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1、前言11 .柯西收敛准那么研究现状12 .基本概念53 .数列的柯西收敛准那么及应用61数列的柯西收敛准那么63. 2数列的柯西收敛准那么在解题中的应用74,函数极限的柯西收敛准那么及应用81函数极限的柯西收敛准那么84. 2函数极限的柯西收敛准那么的应用95 .柯西收敛准那么在证明级数收敛中的作用101级数收敛的柯西收敛准那么105. 2级数收敛的柯西收敛准那么的应用103函数列一致收敛的柯西收敛准那么116. 4函数列一致收敛的柯西收敛准那么的应用126 .含参量反常积分的一致收敛的柯西收敛准那么中的应用131含参量反常积分的一致收敛的柯西收敛准那么136. 2含参量反常积分的一致收敛的柯
2、西收敛准那么的应用147 .柯西收敛准那么在在证明相关定理中的应用151柯西收敛准那么在证明牛顿一莱布尼茨公式中的运用157. 2 柯西收敛准那么在一致连续性定理中证明的运用168.柯西收敛准那么的推广二元函数的柯西收敛准那么、敛迫性171预备知识178. 2二元函数的柯西收敛准那么179.总结19致谢错误！未定义书签。参考文献1从而有|力(力一力(x)|由数列柯西收敛准那么数列/区)的极限存在记为A,即吧= A .设另一数列%(=。*0；5)且limy” =x0 ,那么如上所证lim/(y)存在记为 B,现证A=B.设数列z0 : *, y,%，为, X ”易见4 u U。(/)且 Jim
3、z =./(z)也收敛 , lim /(x)= lim /(由归结原那么，lim/(x) = A4.2函数极限的柯西收敛准那么的应用例4-1证明 lim tan (arcsin x) = 0证明：VX,X，(T,1)有|tan(arcsin X ) - tan(arcsin X ) 0350,当时，就有:于是对于上述0,及30,只要X,Xe(0,3),就有:|tan(arcsin X)-tan(arcsin X ) 0例4-2证明limsin,不存在XT X分析：取由 OWsin sin 2 ,可知:% V取工=5,y =!, 有sin-sinL =2。于是，由此即有ln7v + 2nji-x
4、 22证明：取0邑工2,那么对Vbo，取wN使得() X 反() 5limsin不存在XT0 XX = -J, X = 1 /)(0 ._71_ 7t2乃H2n冗22已有sin,一sin，= 2,故由定理知， x )5.柯西收敛准那么在证明级数收敛中的作用柯西收敛准那么是整个分析学的基础，在华东师范大学版数学分析中，放 到实数完备性的基本定理中，它不仅可以用来判定数列和函数的极限存在性，而 且还为后而的级数收敛提供了判别方法。5. 1级数收敛的柯西收敛准那么级数”收敛的充要条件是：任给正数,总存在正数N,使得当相N以及对任意的正数，都有，用 + %”+2 + . . + %+p N时，此一川：
5、,国一故 Sp-A-(Sm- A)| = um+l + um+2 + .u,n+p 5. 2级数收敛的柯西收敛准那么的应用例5.1应用级数收敛的柯西收敛准那么证明收敛 乙2y J 工111证 由于 U . + M 9 + , , , + U=7 +-)y向(,+1)2 (,77 +2)2(?+p)21 1 1 + +(/H + l)(/n + 2)(/n + p-l)(/w + p)1 1 1= .m m + p ni因此对任给的正数,取 =,使当时，对任意的正整数p,由上 式就有|w,+1 +%+2 + %/，8), XG D ,即对任给的0 存在正数N,使得 N时，对一切xe力都有于是当凡
6、mN 由上式就有 |(x)-，(X)闫力(x)-/(x)| + |八x)-力(x)|，： = 充分性假设条件|工(力-，(/)|(1)成立，由数列收敛的柯西收敛准那么, N时，对一切O都有|力(力一/归 ,当(f8,X。)时，力在数集D上一致收敛。推论5-3函数列力在区间。上一致收敛于/的充要条件是:limsup|X(x)-/(x)| = O证明(必要性)假设lim(x) = /(x), xg Z? o那么对任给的正数,存在不依赖于x的正数N,当AN时，有|力(X)-/(刈0,存在正整数N,使得当N时，有sup|Z,(x)-/(x)| (*)xeD因为对一切不。，总有|Z,(x)-/W|sup
7、|ZJ(x)-/(x)|故有(*)式得于是力在。上一致收敛于/4函数列一致收敛的柯西收敛准那么的应用例5. 2定义在0,1上的函数列2/?2x,0 x ,2n。(幻=。(幻=2n-2n2x, x,n = 1,2,3.2n n其中 = 1,2,3的正整数由于 (0) = 0,故 /(0) = lim(0) = 0 当 0 一,“T8X就有 Z,W = 0,故在(),1上有 /(x) = lim/,(%) = 0.于是该函数列在0,1上的极限函数f (x) = 0又由于sup|Z,-/W| xe0.1=fn(3)= f8( T +00) 2n所以函数列在0,1上不一致收敛6.含参量反常积分的一致收
8、敛的柯西收敛准那么中的应用5. 1含参量反常积分的一致收敛的柯西收敛准那么定义6.1 （含参量反常积分）设函数f（x,y）定义在无界区域 /e = （x,y）|xZ?,cyc,使得当MN时，对一切xja,可，都有/。,）处一/（幻即c,使得当时， 对一切jvwa,h,都有2含参量反常积分的一致收敛的柯西收敛准那么的应用例6. 1证明含参量反常积分)， 在B+oo上一致收敛(其中S0),但在(0,+oo)内不一致收敛证明做变量代换=勾，得网叉皿点 (4)Jo y J At u+oo sin Lt其中A0.由于1 2收敛，故对任给正数,总存在正数A/,使当J。 uA M t就有 sin” ,.du
9、 竺时，对一切x250,由(4)式有尸 sin xy , J Ld) c),总相应地存在某个及某个句， 使得f(x, y)dy %由于非正常积分J。詈收敛，故对任何4和M,总存在某个x(0), 使得esind r+ sin uMx u J。 uesind r+ sin uMx u J。 udu ，严sin4 . rsinu 尸sin” ./八Jo -du-L!/包d，由(4)及不等式(5)的左端就有2 % u(田sin封 J.W, p+sinw ._y = M-du18Q-sQ=sQ所以(3)在(0,+oo)内不一致收敛7.柯西收敛准那么在在证明相关定理中的应用7. 1柯西收敛准那么在证明牛顿
10、一莱布尼茨公式中的运用定理7.1假设函数/(x)在上连续，且存在原函数R(x),即F(x) = /(x), AG(1)a,bf那么/在个句上可积，且，f。)”/7-尸(a)证 由定积分定义，任给0,要证第0,当帆b时，有)尸-尸 1=10360,当/，上句且,一刈3时,有于是当0引刀|Kb时,任取i便有区-引3,这就证得巧（加-尸-产（叫=卜（。）-7M i=l/=1 |/（。）- /（%）M 0,对每一点都存在 20,使得当xwU（x;工）时，有|/()-/()|考虑开区间集合“二U X, |xGa,Z? ,显然”是a,句的一个开覆盖，由 有限覆盖定理，存在H的一个有限子集卜= 1,2,水.
11、覆盖了 a,b.记 S = min 0 .对任何 X。Xr W h,xr - Xn V 瓦 X 必属于 “中某个开区间，设即k-三，此时有 、2 J2卜 一引力-M+W-#b吟吟+=e.故,有|0一/（到苔，同时有音和|/a）-/a）i音 由此得|/（4）一/（戈）|,所以/在。,以上一致连续.8.柯西收敛准那么的推广二元函数的柯西收敛准那么、敛迫性1预备知识(1)聚点假定E是平面上的一个点集，尸是该平面上的一个定点，假设P的任意一个领 域都包括E中无数个点，那么称尸是该点集的聚点(2)二元函数极限lim /(x,y)极限存在与连续性(x,y)T(3九)定义 设了为定义在配上的二元函数，4为。
12、的一个聚点，A是一个确定的实数.假设对任给的正数 总存在某正数使得当时, 都有|/(p)-a|,那么称/在。上当pf时，以A为极限，记做lim f(P) = APt%2二元函数的柯西收敛准那么定理8. 2设f(p)为定义在。eR2上的二元函数，4为。的一个聚点。极限lim/(p)存在的充要条件是：对任意的正教,总存在某正数3,使得 常对任何 i，2 eU(Po，b)cD ,都有|/(1)一/(2)|AP&D对任给的正数,总存在某正数使得当 U(o)C。时，有乙于是对任意的点i，2 U(Po)C。，有|/ (Pl ) - /(2)K |/()一 川 + |/(2)- A| 0J30,只要i，P2
13、wU(o，b)c。，便有：|/(P1)-/(P2)|对于上述3,由于P“ f Po(f 8),那么由点列的柯西收敛准那么，存在相应的正数N,当N时，有p”eU(o/)c。结合(1)式知，对任意的，小,N, tf(p)-f(ptn)(),取b = ,当 ,p, w u(Po)c。时，有4|/(Pi)-/(Pj|= (1 4-yj)sinsin-(xo + y2)sinsin 内 ix? y2前言数学分析的基础是实数理论。实数系最重要的特征是实数的连续性，有了实 数的连续性，才能讨论极限，连续，微分和积分。正是在讨论函数的各种极限运 算的合法性的过程中，人们逐渐建立起严密的数学分析理论体系。数学分
14、析 课程是一门面向数学类专业的基础课。学好数学分析是学好其他后继数学课程如 微分几何，微分方程，复变函数，实变函数与泛函分析，计算方法，概率论与数 理统计等课程的必备的基础。作为数学系最重要的基础课之一，数学科学的逻辑性和历史继承性决定了 数学分析在数学科学中举足轻重的地位，数学的许多新思想，新应用都源于 这坚实的基础。数学分析在实数完备性理论体系上的严格化和精确化，确立 了它在整个自然科学中的基础地位，并运用于自然科学的各个领域。同时，数学 研究的主体是经过抽象后的对象，数学的思考方式有鲜明的特色，包括抽象化、 逻辑推理、最优分析、符号运算等。这些知识和能力的培养需要通过系统、扎实 而严格的
15、基础教育来实现，数学分析课程正是其中最重要的一个环节。综合所参 考的文献，也让我们对实数连续性定理的等价性有了更深入的了解。1.柯西收敛准那么研究现状十七世纪，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼茨各自独立发现, 推动了科学技术的前进。然而，贝克莱对牛顿理论的攻击，将无穷小量嘲笑为“消 失的量的灵魂”，却真正抓住了牛顿理论的缺陷。一方面，微积分在应用中大获 成功；一方面其自身却存在着逻辑矛盾。至十九世纪，由十七、十八世纪积累下 来的矛盾到了非解决不可的程度。使分析基础严密化的工作由法国著名数学家柯西迈出了第一大步。他给出了 分析学一系列基本概1念的严格定义。1823年，柯西给出了 “柯西
16、收敛定理”。而 早在1817年，波尔察诺就确切地陈述了有界实数集的最小上界（即上确界）的 定义。利用他的思想，魏尔斯特拉斯在19世纪60年代证明了 “波尔察诺-魏尔 斯特拉斯紧致性定理”。海涅于1872年提出“有限覆盖定理”，波莱尔于1895 年完善并证明了 “有限覆盖定理”。1872年，实数的三大派理论：戴德金“分x + y + x2 + y2伞l + EI + 同 + 冈 N时，满足定理的一些条件即可。如要证数列是否 收敛，就证.-叫,其他定理亦可。参考文献1华东师范大学数学系.数学分析M. 3版.北京：高等教育出版社，2001.2任亲谋.数学分析习题解析M.西安：陕西师范大学出版社，20
17、04.3裴礼文.数学分析中的典型问题与方法M.2版.北京：高等教育出版社， 2006.4陈传璋，金福临，朱学炎.数学分析M. 2版.北京：高等教育出版社，1983.5吉米多维奇.数学分析习题集M.北京：人民教育出版社，1979.6马爱江，单调有界数列必有极限与柯西收敛准那么等价性证明J,新疆教育 学学报，2003, 20 (4)： 95-977徐国进，一类正项级数收敛判断的推广J,孝感学院学报，2010, 30 (3)： 23-278宁效琦，二元函数的柯西收敛准那么、敛迫性及两个重要极限J,湖南科技 学院学报，2007, 28 (4)： 6-99复旦大学数学系，数学分析M.上海：上海科学技术出
18、版社，1962划”理论，康托的“基本序列”理论及魏尔斯特拉斯的“有界单调序列”理论， 同时在德国出现，1892年，巴赫曼提出了建立实数理论的一个重要原理区 间套原理。由此，沿柯西开辟的道路建立起来的严谨的极限理论与实数理论，完 成了分析学的逻辑奠基工作，从而使微积分学这座数学史上空前雄伟的大厦建在 了牢固可靠的基础之上。1999年，在数学分析七大定理的互相证明一文中，作者李寒对实数连续 性的7个基本定理进行了表述，其表述如下：确界定理：在实数系R内，非空的有上（下）界的数集必有上（下）确界存 在。单调有界定理：假设数列单调递增（递减）有上界（下界），那么数列 收敛，即单调有界函数必有极限。区间
19、套定理：假设%,1是一个区间套，那么在实数系中存在唯一的一点4,使 得打L，”， =1,2，即 an 0,存在正整数N,当，机AN时，有一 成立。2000年，在关于实数连续性的注记一文中，作者姜根源、石艳霞提出， 数直线和坐标平面的连续性奠定了极限理论乃至整个微积分学的基础。人们发现 了很多命题去描述这种连续性，而这些命题那么是我们所要讨论的实数连续性的七 个基本定理。这七个基本定理虽然数学形式不同，但是彼此之间都是等价的。在 很多数学分析教材中，由于教学课时的需要和限制，一般都没有对命题的等价性 做出完整的证明，而此文那么对运用循环证明的方法对几个基本定理的等价性做出 了证明，以供初学者参考
20、。2002 年，在Pure sol ut i on mathemat ica I ana lysis exercises一文 中，也同样对实数连续性六个基本定理有详细的定义及描述。而后，作者用 确界定理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、紧致性定理、柯西收敛 定理依次证明除了其本身以外的其他五个实数连续性基本定理。在2003年朱永生、林立军基于实数连续性定理等价性的新探讨一文中 提到：所谓实数是连续的，从集合直观上看，即是直线上的点是连着的，其中没 有“洞二 而有理数就不是连续的，比方平方小于3的有理数的集合，在有理数 集中没有上确界，即有理数是有“洞”的，因为G不属于有理数集。而在实数
21、 域R中，平方小于3的实数的集合，在实数域R中有上确界6,即实数域R没 有“洞”，实数是连续的。综上所述，严格的数学定义可描述为：所谓实数的连 续性，就是实数集关于极限的运算是封闭的。如上例实质就是：lim人 在有理 kt3数集内不存在极限，而在实数集R中存在极限再如单调有界数列(1+ %)” 在有理数集内不存在极限，而在实数集R中那么存在极限e,即实数集关于极限的 运算封闭。实数的连续性是极限理论的基础，而描述实数连续性的方式有很多，实数连 续性定理即为其中的几种表现形式，同时又是构筑极限理论的重要基础。文章采 用一种新的方式，对实数连续性七个定理的等价性加以严格的证明，真正从理论 上挖掘其
22、等价性的内涵，也另辟新径对实数连续性进行了新的探讨。2007年，刘三阳、于力、李广民在数学分析选讲一书第二讲中，首先 简单地为我们介绍了实数系的一些基本性质，然后用不同的方式从各个角度刻画 了实数系非常重要的特性连续性，并详尽地为我们证明实数连续性六个基本 定理是相互等价的。在很多数学分析教材中虽然对实数连续性做了基本的介绍， 但是并不够完善。而在本书中那么更完善地介绍了实数连续性的七个基本定理。2009年，刘名生、冯伟贞、韩彦昌在数学分析(一)一文中，首先在第 一章为详细介绍了确界定理和数列收敛的判别法，从而让我们深入地了解实数与 数列极限，在第六章中又详细介绍了实数集的稠密性与完备性。此书
23、在第一章中 引人确界定理作为公理，并以此为基础证明了单调有界定理、致密性定理、柯西 收敛准那么，从而详细地为我们介绍了实数集的连续性。实数集的连续性使极限理 论有了牢固的基础，是实数集有别于有理数集的重要特征。2009 年，Rea I cont i nu i ty and comp I eteness of some equ i va I ence theorem 。千一文中，作者为我们列举了实数连续性七个基本定理，并对定理进行了循环 互证，从而表达了实数连续性定理的等价性。同样，在2009年实数连续性基 本定理的等价性一文中，吉米提依明以柯西收敛准那么作为公理，由柯西收敛 准那么出发，依次证
24、明确界定理，单调有界定理，闭区间套定理，致密性定理，据 点定理，有限覆盖定理，最后再利用有限覆盖定理证明柯西收敛准那么，完成实数 连续性定理的循环证明，从而推出，实数系连续性的七个基本定理相互等价。2009年，彭培让在致密性定理证明其他实数连续性基本定理一文中， 作者使用“一证多”的方式，用致密性定理同一证明了其他实数连续性的基本定 理。黄永辉在数学分析选讲一书中，同样也对实数连续性做出了介绍，而与 其他介绍数学分析的书不同的是，数学分析选讲中实数连续性局部的内容不 仅仅表达在定理的等价性证明上，作者更为我们总结了几个定理证题的基本方 法，方法如下：1 .用闭区间套定理证题当需要找一个具有某种
25、性质P的特殊数/的时候，可以考虑使用闭区间套定 理将它“套”出来。2 .用有限覆盖定理证题根据所证的问题，构造一个有某种性质P的开区间集S,对S使用有限覆盖 定理，将局部性质P延拓到全区间上。3 .用确定定理、子列定理证题在需要论证一个数的存在，或者需要寻找具有某种性质P的数的时候，可以 考虑使用确界定理。要讨论一个有某种性质P的点的存在性，可以考虑子列定理， 用子列定理证明一个命题，通常要根据需要去构造一个具有某种性质P”的点列 xj,这个点列%不要求其收敛，但是要有界。4 .用聚点定理证题当需要找一个具有某种性质P的特殊数方的时候，可以考虑使用聚点原那么。一般的做法是，构造一个有性质P*的
26、无限有界点集E,由聚点原那么，E有聚点 存在，再证明这个据点具有性质P。除了以上所述基本方法，数学分析选讲还为我们列举了定理证题的许多 经典例题，以便我们更深入学习实数连续性定理的等价性证明。而在The Way of Analysis一文中，作者那么为我们介绍了实数系一些其 他的研究版本与方法，其中详细为我们介绍无限小数展开形式和戴德金分割，这 为我们学习实数系介绍了更多更为详尽的数学方法。5 .基本概念柯西收敛准那么是数学分析的理论基础，贯穿于整个数学分析教学的内容之中 作为基础，它是实数完各性六大定理之一；作为分析法，它是极限理论的基础， 由它可推出诸多敛散性判断定理在具体的敛散性证明题日
27、中也具有其它定理小 能取代的作用因此，学好柯西收敛准那么是学好极限理论，进而是学好数学分析的 关键。定义2.1 设4为数列，4为定数.假设对任给的正数，总存在正数N, 使得当N时有I%-40 存在N（）,使得当N时有血uU（J.因此在U（J,）内含有q中除有限项外的所有项，这就证的叫为=& （证 毕）数列的柯西收敛准那么是数列收敛的等价命题，它也是判断数列敛散性的重要 依据.数列的柯西收敛准那么两种常用形式是【叽Vf 0, mMwN,对有一天卜，或者对V几 N有k+p -刃0, WN=5 +1,那么有sin(n +1)sin(n +1)sin( +2)+T，由柯西收敛准那么知4收敛.例 3.2 证明凡=l + r + r +.+22 32(/?-1)/?证 对Ve(),取N= 2 ,那么对v之相n，有(z + l)2 (/n + 2)2 n2 +(m + 1)(加+ 2)99而由m 知工 ,故 - q/(), 存在正数3(0,存在正数b(),使得对 VxgU(x0)有|/(x)-/l| 于是对任何X,/ G w(x0;J )有(充分性) 设数列x 0,存在 正数 5( 6),使得对任何 x ,F (与；3 )有 |/(x)- f(x) | x0(/ioo),对上述30HN(),使得当 ，/nN时有/,/U。(%;b),