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1、台州中学2013学年第一学期期中试题高三 数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、 已知全集是，集合和满足，则下列结论中不成立的是（）AB C. D2、设则“”是“复数为纯虚数”的（）A充分必要条件 B必要不充分条件C.充分不必要条件 D既不充分也不必要条件3、 已知数列是1为首项、2为公差的等差数列，bn是1为首项、2为公比的等比数列设，Tn=c1+c2+cn（nN*），则当Tn2013时，n的最小值是（）A7B9C10D114、将函数 的图像向左平移个单位，得到函数的图像，则函 数的一个单调递增区间是 ( )
2、A B C D5、已知函数在单调递减，则的取值范围( ) A. B. C. D. 6、已知函数f（x）是定义在R上的增函数，则函数yf（x1）1的图象可能是 ( ) 7、若是两个非零向量，且，则与的夹角的取值范围是( ) A B. C. D. 8、设a、b是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列四个命题 若若 其中正确的命题的个数是（ ） A0个B1个 C2个D3个9、公差不为0的等差数列的前21项的和等于前8项的和若，则k( ) A20 B21 C22 D23(第12题)输出S是否结束开始S=0i 100i =1i =2i+1S=S+210、记函数的零点为，函数的零点为，函数的零点为，则
3、三个函数的零点大小关系为（ ）AabcBcba CcabDbac二、 填空题：本大题共7小题, 每小题4分, 共28分。11 、已知数列的前n项和=_.12、某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的值是 .13、若实数x,y满足不等式组(其中k为常 数),且z=x+3y的最大值为12,则k的值等于 .主视图俯视图(第16题)14、设，且， ，则等于_.15、若，则满足不等式的的取值范围为 . 16、把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成三棱锥CABD，它的主视图与俯视图如右图所示，则二面角 CABD的正切值为 .17、如右图，在直角梯形ABCD中，AB/DC,ADAB ,AD=DC=
4、2,AB=3,点是梯形内或边界上的一个动点，点N是DC边的中点，则的最大值是_. (第17题图)三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18、（本小题满分14分）在中,三个内角所对边的长分别为,已知.(1)判断的形状;(2)设向量,若,求.19、（本小题满分14分）已知数列的前项和为Sn，且S4=4，当n2时，满足（1）求证：为等差数列；（2）求的值。20（本小题满分14分）如图，在点上，过点做/将的位置（），使得.AaaaaaBCEFPBEFC(1)求证：. （2）试问：当点上移动时，二面角的平面角的余弦值是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由21
5、、（本小题满分15分）已知焦点在轴上的椭圆C1：=1经过A(1，0)点，且离心率为(1)求椭圆C1的方程； (2)过抛物线C2：(hR)上P点的切线与椭圆C1交于两点M、N，记线段MN与PA的中点分别为G、H，当GH与轴平行时，求h的最小值22、（本小题满分15分）已知函数.（1）若在上的最大值为，求实数的值；（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；（3）在（1）的条件下，设，对任意给定的正实数，曲线 上是否存在两点、，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？请说明理由。2013学年第一学期高三数学期中考试试题(理科)答案一、选择题： DACBD BABC
6、B二、 填空题：11 、 12、12 13、 14、 15、 16、 17、6 三、解答题： 18、在中,三个内角所对边的长分别为,已知.(1)判断的形状;(2)设向量,若,求.解：(1)在中 ,4分 为等腰三角形 7分(2)由,得 11分,又为等腰三角形 . 14分19、已知数列的前项和为Sn，且S4=4，当n2时，满足（1）求证：为等差数列；（2）求的值。解：(1) 故有：7分（2）原式= 14分20如图，在点上，过点做/将的位置（），使得.AaaaaaBCEFPBEFC(1)求证： （2）试问：当点上移动时，二面角的平面角的余弦值是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由解：（1）在中
7、，又平面PEB.又平面PEB, 5分（2）解法一：过P作PQBE于点Q，垂足为Q；过Q作QHFC，垂足为H。则 即为所求二面角的平面角。8分 设PE=x，则EQ=，PQ=，10分QH=，12分故，13分，即二面角P-FC-B的平面角的余弦值为定值14分解法二：在平面PEB内，经P点作PDBE于D，由（1）知EF面PEB,EFPD.PD面BCEF.在面PEB内过点B作直线BH/PD,则BH面BCFE.以B点为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系. 6分设PE=x（0x4）又 在中，8分从而 设是平面PCF的一个法向量，由得取得是平面PFC的一个法向量. 11分又平面B
8、CF的一个法向量为12分设二面角的平面角为，则 因此当点E在线段AB上移动时，二面角的平面角的余弦值为定值 http:/wx.jtyjy.14分21、已知焦点在轴上的椭圆C1：=1经过A(1，0)点，且离心率为 (I)求椭圆C1的方程； ()过抛物线C2：(hR)上P点的切线与椭圆C1交于两点M、N，记线段MN与PA的中点分别为G、H，当GH与轴平行时，求h的最小值解：（）由题意可得，3分解得，所以椭圆的方程为 .5分（）设，由 ，抛物线在点处的切线的斜率为 , 所以的方程为 ,7分代入椭圆方程得 ,化简得 又与椭圆有两个交点，故 设，中点横坐标为，则, 10分设线段的中点横坐标为,由已知得即
9、 ， 12分显然, 当时，当且仅当时取得等号，此时不符合式，故舍去；当时，当且仅当时取得等号，此时，满足式。综上，的最小值为1.15分22、已知函数.（1）若在上的最大值为，求实数的值；（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；（3）在（1）的条件下，设，对任意给定的正实数，曲线 上是否存在两点、，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？请说明理由。解：（1）由，得，令，得或列表如下：000极小值极大值，即最大值为，4分（2）由，得，且等号不能同时取，恒成立，即 令，求导得，当时，从而，在上为增函数，8分（3）由条件，假设曲线上存在两点满足题意，则只能在轴两侧，不妨设，则，且是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形， ，10分是否存在等价于方程在且时是否有解 若时，方程为，化简得，此方程无解； 12分若时，方程为，即，设，则，显然，当时，即在上为增函数，的值域为，即，当时，方程总有解对任意给定的正实数，曲线 上总存在两点，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上15分