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1、椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质基础过关练题组一椭圆的几何性质及其应用.椭圆3x2+4y2=12的长轴长、短轴长分别为（）A.2,V3B.V3,2C.4,2V3D.2V3,422 .点84,1）在椭|员归+三二1的内部，则a的取值范围是（）A.（-oo,-V2）U（V2,+oo）B.（-V2,V2）C.-V2,V2D.（-2,2） 22.（2020河北唐山一中高二上期中）己知B,F2分别为椭圆的左，右焦点,A为 lb y上顶点，则 AFF2的面积为（）A.6 B.15 C.6V7D.3V73 .若中心在原点,焦点在x轴上的椭圆的长轴长为18,旦两个焦点恰好将长轴三等 分，则此椭圆的
2、方程是（）224 .（2020湖南长沙长郡中学高二上期中）椭圆|针% 1的短轴长为8,则实数m=.乂aFiF2M 的周长为 2a+2c=16t=16,t= 1, a=5,c=3, b2=a2-c2= 16.椭圆C的方程为士+乙=1,故选D. 25 16.C 当 k4 时,e=3%(l,l),即义三句444,解得0k4时,e?筋G，l)，即亨 1 n()p综上，实数k的取值范围为(),326,+ 8).12 .答案2解析 椭圆方程可化为荣=1. 42； a2=4,b?=2,从而 c2=2,c=V2.因此，两焦点为(-&,(),(加,0),短轴的一个端点为(0,V5).,构成的三角形的面积为2&x
3、&=2. 2.答案解析x?+9y2=36化为标准方程为M匚1,故离心率e产坟二结的离心率e2=-.36 463953因为eie2,所以更扁.14 .解析 由题易知A(a,0),设F(-c,0).*.* e=-=-, a=3c.设 P(x0,yo),贝iJ-3cWxo43c. a 3V PF=(-c-xo,-yo),Pi4=(a-xo,-yo),PF-PX=(-c-xo,-yo)(a-xo,-yo)=-ac+cxo-axo+%o +九=-ac+cxo-axo+Xo +b2- Xq=7 -(a-c)xo+b2-ac (TXg -(a-c)xo+a2-c2-ac=%o-2cxo+5c2=(xo-9c
4、)2-4c2.,当xo=-3c时，丽明有最大值，且最大值为12c2. I2c2=12, .c2=l,/.a2=9,b2=a2-c2=8,椭圆的方程为二2=1.98能力提升练1 .C由题图可设瓷盘所在椭圆的方程为54=l(ab0),所以长轴长2a=8,短轴长 2b=4,所以a=4,b=2,可得c=H汇京=2百,因此焦距2c=4次,故选C.2 .A 设 P(x,y).当 0k4 时,不妨令 A(-2,0),B(2,0),则可=(-2-x,-y),而=(2-x,-y), /. P7-p5=x2+y2-4=|P4|x|PF|cos 120。=-；|西冈丽|.由 Sgpab=；|丽冈丽|xsin 120
5、。) | AB|x|y|二2|y|,得;同凶丽二招.故有x?+y2-4=丽x|丽仁噌. 又,点P在椭圆上,x2=44, 4苧户Tgn(4-fc)y2 4|y| k 行. 4k,皿二丽？依题意知依飞： 又0k4,遍k+4巫4件 0, .0k4时,不妨令人(0,-7)取0,则可?=(-*,-&-丫),而=(-X,倔-丫), A M-PF=x2+y2-k=|R4|x|pS|cos 1200=-PAxPB.由 S&pab=；|同冈丽|sin I20=|AB|x|x|=V/c|x|,得西x|而仁平.2V3故有x2+y2-k二寸西冈丽仁-罢.又,点P在椭圆上,y2=k.包，4.x2+k-k=-学， 4 V
6、3即丝二2胭4y/3 ,冈二丽?依题意知土42,V3(k-4)又k4, V3k-4Vk-4V30, Ak 12.综上,k0,；u12,+8),故选 A.3 .AB依题意,e二碗意即Jl-偿 卜(丝丫,所以u,所以S骂因此b正确汉Ql a2 (?1/旬 a2a2 b2aa2,所以椭圆Ci和椭圆C?一定没有公共点，因此A正确;设=m,其中0m0,即有吟好得好，则吟。分肾-岐因此C错 误;(ai-bi)-(a2-b2)=(l-m)(ai-a2)0,即有 abia2-b2,则 ai-a2bl-b2,因此 D错误.故选 AB.4 .答案2百22解析 设P(x,y),则了 +正=L x2 + y2 =。2
7、,由得X?二cZy，代入式得*=lny24nlyS pof=-|OF| - |y |=-xcx=-b2=6, 22 c 262=12,又g0,Ab=2V3.5.A设圆柱的底面半径为r,依题意知,最长母线与最短母线所在截面如图所示. cAAB=DE=2r.从而 CD=r. sin600 3因此在椭圆中长轴长2a=吨r,3短轴长2b=2r, ) 24)2 1-2一 v3.c-=a-b-=-r-r=-r=c=r.333，e=3故选 A. a 26 .D由题意知点P的坐标为或V zFiPF2=60,.*.-=V3,B|J 2ac=V3b2=V3(a2-c2), b aV3e2+2e-V3=0,.,.e
8、二3或e二-V5(舍去). 3故选D.7 .A 设 H(xo,yo),则羽=,3-密),而 M(-a,O),N(a,O), 1 n=V2m, m=2(2-V2)a.在 RMFiPF?中，由勾股定理得,m2+(2a-m=4c2,即2(2-V5)a2+2a-2(2-/间2=4c2,，. 4(6-4V2)a2+(12-8V2)a2=4c2,RP(9-6V2)a2=c2,Zjfrj e2=1=9_6vx又知 0e 1, e=/6- V5,故选a.9 .C由题意得a?二花+l,b2,故e=二且，故椭圆乙卢=1是“黄金椭圆”; 7 a222 =aN+b+b?+c?,化简可知 e2+e-l=0,解得用或 e
9、=9(舍去)，故22该椭圆是“黄金椭圆”;由|FF2|2二|AFiHFiB|,得Qc)2=(a-c)(a+c),则e二渔(负值舍去)，故 5该椭圆不是“黄金椭圆.故选C.10 .解析 如图所示，设椭圆的左焦点为Fl,连接AB,BR,则四边形AFBFi为矩形，A |AB|=|FFi|=2c,|AF|+|BF|=2a.V |AF|=2csin a,|BF|=2ccos a,/. 2csin a+2ccos a=2a,.5 i _ i sina+cosa 住火口弓)n n.3寸,斗4 l_3 12J,.皿a+冰上,T&sin(a+*殍椭圆的离心率昵百1,一.H.C直线与坐标轴的交点为(0,1),(-
10、2,0).当焦点在x轴上时;设椭圆的方程为+j=l(ab0),cr bc由题意知,c=2,b=l,:. a2=5,椭圆的标准方程为:+y2= 1;当焦点在y轴上时，设椭圆的方程为，l(ab0),由题意知,b=2,c=l,.a2=5,.椭圆的标准方程为e+之1.故选C. 5 4易错警示当不能确定椭圆的焦点在哪条坐标轴上时，要分两种情况讨论，解题时 要防止遗漏导致解题错误，如本题有两种情况，得到两解.12.B如图，延长PF2,BM,交于点N,则APBN为等腰三角形,M为BN的中点,|两|二；|不|中而H而1曰1所H讯II.由图可知，当P在短轴端点时,1丽I取得最 小值，此时I丽1=0,当P在长轴端
11、点时,I丽I取得最大值，此时I丽|=2加,但P不能在 坐标轴上，故取不到端点值，所以I而I的取值范围为(0,2&).13.AD 由?+y2=l 得 a2=2,b2=l,Ac2=h|PFi|+|PF2|=2a=2或,因此A正确；e=J土与渔，因此B错误；当点P在椭圆的上顶点或下顶点时,APRF2的面积最大，旦(SApF】F2)3=；x2cxb=；x2xl=l&,因此 C 错误;以线段BF2为直径的圆的方程为x2+y2=l,且喑!=1,因此D正确.Vl2+12故选AD.14.BC 由题图可得 aa2,cC2,ai +ca2+C2,A 不正确;.|PF|二aci,|PF|二a2-C2,；ai-c尸a
12、zC2,故 B 正确;由 ac产a2-C2得(ai+cz/Naz+ci)即忧-#+2aiC2二运-c升2a2口,亦BPbf+2aiC2=b2+2a2Ci, Vbib2,a2CiaiC2,C 正确,D 不正确.故选 BC.01 a215.解析(1)由题意得，ab = 1,解得a=2,b=l.所以椭圆C的方程为：+y2=l.la2 = b2 4- c2,(2)证明:由知,A(2,0),B(0/),设 P(xo,yo),M(O,yM),N(XN,O),则就+4据=4.当xo*O时，直线PA的方程为y=(x-2),令 x=0,得 yM=-也，从而|BM|=|l-yM|=|l +； 沏2I x0-2直线
13、PB的方程为广史x+1, *0令 y=0,得 XN=言从而|AN|=|2-xn|=12 + 合.所以 IANHBMI=2+41+纠yT| I0-21_ x1+4舟4勺0%+4Xoy0-x0-2y0+2_ 4xoyQ-4xo-83，o+8 =4xoyo-xo-2yQ+2当 xo=O 时,yo=0,|BM|=2,|AN|=2, 所以 |AN|BM|=4.综上,|ANHBM|为定值.题组二求椭圆的离心率或范围.椭圆x2+4y2=l的离心率为（）A停 B.2 C仔 D.|242322226 .已知ab0,则椭圆今+%=1与椭圆a+%=入（10且入1）有（）A.相同的焦点 B.相同的顶点C.相同的离心率
14、D.相同的长、短轴.己知椭圆奈。心30）的左、右焦点分别是Fi、F2T是椭圆上一点，若 |PFi|=2|PF2|,则椭圆的离心率的取值范围是（）A（喘4，1）B.D.（H）曲）227 .在平面直角坐标系Oxy中,若椭圆E：I+%=1（ab0）的两个焦点和短轴的两个端 点恰为正方形的四个顶点,则椭圆E的离心率是.8 .已知椭圆*Q（ab0）的左焦点为B,右顶点为A点B在椭圆.匕且BFux轴, 直线AB与y轴交于点P,而=2而，则椭圆的离心率为.题组三椭圆几何性质的综合运用.若椭圆?=l（ab（）的离心率为|,两焦点分别为BE,M为椭圆上一点，且FF2M的周长为16,则椭圆C的方程为（）巴/ 25
15、 9 ，冷!/ y2A七+a1 B二25 16C*=l D.,.设e是椭圆的离心率，且昵6,1）,则实数k的取值范围是（）A.（0,3）B.（3,y）C.（0,3）U管,+ 8）D.（0,2）9 .椭圆C:x2+2y2=4的两个焦点与短轴的一个端点构成的三角形的面积等 于.10 .比较椭圆x2+9y2=36与吟9=1的形状,（填序号）更扁. y2 v21.如图，椭圆/+%=l（ab0）的离心率eFA分别是椭圆的左焦点和右顶点,P是 椭圆上任意一点，若丽刀的最大值是12,求椭圆的方程.能力提升练题组一 椭圆的几何性质及其应用1.（2020山东荷泽高二上期末,*?）中国是世界上最古老的文明中心之一
16、，中国古代对 世界上最重要的贡献之一就是发明了瓷器，中国陶瓷是世界上独一无二的.它的发 展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术，陶瓷形状各式各样，从不同角度诠释了数学 中几何的形式之美.现有一椭圆形明代瓷盘,经测量得到图中数据，则该椭圆瓷盘的 焦距为（）22.（*）设A,B是椭圆C：-+5=l长轴的两个端点，若C上存在点P满足nAPB=120。, K则k的取值范围是（）A.(0u12,+oo) B.(0,|u6,+o)+g=l(aibi0)和椭圆 Ci：=1 （a2b20）的离心率相同,D.(0u6,+oo).（多选）（*）若椭I员1 Ci：且aa2,则下列结论正确的是（）A.椭圆G和椭圆C2一定没
17、有公共点B.色春C.aj-a2b-b2D.ai-a2b0）的右焦点， 点P在椭圆上，且P到原点O的距离等于半焦距,VOF的面积为6,则b=.题组二求椭圆的离心率或范围.（2020辽宁省实验中学高二上期中,?）美学四大构件是:史诗、音乐、造型（绘画、 建筑等）和数学.素描是学习绘画的必要一步,它包括明暗素描和结构素描，而学习几 何体结构素描是学习素描最重要的一步.某同学在画切面圆柱体（用与圆柱底面不 平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体，原圆柱的母线被截 面所截剩余的部分称为切面圆柱体的母线）的过程中，发现切面”是一个椭圆，若切 面圆柱体的最长母线与最短母线所确定的平面截切面圆
18、柱体得到的截面图形是有 一个底角为60度的直角梯形，则该椭圆的离心率为（）A.| B俘Dl22236.(2019黑龙江大庆实脸中学高二上期中，好)已知过椭圆*Q(ab0)的左焦点Fi作x轴的垂线交椭圆于点PR为其右焦点，若nBPF2=6()。,则椭圆的离心率为( )A塔B佟C俘D培 3223227 .(2020山东滨州高二期中已知椭圆C：3+=l(ab0)的左,右顶点分别为M,N, 若在椭圆C上存在点H,使kMHkNH(*，0)，贝5椭圆C的离心率的取值范围为() A)B.M)鸡)“吟)22.(2020山东广饶一中高二期中，好)己知BE分别为椭圆3+%=l(ab0)的左，右焦点，点P是椭圆上位
19、于第二象限内的点，延长PR交椭圆于点Q,若PF2_lPQ,且|PF2|二|PQ|,则椭圆的离心率为()A.V6-V3 B.V2-1C.V3-V2D.2-V28 .(*)黄金分割比例亨具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴含着丰富的美学价 值.这一比值能够引起人们的美感，是建筑和艺术中最理想的比例我们把离心率 际亨的椭圆称为“黄金椭圆”，则以下四种说法：2222椭圆1K是“黄金椭圆”；若椭圆今电=l(ab0)的右焦点为F(c,0),且满足 / V 3 IC2 b22b?二ac,则该椭圆为“黄金椭圆”;设椭圆3节=l(ab0)的左焦点为F,上顶点为B,右 顶点为A,若nABF=90。,则该椭圆为“黄
20、金椭圆”;设椭圆*、=l(ab0)的左，右顶 点分别是A,B,左,右焦点分别是BE,若IFEF二IABHBBI,则该椭圆为“黄金椭圆”.其中说法正确的个数为()A.l B.2 C.3 D. 4A,它关于原点的对称点为B,点F为椭圆的右焦点,且满足AF_lBE设nABF=%且求该椭圆的离心率e的取值范围.1/ O.题组三椭圆几何性质的综合运用11.（2020江西南昌二中高二上第一次月考,*：）若直线x-2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为（易律）A.71 B.争C.f+y2=l或9+9=1D.以上答案都不对2212 .(*?)已矢IJ点P(x,y)(x#O,yO)是椭圆
21、牌卷二1上的一个动点,B,F2分别为椭圆的左， 右焦点,0是坐标原点，若M是NBPF2的平分线上的一点(不与点P重合)，且 瓦丽可7=0,则|丽|的取值范围为()A.0,3)B.(0,2a/2)C.2V2,3) D.0,4v213 .(多选)(*)设椭圆C：y+y2=l的左,右焦点分别为BR,P是C上的动点，则下列结 论正确的是()A.|PFi|+|PF2|=2V2B.离心率罟OPFF2面积的最大值为加D.以线段FF2为直径的圆与直线x+y-鱼=0相切14.(多选)(*)如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变 轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行,之后卫星在
22、点P第二次变 轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行,最终卫星在点P第三次变轨进入 以F为圆心的圆形轨道HI绕月匕行.若用2c.和2c2分别表示椭圆轨道I和II的焦 距，用2al和2a2分别表示椭圆轨道I和H的长轴长，则下列式子正确的是()A.ai+ci=a2+c2 B.ai-ci=a2-C2C.cia2aiC2 D.b0)的离心率为 y,A(a,0),B(0,b),0(0,0),OAB 的面积为 1.(1)求椭圆C的方程；设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求 证:|AN|BM|为定值.答案全解全析第1课时 椭圆的简单几何性质基础过关练1.C把3x2+4
23、y2=12化成标准形式为得a2=4,b2=3,则长轴长为4,短轴长为2V3.2.B 由题意，得色41,即 a22,WW-V2a0旦人巧）化为标准方程，得5十91（归0且大行）,其离心，故选c.缶 y/Aa-Xb2 Va2-62 率 e=r=.C由椭圆的定义得，|PF1|+|PF2|=2a,又|PF】|=2|PF2|, .,.|PFi|=-aJPF2|=-a,33又 IPBI-IPF2EIFF2I,即沁 c,所以e%故椭圆的离心率e的取值范围是（1）.故选C.5 .答案-2解析依题意得5=g所以 b2=c2=a2-c2=c2=a2=2c2=-, qZ 2又e0,所以e二巫.a2.答案-2解析如图，易知ABFijAPO,则”二吧即幺上所以a=2c,所以e=-=-.AB 1/lFjl 3 a+ca 21 l.D *.*e=-=-,d,设-=t(t0),则 a=5t,c=3t. a 53 53 5