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1、第一章集合与常用逻辑用语1.5全称量词与存在量词1.5.1 全称量词与存在量词【学习目标】1.理解全称量词、全称量词命题的定义2理解存在量词、存在量词命题的定义.3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假.【导语】同学们，生活中，我们经常听到“全体起立，所有人到操场集合，全都不许说话”；我们还 经常听到“有的同学考上了清华大学，有的同学没有交作业”.而这里出现了一些在我们数 学中非常重要的量词，“全体，所有的，任意的，有的，存在”等，今天我们就对含有这些 量词的命题展开讨论.一、全称量词与全称量词命题问题1以下语句是命题吗？比拟(1)和(3), (2)和(4),它们之
2、间有什么关系？ x3；2x+l是整数；对所有的xR, x3；(4)对任意一个xZ,2x+l是整数.提示 语句(1)(2)中含有变量x,由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，所以 它们不是命题.语句在的基础上，用短语“所有的”对变量x进行限定；语句在 的基础上，用短语“任意一个”对变量x进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句， 因此语句(3)(4)是命题.【知识梳理】全称量词与全称量词命题全称量词所有的、任意一个、一切、每一个、任给符号表示V全称量词命题含有全称量词的命题形式“对M中任意一个(x)成立“，可用符号简记为“VxM,p(x)”从集合的观点看全称量词命题是陈述某集
3、合中的所有的元素都具有某种性质的命题，全称 量词表示的数量可能是有限的，也可能是无限的，由题目而定.有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来，例如：命题“平行 四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”.要判定全称量词命题p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x,证明p(x) 成立.(4)要判定全称量词命题”是假命题，只需举出一个反例即可.例1判断以下命题是否为全称量词命题，并判断真假.对任意直角三角形的两锐角4 B,都有sinA=cos&自然数的平方大于或等于零；所有的二次函数的图象的开口都向上.解(1)含有全称量词“任意”，故是全称量词命
4、题，真命题.(2)全称量词命题.表示为VN,层20.真命题.全称量词命题.对于任意二次函数，它的图象的开口都向上.假命题.反思感悟(1)判断一个命题是否为全称量词命题，主要看命题中是否有“所有的，任意一个, 一切，每一个，任给”等表示全体的量词，有些命题的全称量词是隐藏的，要仔细区分.判断真假时用直接法或间接法，直接法就是对陈述的集合中每一个元素都要使结论成立， 间接法就是找到一个元素使结论不成立即可.跟踪训练1判断以下全称量词命题的真假.每个四边形的内角和都是360；任何实数都有算术平方根；(3)Vx y|y是无理数, /是无理数.解(1)真命题.(2)负数没有算术平方根，假命题.(3)%=
5、也是无理数，但好=2是有理数， 假命题.二、存在量词与存在量词命题问题2以下语句是命题吗？比拟(1)和(3), (2)和(4),它们之间有什么关系？ 2x+l = 3；(2)x能被2和3整除；(3)存在一个使存+1=3；(4)至少有一个xZ, x能被2和3整除.提示 容易判断，(1)(2)不是命题.语句(3)在的基础上，用短语“存在一个”对变量x的 取值进行限定；语句在(2)的基础上，用“至少有一个”对变量光的取值进行限定，从而使(3)(4)变成了可以判断真假的陈述句，因此(3)(4)是命题.【知识梳理】存在量词与存在量词命题存在量词存在一个、至少有一个、有一个，有些、有的、对某些符号表示3存
6、在量词命题含有存在量词的命题形式“存在M中的元素, p(x)成立可用符号简记为a3xM, p(x)v从集合的角度看，存在量词命题是陈述某集合中有或存在一些或至少一个元素具有某种性 质的命题.有些命题可能没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存 在量词命题.要判断存在量词命题p(x)”是真命题，只需要在集合M中找到一个元素x,使 p(x)成立即可.(4)要判断一个存在量词命题是假命题，需对集合M中的任意一个元素x,证明p(x)都不成立.例2判断以下命题是否为存在量词命题，并判断真假.有些整数既能被2整除，又能被3整除；某个四边形不是平行四边形；方程3x2y=10有整数解
7、；(4)有一个实数 x,使 x2+2x+4=0.解(1)存在量词命题，表示为x既能被2整除，又能被3整除.真命题.(2)存在量词命题，表示为三次 y|y是四边形, %不是平行四边形.真命题.(3)可改写为存在一对整数x, y,使3x2y=10成立.故为存在量词命题.真命题.(4)存在量词命题，由于/ = 224义4=-120,因此方程无实根.假命题.反思感悟(1)判断一个命题是否为存在量词命题，主要看命题中是否有“存在一个，至少有 一个，有些，有一个，对某些，有的”等表示局部的量词，有些命题的存在量词是隐藏的， 要仔细区分.(2)判断真假时用直接法或间接法，直接法就是对陈述的集合中有一个元素使
8、结论成立即可， 间接法就是对集合中所有的元素使结论不成立，跟踪训练2判断以下存在量词命题的真假.存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直；至少有一个整数，使得/+为奇数；(3户不 y|y是无理数, /是无理数.解(1)菱形的对角线互相垂直，真命题.(2)n2+/7=n(n+1),故和+1必为一奇一偶，其乘积为偶数，假命题.当X = 7l时，炉仍是无理数，真命题.三、依据含量词命题的真假求参数的取值范围例 3 集合 A= x| 2Wx5, B= xm+1 1,且 BW0,假设命题夕“是真命题，求相的取值范围.解 由于命题p： “VxWB, 是真命题，m- 1W2m 1,所以因为BW0,所以卜z+1
9、22,Jim 1W5,解得2WmW3.即H2的取值范围为词2WznW3.延伸探究.把本例中命题p改为u ExA, ,求相的取值范围.解为真，那么AABW。，因为BW0,所以z22.2W 加 +1W5加222W2m 1W5,m2.解得.把本例中的命题p改为“VxA, xWB，是否存在实数相，使命题p是真命题？假设存 在，求出实数2的取值范围；假设不存在，说明理由.解 由于命题p： “V%A, xG B”是真命题，m+1 W2m 1,所以Vm+1W2,无解，2m 1 25,所以不存在实数相，使命题p是真命题.反思感悟依据含量词命题的真假求参数取值范围问题的求解方法(1)首先根据全称量词和存在量词的
10、含义透彻地理解题意.(2)其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再 转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围.跟踪训练3假设命题好以+。=0”为真命题，求实数。的取值范围.解，,命题%24x+tz=0n为真命题，方程%24x+tz=0存在实数根，那么 / = （4）2420,解得 qW4.即实数。的取值范围为q|qW4.课堂小结-.知识清单：（1）全称量词、全称量词命题、存在量词、存在量词命题的概念.（2）含量词的命题的真假判断.依据含量词命题的真假求参数的取值范围.1 .方法归纳：定义法、转化法.2 .常见误区：有些命题省略了量词；全称量词命题强调“
11、整体、全部”，存在量词命题强调 “个别、局部”.3随堂演练1.（多项选择）以下命题是全称量词命题的是（）A.任意一个自然数都是正整数B.有的菱形是正方形C.梯形有两边平行D. ExeR, x2+l=O答案AC解析 选项A中的命题含有全称量词“任意”，是全称量词命题；选项C中，“梯形有两边 平行”是全称量词命题.2 .以下命题中是存在量词命题的是（）A.任何一个实数乘以0都等于0B.任意一个负数都比零小C.每一个正方形都是矩形D.存在没有最大值的二次函数答案D解析D选项是存在量词命题.3 .以下命题中是全称量词命题并且是真命题的是（）A.每个二次函数的图象都开口向上B.存在一条直线与直线不平行C
12、.对任意实数b,假设那么D.存在一个实数羽 使等式工22%+1=0成立答案c解析B, D是存在量词命题，故应排除；对于A,二次函数y=a?+/+c（Q0）的图象开口 向下，也应排除，故应选C.4 .命题p： ExR, N+2x+5=。是（填”全称量词命题”或“存在量词命题”）,它是 命题（填“真”或“假”）.答案存在量词命题假解析命题p是存在量词命题，因为方程x2+2x+5=0的判别式22-4X53”的另一种表述方式的是（）A.有一个xR,使得炉3B.对有些使得/3C.任选一个xR,使得/3D.至少有一个xR,使得N3答案c解析 “V”表示“任意的”.2.以下命题中既是全称量词命题又是真命题的
13、是（）A. VxER,2x+l0B.假设2x为偶数，那么xNC.菱形的四条边都相等D.兀是无理数答案c解析 对A,是全称量词命题，但不是真命题，故A不正确； 对B,是全称量词命题，但不是真命题，故B不正确；对C,是全称量词命题，也是真命题，故C正确；对D,是真命题，但不是全称量词命题，故D不正确.3.以下命题中的假命题是（）A. ExER, |x| = 0B. ExeR,2x-10=lC. VxeR, x0D. VxeR, 2+l0答案C解析 当x=0时，x3=0,应选项C为假命题.4.以下存在量词命题是假命题的是（）A.存在 xQ,使 4一%2=0B.存在尤R,使x2+x+i=oC.有的素数
14、是偶数D.有的有理数没有倒数答案B解析 对于任意的xR, xZ+x+inQ+gz+l。恒成立.5.以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是()A.锐角三角形的内角是锐角或钝角B.至少有一个实数-使/W0C.两个无理数的和必是无理数D.存在一个负数x,使12答案B解析 A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称量词命题；B中当x=0时，x2=0,所以B 既是存在量词命题又是真命题；C中因为小+ (一45)=0,所以C是假命题；D中对于任一 个负数x,都有:0”用“三”写成存在量词命题为答案 3x0解析 存在量词命题“存在M中的元素羽使p(x)成立可用符号简记为p(x)” .7 .假设命题“二次函数
15、y=/ 3x+9的图象恒在x轴上方”为真命题，那么实数。的取值范围 是.答案+8) 解析 由题意，”二次函数y=x23x+9q的图象恒在x轴上方”为真命题,根据二次函数的图象与性质，可得/ = (3)24X9a不即实数的取值范围是Q, +8).8 .判断以下命题哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假性.对所有的正实数3为正且3；存在实数达 使得3x4=0；存在实数对(x, y),使得3x4)，一50；(4)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.解(1)为全称量词命题，且为假命题，如取，=1,那么不成立.(2)为存在量词命题，且为真命题，因为判别式/=分一4。=250,所以存在实
16、数元 使得3x4=0.(3)为存在量词命题，且为真命题，如取实数对(2,0),那么3x4y50成立.(4)为全称量词命题，且为真命题.9 .命题“三一32,3。+%2=0”为真命题，求实数q的取值范围.解由 3a+x2 = 0,得 3。-2=x,3/. 2W 尤W3,2W32W3,即 OWq/,.n综合运用11.以下命题中形式不同于其他三个的是()A. x29x23%eR, x2-2x+10C.每一个正数的倒数都大于0D. Vx2, %3 1B. a 1C. 1D. aW 1答案B解析依题意得，方程好+2工一。=0无实根，所以必有/=4+43,恒成立，那么的取值范围是.答案qW3解析对于任意x
17、3,恒成立，即大于3的数恒大于d 所以aW3.，拓广探究.能够说明“存在不相等的实数小b,使得层一M+b=O”是真命题的一组有序数对 勿为.答案（2,4）（答案不唯一）层解析 由层一+ = 得 匕=。2,即仇Q1） =。2,那么力=_1）.当=2时，6=4,故能够说明“存在不相等的实数，b,使得一+b=O”是真命题.15 . M=1,VxGM, x+l0”是真命题，求实数。的取值范围；x+10成立，求实数Q的取值范围.解（l）VxM, x+l0 是真命题，即 q+10,解得 a 1, 所以实数。的取值范围是 1.（1） x+l0” 成立，即 +1 + 10,解得 q一2,所以实数。的取值范围是。2.