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1、2014年普通高等学校招生全国统一考试文科数学山东卷第卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(1) 已知是虚数单位. 若，则(A) (B) (C) (D) (2) 设集合，则 (A) (B) (C) (D) (3) 函数的定义域为(A) (B) (C) (D) (4) 用反证法证明命题：“设为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是(A) 方程没有实根(B) 方程至多有一个实根(C) 方程至多有两个实根(D) 方程恰好有两个实根(5) 已知实数满足，则下列关系式恒成立的是(A) (B) (C) (D) (6)
2、 已知函数的图象如右图，则下列结论成立的是(A) (B) (C) (D) (7) 已知向量. 若向量的夹角为，则实数 (A) (B) (C) 0(D) (8) 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为(A) 6(B) 8(C) 12(D) 18(9) 对于函数，若存在常数，使得取定义域内的每一个值，都有，则称为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是(A) (B)
3、(C) (D) (10) 已知满足约束条件当目标函数在该约束条件下取到最小值时，的最小值为(A)5(B) 4(C) (D) 2第II卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.开始输入x是结束否输入x(11) 执行右面的程序框图，若输入的的值为1，则输出的的值为.(12) 函数的最小正周期为 .(13) 一个六棱锥的体积为，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为。(14) 圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，圆截轴所得弦的长为，则圆的标准方程为。(15) 已知双曲线的焦距为，右顶点为A，抛物线的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为，且，则双曲
4、线的渐近线方程为。三、解答题：本大题共6小题，共75分.(16)（本小题满分12分）海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如右表所示. 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区ABC数量50150100（）求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；（II）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.(17) （本小题满分12分）中，角A，B，C所对的边分别为. 已知.（）求的值；（II）求的面积.(18)（本小题满分12分）AFCDBPE如图，四棱锥中，分别为线段
5、的中点. （）求证：；（II）求证：.(19) （本小题满分12分）在等差数列中，已知公差，是与的等比中项.（）求数列的通项公式；（II）设，记，求.(20) （本小题满分13分）设函数 ，其中为常数.（）若，求曲线在点处的切线方程；（II）讨论函数的单调性.(21)（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线被椭圆截得的线段长为.（）求椭圆的方程；（II）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）. 点D在椭圆C上，且，直线BD与轴、轴分别交于M，N两点.（i）设直线BD，AM的斜率分别为，证明存在常数使得，并求出的值；（ii）求面积的最大值.2014年高考
6、山东卷文科数学真题及参考答案一选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。（1）已知是虚数单位，若，则（A）（B）（C） （D）【解析】由得，故答案选A（2）设集合则（A）(0,2（B） (1,2)（C） 1,2)（D）(1,4) 【解析】，数轴上表示出来得到1,2) 故答案为C（3）函数的定义域为（A）（B）（C）（D）【解析】故。选D（4）用反证法证明命题“设则方程至少有一个实根”时要做的假设是（A）方程没有实根 （B）方程至多有一个实根（C）方程至多有两个实根 （D）方程恰好有两个实根【解析】答案选A，解析略。（5）已知实数满足，则下
7、列关系式恒成龙的是（A）（B） （C）（D）【解析】由得，但是不可以确定与的大小关系，故C、D排除，而本身是一个周期函数，故B也不对，正确。（6）已知函数的图像如右图，则下列结论成立的是（A）（B）（C）（D）【解析】由图象单调递减的性质可得，向左平移小于1个单位，故答案选C（7）已知向量.若向量的夹角为，则实数=（A）（B）（C）（D）【解析】： 答案：B（8）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床实验。所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为12,13）, 13,14）,14,15）,15,16.将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，第五组。右图是根据试验数据制成
8、的频率分布直方图。已知第一组和第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（A）（B）（C）（D）【解析】：第一组与第二组频率之和为0.24+0.16=0.4答案：C（9）对于函数，若存在常数，使得取定义域内的每一个值，都有，则称为准偶函数。下列函数中是准偶函数的是（A）（B）（C）（D）【解析】：由分析可知准偶函数即偶函数左右平移得到的。答案：D（10）已知满足的约束条件当目标函数在该约束条件下取得最小值时，的最小值为（A）（B）（C）（D）【解析】：求得交点为，则，即圆心到直线的距离的平方。答案： B二填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，答案须填在题中横线
9、上。11 执行右面的程序框图，若输入的的值为1，则输出的的值为。【解析】：根据判断条件，得，输入第一次判断后循环，第二次判断后循环，第三次判断后循环，第四次判断不满足条件，退出循环，输出答案：312 函数的最小正周期为。【解析】： .答案：13 一个六棱锥的体积为，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为。【解析】：设六棱锥的高为，斜高为，则由体积得：， 侧面积为.答案：1214 圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，圆截轴所得的弦的长，则圆的标准方程为。 【解析】 设圆心，半径为. 由勾股定理得： 圆心为，半径为2， 圆的标准方程为答案：15 已知双曲线的焦距为，右顶点为，
10、抛物线的焦点为，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为，且，则双曲线的渐近线方程为。【解析】 由题意知， 抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为， 即代入双曲线方程为，得，渐近线方程为，.答案：1三解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（16）（本小题满分12分） 海关对同时从三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如右表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测。地区数量50150100（）求这6件样品中来自各地区样品的数量；（）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地
11、区的概率。（16） 【解析】：（）因为工作人员是按分层抽样抽取商品，所以各地区抽取商品比例为： 所以各地区抽取商品数为：，；（）设各地区商品分别为： 基本时间空间为：，共15个.样本时间空间为：所以这两件商品来自同一地区的概率为：.（17）（本小题满分12分） 在中，角所对的边分别是。已知（）求的值；（）求的面积。（17） 【解析】：（）由题意知：， ， 由正弦定理得：（）由余弦定理得： 又因为为钝角，所以，即， 所以（18）（本小题满分12分） 如图，四棱锥中，,分别为线段的中点。（）求证：（）求证：【解析】：（）连接AC交BE于点O，连接OF，不妨设AB=BC=1,则AD=2四边形ABCE
12、为菱形又（）,（19）（本小题满分12分） 在等差数列中，已知，是与等比中项. （）求数列的通项公式； （）设记，求.【解析】： （）由题意知：为等差数列，设，为与的等比中项且，即， 解得： （）由 （）知：，当n为偶数时： 当n为奇数时： 综上：（20） （本小题满分13分） 设函数，其中为常数.（）若，求曲线在点处的切线方程；（）讨论函数的单调性.【解析】(1)(2) （21） （本小题满分14分） 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线被椭圆截得的线段长为.（）求椭圆的方程；（）过原点的直线与椭圆交于两点（不是椭圆的顶点），点在椭圆上，且，直线与轴、轴分别交于两点.（i）设直线的斜率分别为.证明存在常数使得，并求出的值；（ii）求面积的最大值.【解析】(1)设直线与椭圆交于两点。不妨设点为直线和椭圆在第一象限的交点。