828_(2x + l) =a()+a1 (x + l) + tz2 ( + 1) Hi-6z8(x + 1)右，那么3=(A. 56 B. 448 C. -56.D. -4486.6.（X2-i）4x展开式中,x的系数是（）A. 2 B. -4 C. 6 D. 一8二.填空题O7.以下五个命题中正确的选项是 （填序号）.假设ABC为锐角三角形，且满足sin3（l + 2cosC） = 2sinAcosC + cosAsinC,那么 a = 2b在（l-x）7的二项展开式中，/项的系数为21 函数y = /（i+x）与函数y = /（x）关于直线x=i对称设
3、等差数列的前项和为S,假设S2020 -S=l,那么$2021 1、.2+5/（X）= / 函数 yjx +4的最小值为28.的展开式中，常数项为（24/=）69.二项式 C的展开式中含项的系数是（用数字作答）0 假设（X 2）8 = % + q（X 1） + 凡（X 1） + . +（X 1）8 那么 + 4 + +。811.二项式那么展开式中X的系数为的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64,三.解答题（）12.在二项式2%L的展开式中，前三项的系数和为I.（1）求；（2）求展开式中所有有理项的系数的和.13.在2、功 的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是14 L（1
4、）求展开式中/的系数;（2）求展开式中系数绝对值最大的项；14.设（2 + x）6（l 2x）5+0011。+. + 41+%,求:（1）。（2）卬|+4（）+2+4参考答案与试题解析1 .【答案】B【解析】分析：由（1 +）（1 + 4=（1 +/5+海1 + 4,进而分别求出展开式中/的系数及展开式中/的系数，令二者之和等于T。，可求出实数。的值.详解：由（1+ 以）（l + x） =（l+x）+公（1 + X）、,那么展开式中V的系数为C；+C；=10 + 5a ,展开式中丁的系数为C7+aCs? =10 + 10。二者的系数之和为。 + 5）+（1 + 1）= 15 + 2 = -1
5、,得 =一2 应选：B.【点睛】此题考查二项式定理的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.2 .【答案】B【解析】分析：由an=G。，结合二项式系数的对称性和单调性即可得解.详解：由二项式定理知an=d。 (n=l, 2, 3,，11).又(x +1)1展开式中二项式系数具有对称性，且最大的项是第6项，且从第1项到第6项二项式系数逐渐增大，第6项到底11项二项式系数逐渐减小，k的最大值为6.应选：B.【点睛】此题主要考查了二项式系数的性质，属于基础题.3 .【答案】D【解析】分析：将(x D5记为J2 +(x + l)F , %即为此二项展开式的第三项(x + l)2的系数.详解:因为(x
6、-l)=Kx + l)-=-2 + (1 + 1)5 ,第三项为C；(-2)3(x + 1)2所以。2 =(-2)3 = -80 .应选：D【点睛】此题考查二项展开式的特定项系数，属于基础题.4 .【答案】D828【解析】由题意,(2x + l) =2(x+l)-=% + 4 (x+1) + % (x+1) + + & (x+1)通项丁川=黑2(x + l)8-z x(-1)0r8,re7V*s % = C； x 2, x ( l)5 = 8 x = 448 令, = 5,可得 383x2x1应选：D5 .【答案】D【解析】由题意，(2% + 1)8 =2(% + 1)-18 =4+4(% +
7、 1) + 2(%+1)2 + +8(%+1)8通项 J = GI2(x + l)8-r x(-l)0r2019q=1所以2,故正确;I+4 w / J而4+4之2,此时a/F+4 ,/ (x)= 故函数x2+5& +4的最小值为2错误,即错误.故答案为： 8 .【答案】145(3一i【解析】分析：先将I x(3一i【解析】分析：先将I x(x-1)4(3x + 2 化简为 了，由此可知Ix)的常数项为(x-1)4(3x+2的展开式中的犬的系数，从而可求得结果. 2(1)4(产+2)4 匹二44详解：因为I% J / ，所以I % 1的常数项为(“7)(3X+2)的展开式中的/的系数， 2 y
8、故I % 7 的展开式中常数项为 C；xC：x24+C；x(-1)xC：x3x23+C；x(-1)- xCjx32x22 +Cx(-l)3xCix33x2 + CC；x34=145故答案为：145【点睛】此题考查二项式定理，考查运算求解能力，属于基础题.9 .【答案】-12【解析】分析：先计算该二项展开式的通项公式(二禺26-r(-1)一然后令3一=2, 进行计算即可.详解：由题可知：该二项展开式的通项公式为(+|=禺26一(-1)、”，令 3 尸=2 = r = 5所以展开式中含一项的系数是C；2i(-1)5 =72故答案为：T2【点睛】此题考查二项展开式种指定项的系数，掌握二项式展开式的通
9、项公式，考查公式的记忆 以及计算，属基础题.10 .【答案】0【解析】分析：利用二项式定理可知，对关系式中的x赋值，即可求得,+4的值详解: . （x2）=a（）+4（x 1） + q（x 1） +.+6（%1）令x =之得.0 = % + q +g+ / ,即 + q +/+. + / = 0.故答案为0.【点睛】此题考查二项式定理的应用，考查赋值法的应用，属于基础题.11 .【答案】135【解析】分析：令二项式中的x=l,得到展开式中的各项系数的和，根据二项式系数和 公式得到各项二项式系数的和2、据列出方程求出n的值.再运用二项式展开式的 通项公式可得答案.4详解：令x=l,得各项系数之和
10、为（1 + 3尸=4）由得爱=64, n = 6,的展开式的通项为Tf=Cx” (rW6, rN)令3 r=l,得r = 2,所以x的系数为9a= 135.故答案为：135.【点睛】此题主要考查二项式中的各项系数和二项式系数的性质和区别，令字母为1是求各项系 数之和的常用手段，属于基础题.12 .【答案】（1） = 6； （2）64【解析】分析：（1）根据二项式展开式的通项公式建立关于n的方程求解即可;（2）利用展开式的通项公式求解特殊项，进而求解出特殊项的系数和.（Vx）n（n e N）详解：解：（1）二项式 2x的展开式的通项公式为- l + (-)xC +(-)2xC2由前三项的系数和为
11、4,得 22 4化简得/一5九一6 = ,解得 =65 = -1舍去）所以n的值为6；（五一1）6（2）由（1）得二项式 2x的展开式的通项公式为6-3r& = C：（亍 S = 0,6）要使展开式是有理项，所以 二，2,4,6.得到所有的有理项分别为 15 1513651 + + + =因为 4 16 64 64365所以所有有理项的系数和为百.3.【答案】（1） -672； （2） 5376/5【解析】分析：（1）由二项展开式通项公式得第5项的系数与第3项的系数，由比值求 得，确定/所在项数后可得系数；（2）由第1+1项的系数绝对值不小于第项系数绝对值和第+1项的系数绝对值不小 于第r+2
12、项系数，列不等式组求得一的范围，注意取系数为正的那一项即可得.详解： 由题意屐（）42）:14 1,解得 =9.27_5r27 5r所以展开式通项公式为C；+12r+1,设第r+1项系数的绝对值最大，那么解得173r20,于是只能为27_30_36,所以系数绝对值最大的项为第(2)6%，2 =5376x 2.13 .【答案】(1) 64； (2) -793.【解析】分析：(1)利用赋值法，令1=,可求出。的值；(2)利用赋值法，先 = 1,求出卬+%。+ 4+4+%,再结合(1)中&的值可求得 答案详解：解：令 = ,贝 14=26x15 =64 ,(2)令x = ,那么知+60 + + %+q+/ =36 x(l)5 =729 ,因为小;64.所以