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1、专题强化练6椭圆的综合运用一、选择题2 2万1.(2020安徽阜阳高二上期末,不)已知焦点在x轴上的椭圆J一 二1的离心率为乎, m 4I则实数m=()A.2 B.8 C.4+2V2D.4-2V2222 .(*)已知椭圆2咛=1,则以点为中点的弦所在直线的方程为()A.4x+5y-l=0B.4x-5y+9=0C.5x-4y+9=0D.5x+4y-l =0.(2020海南海口海南中学高二上期中,*)已知P是椭圆E:|+= 1 (ab0)上异于 点A(-a,0),B(a,0)的一点,E的离心率为则直线AP与BP的斜率之积为() 3311A.4 B，7 C.-i D.74444丫23 .(*)己知F
2、是椭圆E:fy2=l的右焦点，直线x-my=0与E交于A,B两点，则MBF 4的周长的取值范围为()A.(2,4)B.2,4)C,(6,8)D.6,8)2 25 .(2020湖南五市十校高二上期中,妙)己知椭圆C：J=l(ab0)的左，右焦点分别 a b为RR,以F2为圆心的圆过椭圆C的中心，且与C在第一象限交于点P,若直线PF.恰好与圆F2相切于点P,则C的离心率为()A.V3-1 B 与二、填空题226 .(2020河北石家庄二中高二上期中,留)己知点P是椭圆左节=l(ab0)上的一 点,R、F2分别为椭圆的左、右焦点/BPF2=120。,且|PB|二3|PF2,则椭圆的离心率 为.227
3、.(*：)设BE分别是椭圆+=1的左、右焦点,P为椭圆上任一点，点M的坐标为 Z5 16(6,4),则|PM|+|PB |的最大值为.228 .(2020广东惠州高二上期末,十?)椭圆尹啜二1上的一点P到两焦点的距离的乘积 为m,则m的最大值为，此时点P的坐标为.三、解答题.(*)已知椭圆E的中心为坐标原点O,焦点在坐标轴上，且经过点A(V2,0),B(0,l). (1)求E的方程；过点(1,0)作倾斜角为45。的直线1,1与E相交于P,Q两点，求aOPQ的面积.9 .(2020福建漳州高二上期末质量检测*9已知椭圆C:黜=l(ab0)的离心率为 1,A(a,0),B(0,b),0(0,0),
4、OAB 的面积为遍.(1)求椭圆C的方程；(2)过右焦点F作与x轴不重合的直线I交椭圆C于P,Q两点，连接AP,AQ,分别交 直线x=3于M,N两点,若直线MF,NF的斜率分别为kik,试问:14(x|4-x2)(xi-x2)+5(yi4-y2)(yi-4%2 + 5 龙=20y2）=o.又 X|+x2=-2,yi+y2=2,代入上式得-8（xX2）+10（yy2）=0, 1丫231 4 kAB=-X25因此弦所在直线的方程为y-l=-(x+ix5即4x5y+9=0.故选B.3.C 设 P(x,y),则 y?二由 e1=4,得涕，设漆=3。,则 a=2t,c=V3t, b=t.又直线AP的斜率
5、k,P二，直线BP的斜率kBP二E因此弦所在直线的方程为y-l=-(x+ix5即4x5y+9=0.故选B.3.C 设 P(x,y),则 y?二由 e1=4,得涕，设漆=3。,则 a=2t,c=V3t, b=t.又直线AP的斜率k,P二，直线BP的斜率kBP二EkAP.kBP二上.上二一x+a x-ax+aMDx-ax2-a24 .D 记椭圆EAy2=l的左焦点为F,则四边形AFBF为平行四边形(如图所示),AABF 的周长等于|AB|+|AF|+|BF|=|AB|+|AF|+|AF|=|AB|+2a,乂|AB|e2b,2a),故ABF 的周长的取值范围为|AB|+2aq2a+2b,4a)=6,
6、8).5 .A 如图所示，依题意得 nFFF2=90,|PF2| = c,.|PB|=2a-c,又 IPF1F+IPF2F 二 IFF2F,/.(2a-c)2+c2=4c2,KP c2+2ac-2a2=0,e2+2e2=0,解得e=V3-l或e=V5l(舍)，故选A.二、填空题6.答案匹4解析 |PF2|=m(m0),M|PFi|=3m,由nFFF2= 120。得,|FF2|2二|PFiF+|PF2F-2|PFi|PF21cos 120。, 4c2=9m2+m2+3mm= 13m2.Sltt,c=m,X2a=|PF|+|PF2|=4m=a=2m,2a 2m 47.答案15解析在椭圆匕区=1中,
7、a=5,b=4,c=3,所以焦点坐标分别为F(25 163,0),F2(3,0).|PM|+|PFi|=|PM|+(2a-|PF2|)=10+(|PM|-|PF2|).|PMHPF2lWMF2,当且仅当P在直线MF?上时取等号,当点P与图中的点Po重合时，有(|PMHPF2|)max=|MF2|二J(6-3)2 + (4-0)2=5,此时 |PM|+|PB|取最大值，最大值为10+5=15.8.答案 25;(3,0)(或分开写(30)和(3,0)解析 设B、F2为椭圆的两焦点,m=|PRHPF2l四产?吧)-2=25,当且仅当 |PF1|=|PF2|=5时，等号成立,此时取最大值25,即点P在
8、短轴端点时,m取最大值，所以点P的坐标为(3,0)时,m取最大值，最大值为25.三、解答题.解析 解法一:(1)依题意知,A,B分别为椭圆E的右顶点、上顶点，所以E的焦点 在x轴上.设 E 的方程为34=l(ab0),贝ij a=V2,b=l,所以E的方程为?+y2=l.设 P(xi,y1),Q(x2,y2),不妨设 yiy2,依题意，得直线1的方程为尸x-1.得 3y2*1=。，解得 yiW，y2=i.记点(1,0)为F,则S opq-S aofp+S 6ofq-：|OF| |y -y 2l=;x 1 x兰.所以OPQ的面积为:.解法二:(1)同解法一.(2)设 P(Xi,y1),Q(X2,
9、y2),不妨设 xix2.依题意，得直线1的方程为y=x-l.得 3x2-4x=0,解得 xi=0,x2=；,所以|PQ|=，1 + k2|xx2|=+ lx 0-=, 33原点0到直线1的距离d二等二亘，所以S.0PQ=-|PQ|dV1+122所以OPQ的面积为，.解析 解法一 :(1)由题意得ab = V3, la2 = b2 + c2,解得卜2 lb=4,=3.所以椭圆C的方程为4 3由知 F(l,0),A(2,0),当直线1的斜率不存在时，直线1的方程为x=L% = 1, (x = 1,不妨设 P(1,；),Q(1,-)则直线AP的方程为y=(x2), 令 x=3,得 y=T贝IJ此时
10、 k,=-；, 3-14同理k2=-, 4所以 kik2=-x-； 4 416当直线1的斜率存在时，设直线1的方程为y=k(x-I),(y = Z(x-i),联立 /2 得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,+ = 1J 3设 P(X|,yi),Q(X2,y2),filll , _ 纵2_4/c2-12则 Xl+X2=7，X|X2=7，3+413+4 妙直线AP的方程为y=(x-2), xv2令 x=3,得 y二六，则 M(3,9，同理，N(3闱,所以k尸yixi-2 y1 fe(xri)及*2-2 一 力 小2)3-1 2(xr2) 2(X-2)3-1 2(x2-2) 2(交-2
11、)所以 k k=-二公勺万2-(二+1)+112 2(xr2) 2(x2-2) 4x1x2-2(x1+x2)+4)/(僚黑+1)4(富小芸+4)_ fc2(4k2-12-8fc2+3+4fc2) _ 9 4(4/c2-12-16fc2 + 12+16fc2)16*综上所述,k|k2为定值.16解法二:(1)同解法一.(2)由知 F(l,0),A(2,0),联立联立x2 . y2 1W(3m2+4)y2+6my-9=0, k4 3设直线1的方程为x=my+l, x = my + L设 P(Xi,yi),Q(x2,y2),则丫鹏二詈:9吐三 3m2+43m?+4直线AP的方程为y=(x-2), x2令*=3,得丫=告则M(3,9, 同理，N(3闱，所以k产所以k产肛-2二为二为3-1 2(*-2) 2(my1-l)22.所以 k|k2=*-=-2(ntyrl) 2(my2-l) 4m2y1y2-m(yl+y2)+l-93m2+4一?.9-6m41 玛-m 4+1 I3mz+4 3mz+4 )4(-9m2+6m2+3m2+4)16所以Kk2为定值.16