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1、 Born to win1989年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1) 已知,则 _.(2) 设是连续函数,且,则_.(3) 设平面曲线为下半圆周则曲线积分_.(4) 向量场在点处的散度_.(5) 设矩阵, ,则逆矩阵=_.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1) 当时,曲线 ( )(A) 有且仅有水平渐近线(B) 有且仅有铅直渐近线(C) 既有水平渐近线,也有铅直渐近线(D) 既无水平渐近线,也无铅直渐近线(2) 已知曲面上点处的切平面平行于平面,则点的坐标是 ( )(A) (1,-1,2) (B) (-1,1,
2、2)(C) (1,1,2) (D) (-1,-1,2)(3) 设线性无关的函数、都是二阶非齐次线性方程的解,、是任意常数,则该非齐次方程的通解是 ( )(A) (B) (C) (D) (4) 设函数而其中,则等于 ( )(A) (B) (C) (D) (5) 设是阶矩阵,且的行列式,则中 ( )(A) 必有一列元素全为0(B) 必有两列元素对应成比例(C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合(D) 任一列向量是其余列向量的线性组合三、(本题满分15分,每小题5分.)(1) 设,其中函数二阶可导,具有连续的二阶偏导数,求.(2) 设曲线积分与路径无关,其中具有连续的导数,且,计算的值.(3) 计
3、算三重积分,其中是由曲面与所围成的区域.四、(本题满分6分.)将函数展为的幂级数.五、(本题满分7分.)设,其中为连续函数,求.六、(本题满分7分.)证明方程在区间(0,)内有且仅有两个不同实根.七、(本题满分6分.)问为何值时,线性方程组有解,并求出解的一般形式.八、(本题满分8分.)假设为阶可逆矩阵的一个特征值,证明：(1) 为的特征值；(2) 为的伴随矩阵的特征值.九、(本题满分9分.)设半径为的球面的球心在定球面上,问当为何值时,球面在定球面内部的那部分的面积最大？十、填空题(本题满分6分,每小题2分.)(1) 已知随机事件的概率=0.5,随机事件的概率=0.6及条件概率=0.8,则和
4、事件的概率=_.(2) 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5.现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为_.(3) 若随机变量在(1,6)上服从均匀分布,则方程有实根的概率是_.十一、(本题满分6分.)设随机变量与独立,且服从均值为1、标准差(均方差)为的正态分布,而服从标准正态分布.试求随机变量的概率密度函数.1989年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】【解析】原式=.(2)【答案】【解析】由定积分的性质可知,和变量没有关系,且是连续函数,故为一常数,为简化计算和防止混淆,令,则有恒等式,两边0
5、到1积分得,即 ,解之得 ,因此.(3)【答案】【解析】方法一：的方程又可写成,被积分函数在上取值,于是原积分=(半径为1的的半圆周长).方法二：写出的参数方程,则 .(4)【答案】【解析】直接用散度公式.(5)【答案】【解析】由于,为求矩阵的逆可有多种办法,可用伴随,可用初等行变换,也可用分块求逆.方法一：如果对作初等行变换,则由可以直接得出.本题中,第一行乘以加到第二行上;再第二行乘以,有,从而知 .方法二：对于2阶矩阵的伴随矩阵有规律：,则求的伴随矩阵.如果,这样.再利用分块矩阵求逆的法则：,本题亦可很容易求出.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(A)【
6、解析】函数只有间断点. ,其中是有界函数,而当时,为无穷小,而无穷小量和一个有界函数的乘积仍然是无穷小,所以 ,故函数没有铅直渐近线. ,所以为函数的水平渐近线,所以答案为(A).【相关知识点】铅直渐近线：如函数在其间断点处有,则是函数的一条铅直渐近线；水平渐近线：当,则为函数的水平渐近线.(2)【答案】(C)【解析】题设为求曲面(其中)上点使在该点处的法向量与平面的法向量平行.在处的法向量,若则为常数,即.即.又点,所以,故求得.因此应选(C).(3)【答案】(D)【解析】由二阶常系数非齐次微分方程解的结构定理可知,为方程对应齐次方程的特解,所以方程的通解为,即,故应选D.(4)【答案】(B
7、) 【解析】是函数先作奇延拓后再作周期为2的周期延拓后的函数的傅式级数的和函数,由于是奇函数,于是.当时,连续,由傅式级数的收敛性定理,.因此,.应选(B).(5)【答案】(C)【解析】本题考查的充分必要条件,而选项(A) 、(B)、(D)都是充分条件,并不必要.因为对矩阵来说,行和列具有等价性,所以单说列或者单说行满足什么条件就构成了的必要条件,但是不具有任意性,只需要存在一列向量是其余列向量的线性组合.以3阶矩阵为例,若 ,条件(A)必有一列元素全为0,(B)必有两列元素对应成比例均不成立,但有,所以(A)、(B)不满足题意,不可选.若,则,但第三列并不是其余两列的线性组合,可见(D)不正
8、确.这样用排除法可知应选(C).三、(本题满分15分,每小题5分.)(1)【解析】由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,可以先求,也可以先求.方法一：先求,由复合函数求导法,再对求偏导,得 .方法二：先求,再对求偏导数,得.【相关知识点】复合函数求导法则：若和在点处偏导数存在,函数在对应点具有连续偏导数,则复合函数在点处的偏导数存在,且.(2)【解析】方法一：先求出,再求曲线积分.设有连续偏导数,在所给的单连通区域上,与路径无关,则在上有,所以即.由=0,得,即,因此.或取特殊路径如图：.方法二：不必求出,选取特殊的路径,取积分路径如图,则.(3)【解析】利用三重积分的性质,关于平面对称,
9、对为奇函数,所以,即.是由球心在原点半径为1的上半球面与顶点在原点、对称轴为轴、半顶角为的锥面所围成.故可选用球坐标变换,则,所以 .四、(本题满分6分.)【解析】直接展开相对比较麻烦,可容易展开,.由,令得 即 所以 , 当时,式均收敛,而左端在处无定义.因此 .五、(本题满分7分.)【解析】先将原式进行等价变换,再求导,试着发现其中的规律, ,所给方程是含有未知函数及其积分的方程,两边求导,得,再求导,得,即 .这是个简单的二阶常系数非齐次线性微分方程,对应的齐次方程的特征方程为,此特征方程的根为,而右边的可看作,为特征根,因此非齐次方程有特解.代入方程并比较系数,得,故,所以,又因为,所
10、以,即.六、(本题满分7分.)【解析】方法一：判定方程等价于判定函数与的交点个数.令 ,其中是定积分,为常数,且被积函数在非负,故,为简化计算,令,即,则其导数,令解得唯一驻点,即 ,所以是最大点,最大值为.又因为,由连续函数的介值定理知在与各有且仅有一个零点(不相同),故方程在有且仅有两个不同实根.方法二： ,因为当时,所以,其它同方法一.七、(本题满分6分.)【解析】对方程组的增广矩阵作初等行变换.第一行分别乘以有、加到第二行和第三行上,再第二行乘以加到第三行上, 有.由于方程组有解的充要条件是,故仅当,即时,方程组有解.此时秩,符合定理的第二种情况,故方程组有无穷多解. 由同解方程组 令
11、解得原方程组的通解 (其中为任意常数).【相关知识点】1.非齐次线性方程组有解的判定定理：设是矩阵,线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,即是(或者说,可由的列向量线表出,亦等同于与是等价向量组)设是矩阵,线性方程组,则（1） 有唯一解 （2） 有无穷多解 （3） 无解 不能由的列向量线表出.八、(本题满分8分.)【解析】(1)由为的特征值可知,存在非零向量使,两端左乘,得.因为,故,于是有.按特征值定义知是的特征值.(2)由于逆矩阵的定义,据第(1)问有 ,按特征值定义,即 为伴随矩阵的特征值.【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设是阶矩阵,若存在数及非零的维列向
12、量使得成立,则称是矩阵的特征值,称非零向量是矩阵的特征向量.九、(本题满分9分.)【解析】由球的对称性,不妨设球面的球心是,于是的方程是.先求与球面的交线：.代入上式得的方程 .它在平面上的投影曲线相应的在平面上围成区域设为,则球面在定球面内部的那部分面积.将的方程两边分别对求偏导得,所以 .利用极坐标变换有 代入,化简得.这是一个关于的函数,求在的最大值点,两边对求导,并令,得,得.且 ,故时取极大值,也是最大值.因此,当时球面在定球面内部的那部分面积最大.十、填空题(本题满分6分,每小题2分.)(1)【解析】方法一：.方法二：.(2)【解析】设事件=“甲射中”,=“乙射中”,依题意,与相互独立,.因此,有 . .(3)【解析】设事件=“方程有实根”,而方程有实根的充要条件是其判别式,即.随机变量在(1,6)上服从均匀分布,所以其分布函数为由分布函数的定义, 而所以由概率的可加性,有.【相关知识点】广义加法公式：.条件概率：,所以.十一、(本题满分6分.)【解析】,由独立的正态变量与的线性组合仍服从正态分布,且,得 .代入正态分布的概率密度公式,有的概率密度函数为 .【相关知识点】对于随机变量与均服从正态分布,则与的线性组合亦服从正态分布.若与相互独立,由数学期望和方差的性质,有,其中为常数.