量子力学12套内部模拟试题.docx

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1、模拟试题试题1（20分）设氢原子处于的状态上，求其能量、角动量平方及角动量z重量的可能取值与相应 的取值几率，进而求出它们的平均值。-2.（20分）作一维运动的粒子，当哈密顿算符为凡=k+ 丫时，能 级是E：,假如哈密顿算符变成方=冗+。 为实参数），求变化后的 能级E二 .（20分）质量为的粒子处于如下的一维位势中 其中， 且c0,匕0,求其负的能量本征值。A.（20分）在Z?与乙z的共同表象中，算符。的矩阵形式为 求4的本征值和归一化的本征矢。五.（20分）两个线谐振子，它们的质量皆为，角频率皆为。,A加上微扰项W = 也（如工2分别为两个谐振子的坐标）后，用微扰 论求体系基态能量至二级修

2、正、其次激发态能量至一级修正。试题2.（20分）质量为加的粒子作一维自由运动，假如粒子处于“光）=Asin2 kx的状态上，求其动量P与动能f的取值几率分布及（20分）质量为根的粒子，在一维无限深势阱中中运动，假设, =（）时，粒子处于状态上，其中，。（犬）为粒子的第个本征态。求，=O时能量的可测值与相应的取值几率; 求”。时的波函数（，）及能量的可测值与相应的取值几（20分）一个电子被禁闭在线谐振子基态，假设在此态上有求激发此电子到其第一激发态所需要的能量（用eV表示）。提示：采 用维里定理。三.（20分）设厄米特算符方的本征矢为|外，19J构成正交归 一完备系，定义一个算符（1）计算对易子

3、庆8九）；（2）证明“血,诃（P，9）= 3Mm,P）；（3）计算迹 TrU,）；（4）假设算符A的矩阵元为4 二仇同巴），证明U!（20分）自旋为、固有磁矩为口二（其中/为实常数）一 一力的粒子，处于匀称外磁场6 =中，设 = 0时，粒子处于Sz =5的状态，（1） 求出0时的波函数；求出”0时以与鼠的可测值及相应的取值几率。五.（20分）两个质量皆为的非全同粒子处于线谐振子位中，假设A其角频率都是加上微扰项W= 二工也（毛，2分别为第一个粒子 与其次个粒子的坐标）后，用微扰论求体系基态能量至二级修正、其 次激发态能量至一级修正。试题11一.（20分）证明:（1）假设一个算符与角动量算符/的

4、两个重量对易，那么其必与J的另 一个重量对易;（2）在户与人的共同本征态|加下，人与人的平均值为零,A八且当M = J时，测量（与4的不确定性为最小。1.（20分）粒子作一维运动，当总能量算符为八2届二为+V时，能级是琮,假如总能量算符变成方=瓦）+。/ （2为实参数），求粒子 能级的严格解三.（20分）一维谐振子的哈密顿算符为引入无量纲算符,引入无量纲算符,(1)计算户, L&+八 八+八a, a a八十 八+ / a .a a .人.八八+（2） 将“用与表示，并求出全部能级。U!I.（20分）有肯定域电子（作为近似模型，可以不考虑轨道运动）受到匀称磁场月的作用，磁场月指向X轴电正方向，磁

5、作用为A eB八 eBh八H =九=aYA cA/ c。设，=0时，电子的自旋向上，即hsz = 2 ,求，0时M的平均值。五.（20分）有一量子体系由哈密顿量力=方。+钞描述，其中， 访=设仄方。可视为微扰，&月是厄米特算符，且有e=i忸4。（1）假设算符4反e在育。的非简并基态上的平均值，且分别记为4,3。,C。，求月在微扰后的非简并基态上的平均值，精确 到兄量级。（2）将上述结果用在如下三维问题上,计算在微扰后非简并基态上巧计算在微扰后非简并基态上巧（1 = 123）的平均值，精确力量级。习题12一、（30分）回答以下问题1、何谓微观粒子的波动粒子两象性?2、波函数（元。是用来描述什么的

6、？它应当满意什么样的自然条 件？ I”（元。之的物理含义是什么？3、分别说明什么样的状态是束缚态、简并态与负宇称态?4、物理上可观测量应当对应什么样的算符？为什么?5、坐标*重量算符x与动量x重量算符九的对易关系是什么？并 写出两者满意的测不准关系。6、线性厄米特算符F的本征值，与本征矢|宿分别具有什么性质？ 二、（20分）设氢原子处于的状态上，求其能量、角动量平方及角动量z重量的可能取值与相应 的取值几率，进而求出它们的平均值。三、（25分）有一质量为根的粒子，在如下势场中运动试求出束缚能级所满意的方程。四、（25分）设厄米特算符方的本征矢为向，5构成正交归一 完备系，定义一个算符（1）计算

7、对易子h.uM.（2）证明n）U+ （p,q） = SnqU（m,p）.（3）计算迹Trt7（m，4,其中，算符户的迹定义为Tr户卢国;（4）假设算符4的矩阵元为心二徊4* 证明4 =A,=TrQ+(p应m,n7 i五、（25分）自旋为：、固有磁矩为 二 /不（其中/为实常数） 的粒子，处于Z方向匀称外磁场巨=线忆中，设，=。时，粒子处于力=5的状态，(1)求出0时的波函数；(2)求出，。时门与3的可测值及相应的取值几率。八Z 1A P 12( 22、六、(25分)二维谐振子的哈密顿算符为H。=偿4 +),在对其施加微扰位=-2移后，采用微扰论求H = H0W基态能量至二级修正、其次激发态能量

8、至一级修正。其中,a =，而1%)为线谐振子的第个本征矢。平均值。二 .（20分）质量为m的粒子处于如下一维势阱中假设该粒子在此势阱中存在一个能量巨=子的状态，试确定此势 阱的宽度。三 .（20分）体系的三维空间是由三个相互正交的态矢|）、区A/和构成的，以其为基矢的两个算符”和8的矩阵形式如下A其中，0为实常数。证明算符力和b是厄米特算符，并且两者相互 对易，进而求出它们的共同本征函数。四.（20分）固有磁矩为=7亍的电子,力% =。时处于% = %的状态,同时进入z方向匀称磁场方= 中。求/0时测量“得S”-弓的几 率是多少。/为常数，亍为自旋算符。五.（20分）一个电荷为4、质量为和角频

9、率为的线谐振子，受 到恒定弱电场2的作用，即W = -X,求其能量近似到二级修正、 波函数到一级修正。试题3一.（20分）质量为帆的粒子，在阱宽为的一维无限深势阱中 运动，当r=o时，粒子处于状态其中，% （%）为粒子的第H个本征态。（1） 求，=0时能量的取值几率；求才 0时的波函数以及4 ;（2） 求。 0时能量的取值几率。二.（20分）设体系的哈密顿算符为采用适当的变换求出体系的能量本征值与相应的本征矢。三.（20分）自旋为J、固有磁矩为=疗（7为实常数）的粒子，处于匀称外磁场月=8方中，设 =（）时，粒子处于的状态, 求出，。时的波函数，进而计算兄与3的平均值。八2四.（20分）假设一

10、维体系的哈密顿算符方=今+ 丫（只不显含时间,在能量表象中证明:五.（20分）各向同性三维谐振子的哈密顿算符为 加上微扰诂=二（呼+yz+m之后，用微扰论求第一激发态的一级能量 修正。试题4.（20分）质为加 的粒子处于一维位势中，导出其能量本征值Ov石%时满意的方程。二.（20分）质量为力的粒子作一维自由运动，假如粒子处于“（元）=Asii? Rx的状态 上,求其动量p与动能T的其中几率分布及平 均值。八Z三.（20分）假设一维体系的哈密顿算符方=台+ 丫不显含时间,在能量表象中证明:四,（20分）求自旋角动量在任意方向H （方向余弦为COS。, COS分,COS/ ）的投影算符 的本征值和

11、相应的本征矢。五.（20分）设有一量子体系，其能量算符用的本征矢记为 =0,1,2,），给定厄米特算符45及。=U8,山。设体系受到微扰 位=设仄力的作用，假设4=（0刚）,坊=仅同o）,Co=（o|4o）,试在微扰后的基态（无简并）下计算总的平均值，精确到力量级。试题5一.（20分）氢原子在，=0时刻处于状态 式中，外为氢原子的第九个本征态。（1）计算。二？；计算，=0时能量的取值几率与平均值;（2） 写出任意时刻，的波函数（元0o二.（20分）证明：(1)假设一个算符与角动量算符/的两个重量对易，那么其必与宁的另一个重量对易;（2）在产与人的共同本征态|加）下，与。的平均值为零，且A当=/

12、时，测量（与人的不确定性之积为最小。三.（20分）有一质量为用的粒子，在如下势场中运动试求出束缚能级所满意的方程。四.（20分）由两个自旋为4的粒子构成的体系，假设两个粒子的自旋态分别处于（1力二0 ；0cos-expsin (.exp_P_2Si的态上，求体系分别处单态与三重态度几率。五.（20分）一个质量为、角频率微见的线谐振子，受到微扰 近二歹/的作用，（1）用微扰论求能量的一级修正；（2） 求能量的严格解，并与（1）的结果比拟。试题6一.（20分）设氢原子处于的状态上，求其能量、角动量平方及角动量z重量的可能取值与相应 的取值几率，进而求出它们的平均值。二.（20分）算符A以满意不=o

13、,筋+ + Q4 = i, A = 证明A八B2=B9并在3表象中求出A的矩阵表示。八L三.（20分）作一维运动的粒子，当哈密顿算符为几二段+ V（H时,八八P能级是瓦，假如哈密顿算符变成（。为实参数），求变U!化后的能级EI.（20分）两个自旋为天的非全同粒子，自旋间的相互作用是 底1.舄，其中，C是常数，W与&分别是粒子1和粒子2的自旋算 符。设，=0时，粒子1的自旋沿z轴的正方向，粒子2的自旋沿z轴 的负方向，求才 0时测量粒子2的自旋处于z轴负方向的几率。五.（20分）三维各向同性谐振子的能量算符为 试写出能量本征值与本征函数。如这谐振子又受到微扰 位=小孙（2 1）的作用，用微扰论求

14、基态能量到二级微扰修正, 并与精确解比拟。试题7一.（20分）线谐振子在=0时处于态上，其中% （%）为线谐振子第个本征值对应的本征函数。（1） 求在（。）态上能量的可测值、取值几率与平均值;写出0时刻的波函数及相应的能量取值几率与平均值。二.（20分）对一维定态问题，假设哈密顿量为且设其具有断续且设其具有断续即冏9= ,证明“%Z（瓦-区）设二冬何）18n假设 V（%）与无关，那么 E- En ）2n三.（20分）两个自旋为的粒子，它们之间的相互作用为是病.鸟，其中，/是常数。设 =。时，粒子1的自旋沿N轴的正方 向，粒子2的自旋沿工轴的正方向，求% 0时测量粒子1的自旋沿z 轴正方向的几率

15、。四.（20分）质量为4、电荷为9的粒子，在方向相互垂直的匀称电 场2 = （名。,0）和匀称磁场B =（0,0,与）中运动，取电磁场的标势和矢势 分别为和，=（。，及，。），其哈密顿算符为 找出包括后在内的力学量完全集，并进而求出能量的本征值和本征 矢。五.（20分）类氢离子中，电子与原子核的库仑相互作用为V（ 二 （Ze为核电荷） 它对能量的一级修正，并与严格解比拟。当核电荷变为（Z + 小时，相互作用能增加历=-,试用微扰论计算试题8一 .（20分）质量为小的粒子，在如下势场中运动，其中，%、匕为两个正实数，求能量本征值石（E o）的基态，（1）假设弹性系数R突然变成2左，即势场变成匕（

16、%）二2,随即 测量粒子的能量，求觉察粒子处于新势场匕（X）基态度几率；（2）势场突然由X （%）变为匕（%）后，不进行测量，经过一段时间彳后，势场又恢复成匕3,问取什么值时粒子仍恢复到原来匕3势 场的基态（几率为100%）。八2且假设其三 .（20分）假设一维体系的哈密顿算符为弁=与+ V（D, 具有断续谱，即同力=身叽 试证明:!1!1.（20分）由三个自旋为J的非全同粒子组成的体系，哈密顿 算符为 其中，A6为实常数，W，豆，岳分别为三个粒子的自旋算符。试求出 体系的守恒量，确定体系的能级和与简并度（取力= 1）。五.（20分）氢原子受到匀称电场3 = %七和匀称磁场月=”七的 扰动，在

17、非旋的状况下，证明在第一激发态的一级近似计算中，微扰的矩阵形式（在未受微扰的能量表象中）为并给出常数名分的表达式（基矢是按量子数从小到大的挨次排列）, 进而争论能级的劈裂状况。试题9.、A.（10分）设|力是粒子数算符N = 6+6的本征函数，相应之本=io证明：4力征值为几但。），算符和应满意对易关系於6-屈+ （其中心1）和於新也是征值分别为（1）和（ + 1）。二.（15分）质量为根的粒子在一维势阱寸的状寸的状中运动（匕 。），假设该粒子在此势阱中有一个能量石二态，试确定此势阱的宽度”O三.态上,（15分）设作一维自由运得粒子，=0时处于求:0和r 0时粒子动量与动能的平均值。!1!（20分）对于类氢离子的任何一个本征态匕加行），采用维里定理、定理、1 1费曼海尔曼定理计算厂与方。五.（20分）设两个自旋为:粒子构成的体系，哈密顿量八八八八？Hf S， 其中，。为常数，耳与$2分别是粒子1和粒子2的自旋算符。 =。时，粒子1的自旋沿z轴的负方向，粒子2的自 旋沿z轴的正方向，求方 。时测量粒子1的自旋处于z轴负方向的几 率。六.（20分）粒子在一维势场四九）中运动，非简并能级为硝h = 1,2,3,），如受到微扰”二硝h = 1,2,3,），如受到微扰”二2 、工心的作用，用微扰论求能量到二级修正，并与精确解比拟。试题10