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1、 全国高中数学联赛模拟题一 试一、填空题（本题满分 64 分，每小题 8 分） -2，且 A = x - 2 x a，B = y y = 2x + 3,x A C = t t = x2, x A， ，1. 已知a B若C，则 a 的取值范围是。DABCAB = 2AC = 3BC = 4ODABC为 的 内 心 ， 且2. 在中 ， 若，lmB，C则l + m =A O= A B+.-x( )2 -1, x 0 ,( )( )= +3. 已知函数 f x 若关于 x 的方程 f x x a 有且只有两个不相等( ) ( )-1 , x 0 , f x的实数根，则实数 a 的取值范围是。4. 计
2、算器上有一个特殊的按键，在计算器上显示正整数 n 时按下这个按键，会等可能的将其替换为 0n-1 中的任意一个数。如果初始时显示2011，反复按这个按键使得最终显示 0，那么这个过程中，9、99、999 都出现的概率是。x2y25. 已知椭圆+=1的左、右焦点分别为 F 、F ，过椭圆的右焦点作一条直线 l 交椭圆4312于点 P、Q，则F PQ 内切圆面积的最大值是1 ( )( ) ( )6. 设为一 个整数 数列 ，并 且满足 ： -1= +1- 2 -1 ， 若ananann N+nn+1n2008 a ，则满足2008 a 且 n 2 的最小正整数 是n2007n7. 如图，有一个半径
3、为 20 的实心球，以某条直径为中心轴挖去一个半径为 12 的圆形的洞，再将余下部分融铸成一个新的实心球，那么新球的半径是。8. 在平面直角坐标系内，将适合 x y, x 3, y 3,且使关于 t1(x - y )t + (3x + y)t += 0没 有 实 数 根 的 点的 方 程3342x - y(x, y)所成的集合记为 N，则由点集 N 所成区域的面积为。 二、解答题（本题满分 56 分）1n-1 n ，求数列 a 中的最大值 2a = 9.（本小题满分 16 分）对正整数n，记- k 2nnnk-1k=1x22y2+= 1过定点 A（1，0），且焦点在 x 轴上，椭10.（本小题
4、满分 20 分）已知椭圆ab2= x圆与曲线 y的交点为 B、C。现有以 A 为焦点，过 B，C 且开口向左的抛物线，其顶点2 e2 1坐标为 M（m，0），当椭圆的离心率满足时，求实数 m 的取值范围。3= 1,2, ,2011.（本小题满分 20 分）映射 f 的定义域是 A的全体真子集，值域包含于 ( ) ( )f B C = min f B , f C，求这1,2, ,10( ), ，满足条件：对任意 B C A，都有种映射的个数 加 试一、（本题满分 40 分）AC BC=CE CD设 A、B、C、D、E为直线 上顺次排列的五点，l， 在直线 外的一点，连结Fl并延长至点 ，恰使G
5、FAC= AGD，FEC = EGB 同时成立.FC求证：FAC= FEC。二、（本题满分 40 分）a,b,c 0 a+b + c = 2已知：，bccaab+1( )( )( )1+ abc a + b 1+ abc b + c 1+ abc c + a求证：。 三、（本题满分 50 分）设正整数 n 大于 1，它的全部正因数为 d ，d ，d ，满足 1=d d d = n。再设12k12kD = d d d d d d 。k 1 k1 22 3(i) 证明：Dn ；2(ii) 确定所有的 n，使得 D 整除 n 。2四、（本题满分 50 分）设圆周上有一些红点和蓝点，可以进行如下操作：
6、加上一个红点，并改变其相邻两点的颜色；或去掉一个红点，并改变原先与之相邻的两点颜色已知开始时只有两个点，均为红点，那么是否有可能经过若干次操作，使得圆周上只有两个点，且均为蓝点 参考答案一试1,31. 答：2( )-2 2a + 3,B = -1,2a + 3，要使 ，只需 C 中的最大元素在 B 当中，所以C B2，a 2a + 321得 3。a272. 答：9BD AB 232设 AO 交 BC 于点 D，由角平分线定理知AO AB AC AB + AC 5= ，于是 AD = AB + AC ，又DC AC 355( )591329A=C12=， 所 以 A O=A D=A +BA+B+
7、A B B COD BD CD BD + CD 439527l m= AB + AC ，因此 + = 。999( )-,13. 答：利用函数图象进行分析易得结果。14. 答：106若计算器上显示 n 的时候按下按键，因此时共有 1n-1 共 n 种选择，所以产生给定的1数 m 的概率是 。如果计算器上的数在变化过程中除了2011，999，99，9 和 0 以外，还产n11 111 1 1 ，所以所求概率为999 99 9生了 , , , ，则概率为 a aa12n2011a aa12n11 1111 1p = 2011 a aa 999 99 9n12111111 =1 +1 +1 +1 +
8、2 0 1 12 0 1 0 2 0 0 91 0 0 09 9 99 9 8 1111111 ( )1+ 1 +1 + 1 +1 1+1 0 0 9 99 81 098 注意到11111 1+ ( )1+11=1+1+1+ 1+ 2011201020091000999998 1111两式相除即得 = =。p1000 100 10 1069p5. 答：16因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2 倍，且 F PQ 的周长是定值18，所以只需求出 F PQ 面积的最大值。设直线 l 方程为 =x my+1，与椭圆方程联立得1( )6m( )( )3m2 + 4 y2 + 6my - 9
9、 = 0P x , yQ x , yy + y = -， 设， 则，。1122123m + 4291m2 +1()2 - 4y yy y = -，于是S= - =F F y yy y+=12( )1 23m2 + 4DF PQ 2 1 212121 2213m2 + 4m2 +119m 1511因 为 ( )=， 所 以 内 切 圆 半 径111623m2 + 49m9+ 62 + +2 + +m2 +1m2 +12S93pr =DF PQ ，因此其面积最大值是。116846. 答：5012aaa当 时，将原式变形为2=-，令 b =，则有nn+1nn( ) ( ) ( )( )n +1 n
10、n n - 1n + 1n-1n n n( )21 1n n -1( )( )a - n -1 n - 2。b = b -，叠加可得 = -b b2 -，于是a =n( )n+1n+1 nn22 n22n2007 2006()由 2008，得2008a - 2006 2005，化简得 6 mod 2008 。a2007a222( )n n -1( )( ) ()由 2008 ，得- -1 -2 0 mod 2008，将上述关于 的结果代入得aaa2nn22n( )( ) (n +1 n -1 0 mod1004)，于是质数( )( )251 n -1 n +1且 n 是奇数，所以满足条件的最小
11、的 n 是 501。7. 答：16将题目所得几何体的上半部分与半径为 16 的半球作比较，将它们的底面置于同一水平面，并考察高度为 h 的水平面与两个几何体所截的截面面积。与第一个几何体形成的截面是() ( )202 - h2，内径是12，所以面积是p 202 - h2 -122 = p 162 - h2，这正是圆环，外径是与第二个球体形成的截面圆的面积，由祖暅原理知两个几何体的体积是相等的。818. 答：5 1= t2，原方程化为(x - y )u + (3x + y)u += 0.令u332x - y1D = (3x + y) - 4(x - y )233x - y= 5x + 2xy -
12、3y = (5x -3y)(x + y).22所给方程没有实根等价于方程无实根或有实根但均为负根，所以，x y,x y,x 3,x 3, 3,或 yy 3,(5x -3y)(x + y) 0,(5x -3y)(x + y) 03 + 0.x y点集 N 所成区域为图中阴影部分，其面积为S = S+ SDABODBCO1 24= 3+ 63 = .2 5181259. （本小题满分 16 分）103解：经计算知 = 2 ， = 3 ， = =n，下面用数学归纳法证明：当 5时，有aaa a2345103a n。103n +1 n +1 1 n +1 1n +11( )假设 ，则5a =+ +-1
13、 2+an- 2 2212n-1nn+1nnnn +1 n +1 nn1n1 =+ + + 2n n -1 n - 2 212nn-2n +1 n +1=+an2nnn +1 n +1 10 n +1 8 6 8 10+ = 3 5 3 3。n2n3n 10所以数列中的最大值是 = =a a。an45310.（本小题满分 20 分）= 1, c = 1- b , e = 1- b ,解：椭圆过定点 A（1，0），则 a22233 e2 1，0 b。3= x (x 0)由对称性知，所求抛物线只要过椭圆与射线 y的交点，就必过椭圆与射线 y = -x (x 0) 的交点。(x 0)y = xb=
14、y =联立方程 ，解得 x。y22x +2= 11+ b2b31。20 b ，0 x 0 , m 1， 。设抛物线方程为： y2p又 = m -1， y = (1- m)(x - m)22112y = x ，0 x 1 0 x 1 0 x ，令 f2， m，12(x)0 , f在内有根且单调递增，(0) = -4m(m -1) 01或mm11 323+ 2-f = + 2(m -1) - 4m(m -1) 0m 2 4 443 + 2综上得：1 m 180，矛盾！于是， F 在GP 延长线上.FAC = AGD FEC = EGBFE,，为C 切线， FA为C 切线，21= FP FG = F
15、E AF = EF= FEC 。，故 FAC FA22( ) () ( ) ( )11+ abc a + b - ab + bc + ca 1= - c a + b - ab二、 证明：，a,b,c 0 a，+b + c = 2，( )c a + b 1,ab 1。 ( )1+ abc a + b ab + bc + ca，( )1+ abc b + c ab + bc + ca同理，( )1+ a b c c+ a a +b b+c c a。那么将不等式左式的三个分母均放缩为其中最小的那个即可。三、(i) 若 d ，d ，d 是 n 的全部正因数，则n/d ，n/d ，n/d 也是 n 的全
16、部正因数，12k12k且当 1=d d d =n 时，有 d =n/d。则12kjk j 1 n2/d =n2/(d d )D = d d d d d d =n21/(d d )1/(d d )1/(d d )21 21 22 3k 1 kk 1 kk 2 k 11 2n2(1/d 1/d )(1/d 1/d )(1/d 1/d )k1kk2k112=n (1/d 1/d )=n (11/n)=n n。(*)2221k(ii) 在(i)的证明中已指出 n /d Dn n。若 D 整除 n ，由上式知2222n2=qD，1qd 。(*)2因为 d 是 n 的最小的大于 1 的除数，所以，d 是素
17、数。d 当然也是 n2 的素除数，并且222n2 没有比 d 更小的大于 1 的除数。那么由式(*)就推出 q=d 。因此，k=2，n 的全部正因数22是 1 和 n 本身，即 n 是素数。四、对于圆周上任意一种状态，按下列方式定义该状态的特征值：考察圆周上的 n 个蓝点将圆周分成的 n 段圆弧，将这 n 段圆弧依次赋值+1，-1，+1，-1，并在每个红点处标上所在弧的数值，再将所有红点上的数值相加即得S 值。下面考察各种加点的操作：(1) 若在两个相邻红点（原本标有+1）间增加一个红点，则标有+1 的这两个红点变为蓝点，新增加的红点应标-1，且其他红点不受影响，所以 S 值减少 3。若两个红
18、点原本标有-1，则类似可知 S 值增加 3；(2) 若在两个相邻蓝点间增加一个红点，则这三个红点都将标上相同的数值，且其他红点不受影响，所以 S 的变化量仍然是 3 的倍数；(3) 若在两个相邻的异色点间增加一个红点，则两个端点红蓝交换，因此端点处的红色点标数变为原来的相反数，而且新增的红点与它的标数相同，所以S 的变化量仍然是 3 的倍数；对于各种减点的操作，因为都是加点操作的逆向操作，所以 S 值的变化量始终是 3 的倍数，因此 S 值除以 3 的余数应该是不变的。在初始状态中，只有两个红点， = ；而在只有两个蓝点的状态中，2S = 0，这说明S不可能经过若干次操作，使圆周上只有两个点，
19、且均为蓝点。 目 录第 1 讲 集合与函数综合问题第 2 讲 三角函数与反三角函数第 3 讲 等差数列与等比数列第 4 讲 递归数列第 5 讲 不等式第 6 讲 数学归纳法第 7 讲 复数第 8 讲 平面几何问题(1)第 9 讲 平面几何问题(2)第 10 讲 立体几何第 11 讲 解析几何第 12 讲 数论问题第 13 讲 组合问题第 14 讲 计数问题全国高中数学联赛模拟题（1）全国高中数学联赛模拟题（2）全国高中数学联赛模拟题（3）全国高中数学联赛模拟题（4） 学 奥 数这里总有一本适合你华东师范大学出版社学 奥 数这里总有一本适合你华东师范大学出版社学 奥 数这里总有一本适合你华东师范大学出版社