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1、L理解取有限值的离散型随机变量及其分1.通过学习离散型随机变量及两点分布的布列的概念与性质.2.理解两点分布的定义，并能简单的运用.概念、表示及性质，体会数学抽象的素养.2.借助离散型随机变量的分布列求法,培养 数学运算的素养.7. 2离散型随机变量及其分布列新课程标准新学法解读课前篇自主学习固基础笔记教材知识点1离散型随机变量的分布列(1)一般地，对于随机试验样本空间。中的每个样本点口，都有 唯一的实数X()与之对应，我们称X为随机变量.(2)随机变量的可能取值为123,，有无限个取值，但可以一 一列举出来，像这样的随机变量我们称为离散型随机变量.(3)一般地，设离散型随机变量X的可能取值为
2、即，松，&， 我们称X取每一个值即的概率P(X=W=p i=l,2,，为X的 概率分布列，简称分布列.离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个 表格称为X的概率分布或分布列.根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：， i=l,2,，n;p 1 +2 -I-Pn =.答案：01知识点2两点分布(1)一般地，如果随机变量X的分布列能写成如下表格的形式：故BD正确，C错误.故选ABD.3.(2021 .山西长治高二期中)已知随机变量X的分布列如下:X-10123P0.1a0.10.30.3则 P(0WXv3)=.答案：().6 解析：由分布列性质得().1+。+().
3、1+().3+().3=1, 解得。=0.2,所以尸(0WX0,t1加+份=525+2、悟=9, a b21 4当且仅当/?=2=时取等号，即,+的最小值为9.5.某射手有5发子弹，射击一次命中率为0.8,若命中就停止射 击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数X的分布列.解:X的取值为1,2,3,45当X=1时，即第一枪就中了，故尸(X=1)=O8；当X=2时，即第一枪未中，第二枪中了, 故 P(X=2)=0.2X0.8=0.16；同理，P(X= 3)=0.22X0.8=0.032；P(X=4)=0.23 X 0.8=0.006 4；P(X=5)=0.24=0.001 6.则耗用子弹X的分布列为
4、X12345p0.80.160.0320.006 40.001 6课后自读方案误区警示忽略分布列中所有概率之和为1致误示例若随机变量X满足P(X=i)=7*(i= 1234),则P(xV5)错解因为 p(x= o =., T L )所以 P(X45) = P(X= 3) + P(X= 4)_生且_8a 2a=l2+20 = 60=l5-错因分析没有求出。的值.正解因为满足 P(X= 0-1,2,3,4),“ v. a I a ci a 4a所以T+方石+荻2 ,5所以q=w，所以 P(aV5) = P(X= 3)+P(X=4)67 /z_8a 2ci 1=l2+20 = 60=l5=6-X10
5、PPlp则称随机变量X服从参数为 的两点分布.(2)一个所有可能结果只有 的随机试验，通常称为伯努利试验.不难看出，如果将伯努利试验的结果分别看成“成功”与 “不成功”，并设“成功”出现的概率为p, 一次伯努利试验中“成 功”出现的次数为X,则X服从参数为的 分布，因此两点分布也常称为伯努利分布，两点分布中的 也常被称为成功概率.思考：分布列是两点分布吗？X25p0.30.7答案：(1)/7 (2)两种两点p思考：提示：不是.因为X的取值不是。和1.重点理解1 .求离散型随机变量分布列时应注意的问题(1)确定离散型随机变量的分布列的关键是要清楚。取每一个值 对应的随机事件，进一步利用排列、组合
6、知识求出小取每一个值的概 率.(2)在求离散型随机变量c的分布列时，要充分利用分布列的性 质，这样不但可以减少运算量，还可以验证分布列是否正确.2 .两点分布的4个特点(1)两点分布中只有两个对应结果，且两结果是对立的；(2)两点分布中的两个结果一个对应1,另一个对应0；(3)由互斥事件的概率求法可知，已知P(X=0)(或P(X=1),便可 求出 P(X= 1)(或 P(X=0).（4）在有多个结果的随机试验中，如果我们只关心一个随机事件 是否发生，就可以利用两点分布来研究它.自我排查1. （2021河北邢台高二月考）若随机变量4的分布列如下：-2-1123P0.20.12m0.25m则。(匕
7、一12)=()A. 0.3 B. 0.35C. 0.45 D. 0.55答案：D 解析：由题可知，（）.2+（）.1+2z+（）.25 + 2=1,解得 7=0.15.由匕一 1|2,解得一lv3,故 1 |2）=2m+0.25=0.55.故选D.2.设某项试验成功的概率是失败概率的2倍，记y=0,试验失败， 舟竹则 p（y=）=（）1,试验成功，112A. 0 B，2 Cq Dj答案：c 解析：由题意知，可设p（y=i）=p,则 p（y=（）=1，2又p=2（l p）,解得故 p（r=o）=1. ,3 . （2021.辽宁建平高二期中）己知离散型随机变量X的概率分布 列如下：X0123p0.
8、2a0.30.1则实数。等于()A. 0.6 B. 0.7C. 0.1 D. 0.4答案：D 解析：据题意得0.2+。+0.3+0.1 = 1,所以。=04 故选D.4 .若随机变量X服从两点分布，且P(X=0)=0.8, P(X=l)=0.2, 令 Y=3X2,则尸(丫=-2)=.答案：0.8 解析：由丫=-2可知3X-2=-2,即X=0, P( y= 2) = P(X=0) = 085.设随机变量X的分布列为P(X=Z)=|,攵=1,2,3,则z的 值为.272m4/?7答案：女 解析：P(X=1)=拳 P(X=2)=节,P(X=3)=万，由离散型随机变量的分布列的性质知P(X=1)+P(
9、X=2)+P(X=-c 2m , 4m , 8m3)=1, 即7+万+力=1，27解得/%=.课堂篇重点难点要突破研习1分布列及其性质的应用典例1设随机变量X的分布列为P(X=i)=+(i= 123,4),求:(1)P(X=1 或 X=2)；I 7思路点拨：先由分布列的性质求m再根据X=1或X=2, 5X5 的含义，利用分布列求概率.419 3 4解：d)vzp(x=o=-+-+-+-=h.=10,则 P(X=1 或 X=2) =尸(X=1) + P(X=2)j_ 2_=j_ lo+To=To-(2)由 a=10,可得 HXm=P(X= 1)+尸(X=2) + P(X=3)2=3一10十10十
10、1。一亍巧归纳利用分布列及其性质解题时要注意两个问题1 . X的各个取值表示的事件是互斥的.2 .不仅要注意尸(X=i)=l,而且要注意p,20, z=l, 2,，n.练习11 (2021.陕西宝鸡高二期末)设随机变量&的分布列为汆=(%= 123,4),则等于()3 .1 B.| C.g D.；( 1A答案：D 解析：二随机变量七的分布列为 小=/=(2=123,4),.+2。+3。+4= 1,解得4 = 0.1,= 2X0.1 +3X0.1 =.研习2求离散型随机变量的分布列典例2 口袋中有6个同样大小的黑球，编号为123,4,5,6,现 从中随机取出3个球，用X表示取出的最大号码，求X的
11、分布列.思路点拨：X的可能取值为3,4,5,6,是离散型随机变量.可以利 用组合数公式与古典概型概率公式求各种取值的概率.解：随机变量X的可能取值为3,4,5,6.从袋中随机取3个球，包含的基本事件总数为事件“X=3”包含的基本事件总数为C$,事件“X=4”包含的基本事件总数为C|a，事件“X=5”包含的基本事件总数为CiCi，事件“X=6”包含的基本事件总数为cicg.G 1从而有 (X3)2q，P(X=4) =P(X=5) =P(X=6) =cia 3 eg -20,Clci 3FFcia icT-r所以随机变量X的分布列为X3456P1203203 To12巧归纳1 .求离散型随机变量的
12、分布列的步骤找出随机变量4的所有可能的取值双1=12，n).(2)求出取每一个值的概率P代=x=p,.(3)列出表格.2 .已知离散型随机变量的分布列，求离散型随机变量，7=/(0 的分布列的关键是弄清楚4取每一个值时对应的/的值，再把/取相 同的值时所对应的事件的概率相加，列出概率分布列即可.练习2已知随机变量乙的分布列为分别求出随机变量少=；。2 =”的分布列.-2-10123P111111124312612解：由少用知，当4取不同的值-2, 1Q1,2,3时，小的值、113Vj 1,2, 0，2，1，2，所以小的分布列为小-11 2012132P1121 431121 6112由2=华知
13、，对于4的不同取值一2,2及一1,1, 2分别取相同的 值4与1,即仅取4这个值的概率应是取一2与2的概率的和，即击 与:的和,2取1这个值的概率应是4取一1与1的概率的和，即与上 的和，所以2的分布列为根0149P1.3131.41 T2研习3两点分布典例3袋内有10个白球，5个红球，从中摸出2个球，记X0,两球全红，、1,两球非全红.求X的分布列思路点拨：X只有两个可能取值，属于两点分布，应用概率知识 求出x=o的概率，最后列出表格的形式即可.解：由题设可知X服从两点分布.C? 2p(x=0ff19P(X= 1) = 1 P(X=0) =5?LIX的分布列为X01p2192121巧归纳两步
14、法判断一个分布是否为两点分布1 .看取值：随机变量只取两个值0和I.2 .验概率：P(X=0) + P(X=l)=l.如果一个分布满足以上两点，则该分布是两点分布，否则不是两 点分布.练习3 一批产品的次品率为5%,从中任意抽取一个进行检 验，用随机变量X来描述次品出现的情况，即X=0表示抽取的一个 产品为合格品，X=1表示抽取的一个产品为次品，则X的分布列为X01Pab则 a, b.191答案：解析：X=0表示抽取的一个产品为合格品，概率为95%,即。=而；X=1表示抽取的一个产品为次品，概率为5%, 即人=4.课后篇基础达标延伸阅读1 . (2021 江西赣州高二期中)随机变量X的概率分布
15、规律为P(X = k)=ak(k=1,2, , 10),则 a=()A.击B. 110C.hD. 55答案：C 解析：由于随机变量X的概率分布规律为P(X=Z) = ak*=2,，10),2 .,.10X(1 + 10)所以。(1+2+3+4+ 10)=1, aX=1,解得七故选C.3 .(多选题)已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数):X01p0.10.22340.40.2a则下列计算结果正确的有()A. 。=0.1 B. P(X22) = 0.7C. P(X23)=0.4 D. P(XWl)=0.3答案：ABD 解析：因为 0.1+0.2+0.4+0.2 + a=l,解得a=0.1,故A正确；由分布列知 P(XN2)=0.4+0.2+0.1=0.7,P(X23)=0.2+0.1=0.3,P(XWl)=0.1+0.2 = 0.3,