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1、2023年人教版初中数学弧长和扇形面积（教学案例一）教学内容 1n的圆心角所对的弧长L= 2扇形的概念； 3圆心角为n的扇形面积是S扇形=； 4应用以上内容解决一些具体题目 教学目标 了解扇形的概念，理解n的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用 通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n的圆心角所对的弧长L=和扇形面积S扇=的计算公式，并应用这些公式解决一些题目 重难点、关键 1重点：n的圆心角所对的弧长L=，扇形面积S扇=及其它们的应用 2难点：两个公式的应用 3关键：由圆的周长和面积迁移到弧长和扇形面积公式的过程 教具、学具准备 小黑板、圆规、直尺、量角器、纸板 教学过程
2、一、复习引入 （老师口问，学生口答）请同学们回答下列问题 1圆的周长公式是什么？ 2圆的面积公式是什么？ 3什么叫弧长？ 老师点评：（1）圆的周长C=2R （2）圆的面积S图=R2 （3）弧长就是圆的一部分 二、探索新知 （小黑板）请同学们独立完成下题：设圆的半径为R，则： 1圆的周长可以看作_度的圆心角所对的弧 21的圆心角所对的弧长是_ 32的圆心角所对的弧长是_ 44的圆心角所对的弧长是_ 5n的圆心角所对的弧长是_ （老师点评）根据同学们的解题过程，我们可得到： n的圆心角所对的弧长为例1制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算如图所示的管道的展直长度，即的长（结果
3、精确到0.1mm） 分析：要求的弧长，圆心角知，半径知，只要代入弧长公式即可 解：R=40mm，n=110 的长=76.8（mm） 因此，管道的展直长度约为76.8mm问题:（学生分组讨论）在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长5m的绳子，绳子的另一端拴着一头牛，如图所示: （1）这头牛吃草的最大活动区域有多大？ （2）如果这头牛只能绕柱子转过n角，那么它的最大活动区域有多大？ 学生提问后，老师点评：（1）这头牛吃草的最大活动区域是一个以A（柱子）为圆心，5m为半径的圆的面积（2）如果这头牛只能绕柱子转过n角，那么它的最大活动区域应该是n圆心角的两个半径的n圆心角所对的弧所围成的圆的一
4、部分的图形，如图: 像这样，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形 （小黑板），请同学们结合圆心面积S=R2的公式，独立完成下题： 1该图的面积可以看作是_度的圆心角所对的扇形的面积 2设圆的半径为R，1的圆心角所对的扇形面积S扇形=_ 3设圆的半径为R，2的圆心角所对的扇形面积S扇形=_ 4设圆的半径为R，5的圆心角所对的扇形面积S扇形=_ 5设圆半径为R，n的圆心角所对的扇形面积S扇形=_ 老师检察学生练习情况并点评 1360 2S扇形=R2 3S扇形=R2 4S扇形= 5S扇形= 因此：在半径为R的圆中，圆心角n的扇形S扇形=例2如图，已知扇形AOB的半径为10，AO
5、B=60，求的长（结果精确到01）和扇形AOB的面积结果精确到01） 分析：要求弧长和扇形面积，只要有圆心角，半径的已知量便可求，本题已满足 解：的长=10=10.5 S扇形=102=52.3 因此，的长为25.1cm，扇形AOB的面积为150.7cm2 三、巩固练习 课本P122练习 四、应用拓展例3（1）操作与证明：如图所示，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O处，并将纸板绕O点旋转，求证：正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a（2）尝试与思考：如图a、b所示，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心角放在边长为a的正三角形或边长为a的
6、正五边形的中心点处，并将纸板绕O旋转，当扇形纸板的圆心角为_时，正三角形边被纸覆盖部分的总长度为定值a；当扇形纸板的圆心角为_时，正五边形的边长被纸板覆盖部分的总长度也为定值a (a) (b) （3）探究与引申：一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n边形的中心O点处，若将纸板绕O点旋转，当扇形纸板的圆心角为_时，正n边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a，这时正n边形被纸板所覆盖部分的面积是否也为定值？若为定值，写出它与正n边形面积S之间的关系（不需证明）；若不是定值，请说明理由解：（1）如图所示，不妨设扇形纸板的两边与正方形的边AB、AD分别交于点M、N，连结OA、OD
7、四边形ABCD是正方形 OA=OD，AOD=90，MAO=NDO， 又MON=90，AOM=DON AMODNO AM=DN AM+AN=DN+AN=AD=a 特别地，当点M与点A（点B）重合时，点N必与点D（点A）重合，此时AM+AN仍为定值a 故总有正方形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a （2）120；70 （3）；正n边形被纸板覆盖部分的面积是定值，这个定值是 五、归纳小结（学生小结，老师点评） 本节课应掌握： 1n的圆心角所对的弧长L= 2扇形的概念 3圆心角为n的扇形面积是S扇形= 4运用以上内容，解决具体问题 六、布置作业 1教材P124 复习巩固1、2、3 P125 综合运用5
8、、6、72选用课时作业设计第一课时作业设计一、 选择题1已知扇形的圆心角为120，半径为6，则扇形的弧长是（ ） A3 B4 C5 D6 2如图1所示，把边长为2的正方形ABCD的一边放在定直线L上，按顺时针方向绕点D旋转到如图的位置，则点B运动到点B所经过的路线长度为（ ）A1 B C D (1) (2) (3) 3如图2所示，实数部分是半径为9m的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为（ ）A12m B18m C20m D24m 二、填空题 1如果一条弧长等于R，它的半径是R，那么这条弧所对的圆心角度数为_， 当圆心角增加30时，这条弧长增加_2如图3
9、所示，OA=30B，则的长是的长的_倍 三、综合提高题1已知如图所示，所在圆的半径为R，的长为R，O和OA、OB分别相切于点C、E，且与O内切于点D，求O的周长2如图，若O的周长为20cm，A、B的周长都是4cm，A在O内沿O滚动，B在O外沿O滚动，B转动6周回到原来的位置，而A只需转动4周即可，你能说出其中的道理吗？ 3如图所示，在计算机白色屏幕上，有一矩形着色画刷ABCD，AB=1，AD=，将画刷以B为中心，按顺时针转动ABCD位置（A点转在对角线BD上），求屏幕被着色的面积答案:一、1B 2D 3D二、145 R 23三、1连结OD、OC，则O在OD上由=R，解得：AOB=60，由RtOOC解得O的半径r=R，所以O的周长为2r=R2O、A、B的周长分别为20cm，4cm，4cm，可求出它的半径分别为10cm、2cm、2cm，所以OA=8cm，OB=12cm，因为圆滚动的距离实际等于其圆心经过的距离，所以A滚动回原位置经过距离为28=16=44，而B滚动回原位置经过距离为212=24=46因此，与原题意相符3设屏幕被着色面积为S，则S=SABD+S扇形BDD+SBCD=S矩形ABCD+S扇形BDD，连结BD，在RtABD中，AB=1，AD=AD=，BD=BD=2，DBD=60，S=22+1=+11