《北京市西城区2020-2021学年高二上学期期末数学试题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北京市西城区2020-2021学年高二上学期期末数学试题.docx（20页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 北京市西城区 2020-2021 学年高二上学期期末数学试题学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题x2a2y21已知椭圆 :1( 0) 的一个焦点为(2,0) ,则a 的值为( )= a C+4A2 2B 6C6D8a =2已知数列 满足 = 2 ,=a+ 2 (nN*, n 2 ) ,则 ( )aaan1nn-13A5B6C7D8p3已知命题p :$ 1, ,则 为( )1xx2Ax 1,x21x1B$ x2C 1D$ 1, 1xx2xx24已知a,bR b,若a ,则( ) 2b22AaB C D3a bab b2a b3= (-1,2,1), b = (3,x, y)a / b=,
2、且 ,那么 ( )5已知向量aA3 6bB6C9D18b.aa6已知直线a，b 分别在两个不同的平面 ， 内 则“直线a 和直线b 相交”是“平面b和平面 相交”的()A充分不必要条件C充要条件B必要不充分条件D既不充分也不必要条件= (1,x,2)= (0,1,2) c = (1,0,0), ,若a b c 共面,则 等于( )7已知向量a,bB18德国著名数学家高斯,享有“数学王子”之美誉.他在研究圆内整点问题时,定义了一,x-11 -1C 或1D 或0A个函数 f (x) = xxx,其中 表示不超过 的最大整数,比如 . 根据以上定义,当p=3x - f (x) , f (x) , (
3、 )xx = 3 +1 时,数列A是等差数列,也是等比数列C是等比数列,不是等差数列B是等差数列,不是等比数列D不是等差数列,也不是等比数列a 339设有四个数的数列 ,该数列前 项成等比数列,其和为m,后 项成等差数列,其n 和为6 . 则实数 的取值范围为( )m3 6m 6m 2DAmBmC210曲线C : x + y =1.给出下列结论:33曲线C 关于原点对称;曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1;2曲线C 只经过 个整点(即横 纵坐标均为整数的点).其中,所有正确结论的序号是( )ABCD二、填空题x2y211设 是椭圆 + = 上的点, 到该椭圆左焦点的距离为 ,则 到右焦点的
4、距12PPP25 9离为_.x12不等式x -1 0 的解集为_1 1 0,b 0) 的右焦点3条渐近线的距离为三、双空题c ，则其离心率的值是_210015某渔业公司今年初用 万元购进一艘渔船用于捕捞,已知第一年捕捞工作需各种2费用4 万元,从第二年开始,每年所需费用均比上一年增加 万元.若该渔船预计使用n年,其总花费(含购买费用)为_ 万元;当n = _时,该渔船年平均花费最低(含购买费用).16若 , , , , 表示从左到右依次排列的9 盏灯,现制定开灯与关灯的规则如下:x x xx1239(1)对一盏灯进行开灯或关灯一次叫做一次操作;xN | 2 x 9x,要求灯 的(2)灯x 在任
5、何情况下都可以进行一次操作;对任意的i1ixi左边有且只有灯 是开灯状态时才可以对灯 进行一次操作.如果所有灯都处于开灯xi-1状态,那么要把灯x 关闭最少需要_次操作;如果除灯x 外,其余8 盏灯都处于开灯46状态,那么要使所有灯都开着最少需要_次操作. 四、解答题a 17已知等比数列的公比为2 ,且a , + 4, a 成等差数列.a34n5a ()求()设的通项公式;na SS = 62nn的前 项和为 ,且n,求 的值.nn18已知函数 ( ) = 2 + , af x x axR.()若 f()若 f(a) f (1),求a 的取值范围;(x) -4对x R恒成立,求a 的取值范围;
6、(x) 0x()求关于 的不等式f的解集.2xy22(a b 0)F(1,0),离心率为: + =119已知椭圆C的右焦点为.2a2b2()求椭圆C 的方程;AFB = 90()设点 为椭圆C 的上顶点,点 在椭圆上且位于第一象限,且,求ABDAFB的面积.20如图,四棱锥 PPA = AB = 2, AD- ABCD/BC AD , PAB中, AD 平面 ABP ,= 90 .= 3=, BC m , 是的中点.EPB()证明: AE 平面;PBC3- AE - D()若二面角C的余弦值是,求 m 的值;3= 2()若 m,在线段 AD 上是否存在一点F ,使得 PF CE. 若存在,确定
7、 F 点的位置;若不存在,说明理由.: y = 2 px( p 0)3,抛物线C 上横坐标为1 的点到焦点 的距离为 .F21已知抛物线C2 ()求抛物线C 的方程及其准线方程;()过(-1,0)A, B= -4于点 ,直线的直线 交抛物线C 于不同的两点,交直线 xDE / AF? 若不存在,请说明理由;lEBF= -1交直线 x于点 . 是否存在这样的直线 l ,使得D若存在,求出直线l 的方程.i, j ( - 3)j i22若无穷数列 , , , 满足:对任意两个正整数a a a+aa a 与= +, ai-1123j+1ija + a = a + a 至少有一个成立,则称这个数列为“
8、和谐数列”.i+1j-1ij()求证:若数列 为等差数列,则 为“和谐数列”;aann()求证:若数列 为“和谐数列”,则数列 从第3 项起为等差数列;aann= 0a 是各项均为整数的“和谐数列”,满足a,且存在 p N*使得 a = p ，()若1npa + a + a + + a = - p ,求 的所有可能值.p123p 参考答案1A【分析】利用 a = b + c ，求得a 的值.222【详解】由于 a = b + c ，所以 a= 4 + 2 = 8,a = 2 2 .22222故选：A【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，属于基础题.2B【分析】a ,a利用递推关系式，依次求得【
9、详解】的值.23a = a + 2 = 4,a = a + 2 = 6 .依题意2132故选：B【点睛】本小题主要考查根据递推关系式求项的值，属于基础题.3C【分析】根据特称命题的否定是全称命题的知识，选出正确选项.【详解】由于特称命题的否定是全称命题，注意到要否定结论，所以A 选项不正确，C 选项正确.故选：C【点睛】本小题主要考查特称命题的否定，属于基础题.4D【分析】利用特殊值排除错误选项，然后证明正确选项成立.【详解】 ( )-1 2 = -2a = b2，所以 A 选项错误. b b对于 A 选项，若a，如 -2 -1，但是，如 -2 -1对于 B 选项，若a误.2 ，即ab b2，
10、所以 B 选项错-2 -12 ，即a b ，所以 C 选项错误.( ) ( ) b b对于 C 选项，若a，如 -2 -1，但是222()( )a b a b a ab b+ +对于 D 选项，若a，则a -b 0，则 - = -3322132( )= a -b a + b + b 0，所以 a b .23324故选：D【点睛】本小题主要考查不等式的性质，属于基础题.5A【分析】根据两个向量共线的坐标表示列方程，由此求得x, y，从而求得| b |.【详解】3 x y()= = -6, = -3b = 3,-6,-3由于 / ，所以a b，解得 xy，所以，所以-1 2 1( ) ( )= 5
11、4 = 3 6 .b = 3 + -6+ -3222故选：A【点睛】本小题主要考查空间向量平行求参数，考查空间向量模的计算，属于基础题.6A【详解】当“直线 和直线 相交”时，平面 和平面 必有公共点，即平面 和平面 相交，充分性ab成立；当“平面 和平面 相交”，则 “直线 和直线 可以没有公共点”，即必要性不成立.ab故选 A.7B 【分析】根据 a,b,c【详解】列方程，根据空间向量坐标的线性运算求解出 的值.x由于 a,b,c共面，所以存在l, m，使得a = lb + mc，即( ) () ( ) ()1, x,2 = 0,l,2l + m,0,0 = m,l,2lm 1, l,2l
12、 2= x =1.，所以 x，所以故选：B【点睛】本小题主要考查空间向量共线的表示，考查空间向量的坐标运算，属于基础题.8D【分析】- f (x) f (x) x, ，由此判断出正确选项.求得 x,【详解】( ) ( )= 3 -1，-，所以 x f x3 1.732f x= x = 1.732+1 = 2.732 = 2由于，所以( )( )3 +1 3 -1 = 2 43 -1,2, 3 +1.而 3 +1+ 3 -1 = 2 3 4，即三个数为，所- f (x) f (x) x, 不是等差数列,也不是等比数列以数列 x故选：D【点睛】,本小题主要考查新定义函数的理解，考查等差数列、等比数
13、列的性质，属于基础题.9B【分析】4设出这 个数，根据已知条件列方程组，由此求得 表达式，进而求得 的取值范围mm.【详解】a 的前 项为 a b,c,d ，由于数列4,a 3的前 项成等比数列,其和为 ,后 项成等差数3设mnna + b + c = m(1)a + b +2 = m (1)2 = (2)b ac列,其和为6 ，所 以，由（3）（4）得3c = 6,c = 2，所以b2 = 2 (2)a2c = b + d (3)4 = b + d (3)b + c + d = 6 (4) a + b +2 = m (1)b2( )4 -d2( )+ 4 - + 2 = ，d ma =(2)
14、即，先将（2）代入（1），然后将（3）代入（1）得22 =4 - d (3)b13 3( )= d -5 2 + 整理得 m.22 2故选：B【点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.10C【分析】( )-x,-yx x x x 等5 0, = 0,0 1x代入，化简后可确定的真假性.对 分成x将+ y 1种情况进行分类讨论，得出 x22，由此判断曲线C 上任意一点到原点的距离不小于( ) ( )0,1 , 1,01.进而判断出正确.对于，首先求得曲线C 的两个整点，然后证得其它点不是整点，由此判断出正确.【详解】( )-x,-y33+ y =
15、-1，与原方程不相等，所以曲线C 不，将代入曲线 : + =1，得xC x3 y3关于原点对称，故错误.=1- xx，所以对于任意一个 ，x3，对于曲线 : + =1，由于 yC x3 y33 ，所以 = -13y3是单调递减函数.当 x= 0时，有唯一确定的y只有唯一确定的 和它对应.函数= 1-yx33( ) ( )0,1 , 1,0.所以曲线C 过点y =1；当=1时，有唯一确定的=0，这两点都在单位圆xy11时，上，到原点的距离等于1 .当 x时，所以 x + y 1, x + y 1.当 x2222y 0时，0 y 1, + 1.当0 x 1，且2222( )( )2 2( ) (
16、)1- x + y = x + y - x + y = x x -1 + y y -1 1, x + y 1.2222综上所述，曲线C 上任意一点到原点的距离不小于 1，所以正确.( ) ( )0,1 , 1,0，由的分析可知，曲线C 过点，这是两个整点.由 3 +y3 =1可得x ( )x -1= -y ，当 x 0 x 1且x时，若 x 为整数， 3 -1必定不是某个整数的三次方根，33所以曲线 只经过两个整点.故正确.C综上所述，正确的为.故选：C【点睛】本小题主要考查根据曲线方程研究曲线的性质，属于中档题.118【分析】根据椭圆的定义，求得 到右焦点的距离.P【详解】= 5，而 到该椭
17、圆左焦点的距离为2 ,则 到右焦点的距离为52-2 = 8.P P依题意 a故答案为：8【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，属于基础题.12(0,1)【解析】x 0，( -1) 0 (0,1)，x因为所以 x xx -1( )0,1.x b = -1时，11=1 = -1不成立，ab即可填1,-1点睛：本题考查不等式的性质等知识，意在考查学生的数学思维能力142【解析】 分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率.bF(c,0) = 0bx ay= x 即,详解：因为双曲线的焦点到渐近线 y的距离为abc 0311bc3= = b,= c -b = c - c = c a =
18、c e =,2, 2.所以b =c ，因此a22222442+ bc2a22点睛：双曲线的焦点到渐近线的距离为 ，焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为 .ba1015n2 + 3n +100【分析】用渔船的费用，加上每年捕捞的费用，求得 年总花费，总花费除以 后，利用基本不等式nnn求得当 为何值时，平均花费最低.【详解】42每年的费用是首项为 ，公差为 的等差数列，所以总费用( )n n -1( )S n = n4 +n 平均费用为2 +100 = n2 + 3 +100 .2( )100100100S nn= n + 3 2 n+ 3 = 23=,n =10时，等号成立，也即，当且仅当n
19、nnnn =10 时，该渔船年平均花费最低.10(2).故答案为：(1).n2+ 3 +100n【点睛】n本小题主要考查等差数列前 项和，考查数列在实际生活中的应用，考查数列最值的求法，属于基础题.16321【分析】4（1）利用列举法求得把灯 关闭最少需要的操作次数.（2）先用列举法求得关闭前 个灯x42最少需要的操作次数，然后乘以 再加上 ，得到使所有灯都开着最少需要的操作次数.1【详解】x（1）如果所有灯都处于开灯状态,那么要把灯 关闭最少需要的操作如下，设1 为开灯，04为关灯：初始状态1111，操作如下1011,0011,0010，共3 次.（2）关闭前 个灯最少需要的操作如下，设 为
20、开灯，0 为关灯：初始状态1111，操作41 如下：1011,0011,0010,1010,1110,0110,0100,1100,1000,0000，共10 次.此时前6 盏灯的状态如下：000010，操作1 次，变为000011将步骤倒过来做一遍，打开前4 个灯，共10 次操作.，打开 .x6综上所述，如果除灯 外,其余8 盏灯都处于开灯状态,那么要使所有灯都开着最少需要21x6次操作故答案为：(1). 3(2). 21【点睛】本小题主要考查逻辑推理能力，属于基础题.17() a = 2 . () n 的值是 .n5n【分析】,qa（I）利用等差中项的性质列方程，并转成a 的形式，解方程求
21、得 的值，进而求得数列11a 的通项公式.n= 62（II）根据等比数列前 项和公式求得 ，令nSSn解方程，求得 的值.nn【详解】a ()因为 为公比为2 的等比数列,n= 8a a =16a= 4 ,a ,所以 =,aa q21a3141512(a + 4) = a + a依题意得,4352(8a + 4) = 4a +16a即,1114a = 8, 解得 = 2 .整理得1a1所以数列 的通项公式为 = 2 .aannn1- qn= ,()依题意Sa1- qn1= 21- 2 = 2 - 2 .nn+11- 2所以2 - 2 = 62 ,整理得 2 1 = 64 ,n+1n+解得n =
22、5. 5所以 的值是 .n【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的计算，考查等比数列前n 项和的求法，考查等差中项的性质，考查方程的思想，属于基础题.118() | 1. () | -4 4. ()见解析a aaaa2【分析】（I）由 f (a) f (1)列不等式，解一元二次不等式求得a 的取值范围.（II）将不等式 f (x) -4对x R 恒成立转化为元二次不等式，解不等式求得a 的取值范围.，结合二次函数的性质列一f (x) -4min（III）对a 分成a 0,a = 0三种情况，结合一元二次不等式的解法，分类讨论，求得不等式 f (x) 0的解集.【详解】()由 f (a) f (
23、1)得 + 1+ ,a2 a2a1整理得 2 - - , 解得a a1 02a a |1 0当-a 0当-a = 0时,即 0 时, 或x -a ;x 0;xaa 0时,即 时,x -a 或= 0时,即a 时,x 0.x | x 0 -a综上,当 0;当a 时,不等式的解集为x | x 0.= 0x | x 0又因为m ,所以m .=1()结论:不存在.理由如下:证明:设F(0,0, t) (0 t 3)(0,2,2).= 2当m 时,C.PF = (-2,0,t) ,CE = (1,-1,-2). CE由PF 知,PF CE= 0,-2-2t = 0 ,t = -1.这与0 t 3矛盾. C
24、E所以,在线段AD 上不存在点F ,使得PF .【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查根据二面角的余弦值求参数，考查存在性问题的求解，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.2 232 2321() y2 = 8x ，= -2. ()存在，x=( 1)或+= -x( +1).yxy【分析】（I）根据抛物线的定义求得抛物线的标准方程以及准线飞航程.= k(x +1) ( 0)（II）设出直线 的方程yky，联立直线的方程和抛物线的方程，消去 后l根据判别式大于零求得k 的取值范围，写出韦达定理.结合DE 得到直线DE 与直线/ AF|BA| | BF |=），由此列方程，解方程求得k 的
25、值，也即求得的斜率相等（或者转化为AF| BE | | BD |直线 的方程.l 【详解】()因为横坐标为1 的点到焦点的距离为3 ,所以1+ = 3 ,解得 pp= 4,2= 8x所以 y所以准线方程为 x()显然直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为 y2= -2.= k(x +1) ( 0) ( , ), ( , )kA x y B x y,.1122 = 8 ,2yx联立得 y消去 得+(2-8)x k2+= 0 .k2x2k2y = k(x +1), 0.- 2 k 0 ,解得-2 k 2. 所以2k48 - 2k2x x =1.由韦达定理得 + =x x,121 2k2方法一:直线
26、 BF 的方程为 yy=(x - 2),2x - 22-3y-3yx = -12 ,所以 D(-1,)2 ,又,所以 yx- 2x - 2DD22/ AF因为 DE,所以直线 DE 与直线的斜率相等AFy-3k + 32又 E(-4,-3k) ,所以- 2xy .=21-3x - 21yyk(x +1) k(x +1)=+k =+整理得 k12 ,即12,x - 2 x - 2x - 2x - 21212x +1 x +12x x - (x + x ) - 4化简得1=+,1= 1 2+ = 7,即 x x.1212x - 2 x - 2x x - 2(x + x ) + 412121 212
27、8 - 2k289所以=7 ,整理得k2 =,k22 232 23= k = 解得 k. 经检验,符合题意.2 22 23所以存在这样的直线l ,直线l 的方程为 =(x +1)或 y = -(x +1)y3方法二:|BA| | BF |x - xx - 2/ AF=1 2因为 DE,所以,所以 2.| BE | | BD |x + 4 x +1228 - 2k2+ (x + x ) = 8整理得 x x,即=7 ,1 212k28整理得 2 = .k9 2 22 2解得k = ,经检验,k = 符合题意.332 232 23所以存在这样的直线l ,直线l 的方程为 =(x +1)或y = -
28、(x +1).y【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题.22()见解析 () 见解析() 3,5 ,6 ,8 ,12 .【分析】（I）利用等差数列的定义，证得等差数列 为“和谐数列”.an（II）利用等差数列的定义，通过证明a-a = d(n 4)，证得数列 从第 项起为等差3ann-1n数列.（III）对 p =1,2,3依次进行验证，当 时，结合（II）的结论和等差数列前n 项和公p 4式进行列式，求得p 的可能取值.【详解】a ()证明:因为数列 为等差数列,ni, j ( - 3)a a- =-a=d ,所以对任意两个正整数j i
29、,有 ai+1ijj-1+ a = a + a所以ai+1j.j-1i所以 数列 为“和谐数列”.ana ()证明:因为数列 为“和谐数列”,n=1 = 4所以 当i , j 时,只能a+a= +a a 成立, a+a= +a a 不成立.i+1j-1iji-1j+1ij+a = a +aa -a = a -a.所以 a,即23142143=1 =当i , j5, 6, 7, 8,9+a= +a a 成立,a+aa a 不成立.= +时,也只能ai+1j-1iji-1j+1ij+a = a +a a +a = a +a a +a = a +a所以 a,241525162617-a = a -a
30、 = a -a = a -a =即a,21546576-a = a -a = a -a = a -a =所以a.21435465 a - a = da -满足a a= ( 4)d n .令,则数列21nnn-1a 所以,数列从第 3 项起为等差数列.np =1,则 a = =1,与a = 01矛盾,不合题意.()解:若ap1= 2= 0= 0若 p,则a,= 2+ = 2 -2,但 a a,不合题意a2121= 3= 3+ + = -3a a aa= -6,若 p,则a1a3,由,得1232a 此时数列为:0, - 6 ,3 ,-3,-9 , ,符合题意.n若 p 4,设 - =,a a d21a + a + + a = 0 + d +p - (p