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1、2020-2021学年度第一学期南开区期末考试试卷高一年级数学学科2021.01一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）.设全集。=0,1,2,3,集合S = 1,2, T = 2,3,则等于（）A. 0B. 3C. 0,3D. 0,2,3【答案】D【解析】【分析】先求出由此再求出即可.【详解】75= 0,3,/.也5）5=。,2,3.故选：D.1 .命题P： Vx2, 230的否定是A. 3x（） 2 , 2%3W0B. Vx0C. Vx2, 2A -3 2, 2v0-30【答案】A【解析】【详解】全称命题：Vx2, 23
2、0的否定是三%2, 2x0-3 0, 4 m -/ 21I L设/z(x) = 2厂一如一1,依题意有彳4解得一IWmWI,/z(-l)0,/z(l)0,所以实数机的取值范围一I加 I.厂(万、I20.已知函数/(x) = sin2ox + j3sinssin -cox (。0),其图象与直线 =的交点的横坐标 k 272为王，x2,且X 一 9的最小值为I 求/(x)最小正周期和对称中心坐标； 2口求的单调递减区间；3求函数/(%)在区间0,y上的取值范围.(kji 7i 1 A【答案】(1)最小正周期为不，对称中心坐标为 - + ， keZ兀57r(2)单调递减区间为k7i + -.k7t
3、 + , keZ 3 o(3)L 2j【解析】【分析】(1)先利用三角函数恒等变换公式化简/(X),再由已知条件可得函数/(九)的最小正周期为乃,(7l 1sin 2x- +-,进而可求出对称中心坐标,I6 J 2icj冗，a 137r可求出函数的减区间,(2)由 2k兀 H W 2xW 2k?i H式7171(3)由 0,得266式7171(3)由 0,得266715/r6,再结正弦函数的性质可求得结果【小问1详解】1 - cos 2cox + sin Icox- -22sinIcox-cosIcox + - = sin 2cox- + -.所以函数/(X)的最小正周期为不可得到 0=1,则
4、 x) = sin 2x-所以/(x)图象的对称中心坐标为【小问2详解】由 2kji + 2x 2k7i +262*不、1 c乃，kji 兀H,由 2x = kji，用 x =+6； 262 12(k兀 7i 0.个 + s ,3，k eZ 212 2)，得左乃+&V x V匕r +包，36因为/(x)图象与直线y = -；的交点的横坐标为士,%2,且上目的最小值为环所以x)的单调递减区间为 瓦+二C7-,k7t + , k eZ2Px【小问3详解】7171因为0,所以L 2j6所一以 0 W sin 2xH W 一,I 6/2 2Ju71 57r1.1,所以 sin 2x。,定义域不相同，所
5、以两函数的图象不相同，所以D错误，故选：c4.已知 且则“,1”是01”的（） aA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义分析判断即可II u【详解】由一1,得0, （1。）0,解得Q1, aa而当Q 1时: 可得一 1 , a所以 1 ”的必要不充分条件， a故选：B5.如果角。的终边经过点,贝ijcos6=()71A.一21A.一2B- -TC. V3【答案】【解析】【分析】【分析】由任意角的三角函数的定义求解【详解】因为角。的终边经过点r_7| 口= _V2，匚匚 z cos所以r2)故选：B11116
6、 .已知 口 = log2 二口。= 18| 片，贝1J( ”23 万 3A. ab cA. ab cB. acbC. cabD. cb a【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：因为。=2 3 （0,1）,。= 1082；0,。= 1081；1,所以人。.选.考点：比较大小.设扇形 周长为6,面积为2,则扇形中心角的弧度数是A. 1B.4C. 71D. 1 或4【答案】D【解析】【详解】解：因为设扇形的周长为6=l+2r,面积为2=l/21r, l=r。，则可知扇形中心角的弧度数是1或4,选D（8,将函数=$也X-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向3）71
7、左平移一个单位,3得到的图象对应的解析式是A. y = sin-x 2B. y = sinC. y = sin【答案】C【解析】X26).c 冗D. y = sin 2xI 67T1【详解】将函数尸sin（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得至IJ尸sin（ x 3277TT717171一）,再向左平移一个单位得到的解析式为丫=5由（一（x+）尸产sin（ x）,故选C33233269.若偶函数Hx）在（一8, 0）上单调递减，则不等式人x）的解集是（）A. (0, 10)z 1 、C. (,+oo)10B. (,10)10D. (0,) U (10, +8)10【答案】
8、D【解析】 【分析】根据函数的奇偶性判断“X)在(0,+)内单调递增，原不等式等价于从而可得结果.【详解】.()为偶函数，./(%)=/(|%|),x)在(F。内单调递减，.)在(0,+)内单调递增,1) lgX)等价于/l 或 Igxv-1 ,解得x10或0x,，故选D.10【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于中档题.将奇偶性与单调性综合考查是，一 直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间 上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等 式求解.io.定义区间(。，(,可，
9、,句的长度均为d=用国表示不超过工的最大整数，例 如2.7 = 2, -0.9 = 1,记=九一区,设力=斗%, g(x) = x1,若用d表示不等式 %)g(%)解集区间的长度，则当)0,3时有()A. d B. d = 2C. d = 3D. d = 4【答案】A【解析】【分析】先化简制=43 =司(% %)=司”国2,再化简4%)g(x),再分类讨论，当 xe0,1)时，当工41,2)时，当xe2,3)时，最后根据讨论的结果求出区间长度即可.【详解】/(%)=斗%=九(%-国)=九.冗-九之,由 /(x) vg(%)得x.x-%一1, gp(x-l)xQ则工为0；当工41,2)时，国=1
10、,不等式为OvO,则兀为0；当x2,3)时，国=2,不等式为x,2在一个周期一兀，兀内,由COSX 2 Y3可得一二 x-,266所以 cos x 2 走的解为 2k 兀-x0, bQ,且 +人=2,则下列不等式：加?h其中成立的是 （写出所有正确命题的序号）.a b【答案】【解析】【分析】对于，利用基本不等式判断，对于，平方后作差比较即可，对于，利用基本不等式判断，对1 1 1（ 1A于，对一+ 丁 =彳（ +。）一+ 7化简后利用基本不等式求解其最小值 a b 2ya b J【详解】对于，因为a0, Z?0,且 +。= 2,所以2 = + 22而，即加?0,所以+历（可,所以 + &母,所
11、以错误，对于,因为/+/22赤 a + b = 2,所以2（4+/）之a2+b2+2 =（a+）2=4,所以a2+b22,当且仅当 =。=1时取等号，所以正确，对于，因为。0, b0,且。+=2,所以1 =,（。+勿，所以-2 + 2当且仅当。= b = l时取等号,所以16.计算：(1) sin25兀26%FCOS 63(o-7(2) 7,og72-(2021)- 3-log3.712不=sin + cos+ tan631 = -12 2(2)原式= 2 1 .233TH,111八 + r = i + b)a b 2正确，故答案为：三,解答题：(本大题共5个小题，共55分.解答应写出文字说明
12、，证明过程或演算步骤)一 4 37=2 - 1=9 43617.已知/(x)为定义在尺上的偶函数，当xW1时，/(x) = x + ，且的图象经过点(2,0),在y = /(x)的图象中有一部分是顶点为(0,2),过点(-11)的一段抛物线.(1)试求出的表达式；(2)求出了。)的值域.x + 2,x V-1,【答案】(1) /(%) = -x2 +2,-1x =公2+2,过点(一1,1),则1 = + 2, = -1, y = -%2 + 2 ,可见当一1九 vl 时，/(x) = -X2 + 2 ；x + 2,x 1,则 f(x) = -x2 +2,-1x 1.2)当 x4一l 时，y =
13、 x + 2e(-oo,l；当Ivxvl 时，(1,2；当 时，y = -x + 2(-co,l；函数的值域为(8, 2.418.在ABC 中，cos A = , tan B = 2.口1 求tan A的值；口2 口求 tan(2A + 2B)的值.3【答案】(1)444(2)117【解析】【分析】(1)利用同角三角函数间的基本关系求出sin A ,进而求出tanA的值；(2)利用两角和的正切公式求出tan(A+B),最后利用正切的二倍角公式求出tan(2A+2B)即可.【小问1详解】由已知cosA = 得，角A为锐角，则sin A = Jl cos? A = Jl 3=* ,5V 25 53
14、口口 , sin A 53即 tan A =.cos A 4 45【小问2详解】+ 2/ 4 tan A + tan B 411tan( A+B) = -=,1 - tan A tan B 321 x z42tan(A + B)x - 744tan(2A+23)= tan2(A+B)=二=匚上幺=.(7 v 7 l-tan2(A + B)1 121117一_r19.已知/(%)是二次函数，不等式/(X)VO的解集是(0不),且%)在区间-1,4上的最大值是12. 1口求/(X)的解析式；2求使方程/(x)=(根10+ 1的根都在区间-1,1内的实数加的取值范围.【答案】(1) f(x) = 2x2-10x(2)【解析】【分析】(1)由题意可设力=初(%5),且0,由/(力在区间1,4上 最大值是12,可得”1) = 6 = 12,求出。的值，从而可求出了(x)的解析式，转化为方程22如1 = 0的根都在区间1内,令M%) = 2d如1,则可得A = m2 + 8 0, m .-1 o,/z(l)0,【小问1详解】因为/(%)是二次函数，且/(%)0,所以%)在区间1,4上的最大值是/(1) = 6。，由已知得6 = 12,所以。=2,所以/(%) = 2%(%5)= 212一10%. 【小问2详解】方程/ (x)(加一 10)工一1 =0等价于2丁 -mx-l = 0.