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1、2023年人教版初中数学21.2.4 公式法教案一教学内容 1一元二次方程求根公式的推导过程； 2公式法的概念； 3利用公式法解一元二次方程教学目标知识与技能理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程过程与方法复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a0）的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程重难点 1重点：求根公式的推导和公式法的应用 2难点：一元二次方程求根公式法的推导教学过程一、复习引入（学生活动）用配方法解下列方程（1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52（老师点评）（1）移项，得：6x2-7x
2、=-1二次项系数化为1，得：x2-x=-配方，得：x2-x+（）2=-+（）2（x-）2=x-=x1=+=1 x2=-+=（2）略总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）（1）移项；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；（4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解二、探索新知如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题问题：已知ax2+bx+c=0（a0）且b2-4ac0，试推导它的两
3、个根x1=，x2=分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去解：移项，得：ax2+bx=-c二次项系数化为1，得x2+x=-配方，得：x2+x+（）2=-+（）2即（x+）2=b2-4ac0且4a200直接开平方，得：x+=即x=x1=，x2=由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b-4ac0时，将a、b、c代入式子x=就得到方程的根（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式（3）利用求根公式解一元二次方程
4、的方法叫公式法（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根例1用公式法解下列方程（1）2x2-4x-1=0 （2）5x+2=3x2（3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x2-3x+1=0分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可解：（1）a=2，b=-4，c=-1 b2-4ac=（-4）2-42（-1）=240 x=x1=，x2=（2）将方程化为一般形式 3x2-5x-2=0 a=3，b=-5，c=-2b2-4ac=（-5）2-43（-2）=490 x=x1=2，x2=-（3）将方程化为一般形式 3x2-11x+9=0 a=3，b=-11，c=9b2-4a
5、c=（-11）2-439=130x=x1=，x2=（3）a=4，b=-3，c=1 b2-4ac=（-3）2-441=-70因为在实数范围内，负数不能开平方，所以方程无实数根三、巩固练习教材P12练习1（1）、（3）、（5）四、应用拓展例2某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m-2）x-1=0提出了下列问题（1）若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程（2）若使方程为一元二次方程m是否存在？若存在，请求出你能解决这个问题吗？分析：能（1）要使它为一元二次方程，必须满足m2+1=2，同时还要满足（m+1）0（2）要使它为一元一次方程，必须满足:或或解：（1）存在根据题意，
6、得：m2+1=2 m2=1 m=1当m=1时，m+1=1+1=20当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去）当m=1时，方程为2x2-1-x=0 a=2，b=-1，c=-1b2-4ac=（-1）2-42（-1）=1+8=9 x= x1=，x2=-因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x1=1，x2=-（2）存在根据题意，得：m2+1=1，m2=0，m=0因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-10所以m=0满足题意 当m2+1=0，m不存在当m+1=0，即m=-1时，m-2=-30所以m=-1也满足题意当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0，解得：x=-1当m=-
7、1时，一元一次方程是-3x-1=0解得x=-因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-1时，其一元一次方程的根为x=-五、归纳小结本节课应掌握：（1）求根公式的概念及其推导过程；（2）公式法的概念；（3）应用公式法解一元二次方程；（4）初步了解一元二次方程根的情况六、布置作业 1教材P17复习巩固5 2选用作业设计:一、选择题 1用公式法解方程4x2-12x=3，得到（）Ax= Bx=Cx= Dx= 2方程x2+4x+6=0的根是（）Ax1=，x2= Bx1=6，x2=Cx1=2，x2= Dx1=x2=- 3（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，
8、则m2-n2的值是（） A4 B-2 C4或-2 D-4或2二、填空题 1一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的求根公式是_，条件是_ 2当x=_时，代数式x2-8x+12的值是-4 3若关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根为0，则m的值是_三、综合提高题 1用公式法解关于x的方程：x2-2ax-b2+a2=02设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两根，（1）试推导x1+x2=-，x1x2=；（2）求代数式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值 3某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A千瓦时，那么这户居
9、民这个月只交10元电费，如果超过A千瓦时，那么这个月除了交10元用电费外超过部分还要按每千瓦时元收费（1）若某户2月份用电90千瓦时，超过规定A千瓦时，则超过部分电费为多少元？（用A表示）（2）下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况月份用电量（千瓦时）交电费总金额（元） 3 80 25 4 45 10根据上表数据，求电厂规定的A值为多少？答案:一、1D 2D 3C二、1x=，b2-4ac0 24 3-3三、1x=ab2（1）x1、x2是ax2+bx+c=0（a0）的两根，x1=，x2=x1+x2=-， x1x2=（2）x1，x2是ax2+bx+c=0的两根，ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0原式=ax13+bx12+c1x1+ax23+bx22+cx2 =x1（ax12+bx1+c）+x2（ax22+bx2+c） =03（1）超过部分电费=（90-A）=-A2+A（2）依题意，得：（80-A）=15，A1=30（舍去），A2=5011