专升本高等数学知识点汇总.pdf

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1、 专升本高等数学知识点汇总-作者:_ -日期:_ 专升本高等数学知识点汇总 常用知识点：一、常见函数的定义域总结如下：（1）cbxaxybkxy2一般形式的定义域：xR（2）xky 分式形式的定义域：x0（3）xy 根式的形式定义域：x0（4）xyalog 对数形式的定义域：x0 二、函数的性质 1、函数的单调性 当21xx 时，恒有)()(21xfxf，)(xf在21xx，所在的区间上是增加的。当21xx 时，恒有)()(21xfxf，)(xf在21xx，所在的区间上是减少的。2、函数的奇偶性 定义：设函数)(xfy 的定义区间D关于坐标原点对称（即若Dx，则有Dx）(1)偶函数)(xfDx

2、，恒有)()(xfxf。(2)奇函数)(xfDx，恒有)()(xfxf。三、基本初等函数 1、常数函数：cy，定义域是),(，图形是一条平行于x轴的直线。2、幂函数：uxy，(u是常数)。它的定义域随着u的不同而不同。图形过原点。3、指数函数 定义:xaxfy)(，(a是常数且0a，1a).图形过（0,1）点。4、对数函数 定义:xxfyalog)(，(a是常数且0a，1a)。图形过（1,0）点。5、三角函数(1)正弦函数:xysin 2T，),()(fD，1,1)(Df。(2)余弦函数:xycos.2T，),()(fD，1,1)(Df。(3)正切函数:xytan.T，,2)12(,|)(ZR

3、kkxxxfD，),()(Df.(4)余切函数:xycot.T，,|)(ZRkkxxxfD，),()(Df.5、反三角函数(1)反正弦函数:xysinarc，1,1)(fD，2,2)(Df。(2)反余弦函数:xyarccos，1,1)(fD，,0)(Df。(3)反正切函数:xyarctan，),()(fD，)2,2()(Df。(4)反余切函数:xyarccot，),()(fD，),0()(Df。极限 一、求极限的方法 1、代入法 代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。”因此遇到大部分简单题目的时候，可以直接代入进行极限的求解。2、传统求极限的方法（1）利用极限的四则运算法

4、则求极限。（2）利用等价无穷小量代换求极限。（3）利用两个重要极限求极限。（4）利用罗比达法则就极限。二、函数极限的四则运算法则 设Auxlim，Bvxlim，则（1）BAvuvuxxxlimlim)(lim（2）ABvuvuxxxlimlim)(lim.推论（a)vCvCxxlim)(lim，(C为常数)。（b）nxnxuu)lim(lim（3）BAvuvuxxxlimlimlim，(0B).（4）设)(xP为多项式nnnaxaxaxP110)(，则)()(lim00 xPxPxx （5）设)(),(xQxP均为多项式，且0)(xQ，则)()()()(lim000 xQxPxQxPxx 三、

5、等价无穷小 常用的等价无穷小量代换有：当0 x时，xx sin，xx tan，xx arctan，xx arcsin，xx)1ln(，xex1，221cos1xx。对这些等价无穷小量的代换，应该更深一层地理解为：当0 时，sin，其余类似。四、两个重要极限 重要极限 I 1sinlim0 xxx。它可以用下面更直观的结构式表示：1 sinlim0 重要极限 II exxx11lim。其结构可以表示为：e 11lim 八、洛必达(LHospital)法则“00”型和“”型不定式，存在有Axgxfxgxfaxax)()(lim)()(lim（或）。一元函数微分学 一、导数的定义 设函数)(xfy

6、在点0 x的某一邻域内有定义，当自变量x在0 x处取得增量x（点xx0仍在该邻域内）时，相应地函数y取得增量)()(00 xfxxfy。如果当0 x时，函数的增量y与自变量x的增量之比的极限 0limxxy=0limxxxfxxf)()(00=）（0 xf 注意两个符号x和0 x在题目中可能换成其他的符号表示。二、求导公式 1、基本初等函数的导数公式（1）0)(C(C为常数)（2）1)(xx（为任意常数）（3）aaaxxln)()1,0(aa 特殊情况xxee)(（4）axexxaaln1log1)(log)1,0,0(aax，xx1)(ln（5）xxcos)(sin （6）xxsin)(co

7、s（7）xx2cos1)(tan （8）xx2sin1)(cot（9）211)(arcsinxx)11(x （10）)11(11)(arccos2xxx（11）211)(arctanxx （12）211)cot(xxarc 2、导数的四则运算公式（1）)()()()(xvxuxvxu （2）)()()()()()(xvxuxvxuxvxu（3）ukku（k为常数）（4）)()()()()()()(2xvxvxuxvxuxvxu 3、复合函数求导公式：设)(ufy,)(xu，且)(uf及)(x都可导，则复合函数)(xfy的导数为)().(xufdxdududydxdy。三、导数的应用 1、函数的

8、单调性 0)(xf则)(xf在),(ba内严格单调增加。0)(xf则)(xf在),(ba内严格单调减少。2、函数的极值 0)(xf的点函数)(xf的驻点。设为0 x（1）若0 xx 时，0)(xf；0 xx 时，0)(xf，则)(0 xf为)(xf的极大值点。（2）若0 xx 时，0)(xf；0 xx 时，0)(xf，则)(0 xf为)(xf的极小值点。（3）如果)(xf在0 x的两侧的符号相同，那么)(0 xf不是极值点。3、曲线的凹凸性 0)(xf，则曲线)(xfy 在),(ba内是凹的。0)(xf，则曲线)(xfy 在),(ba内是凸的。4、曲线的拐点（1）当)(xf在0 x的左、右两侧

9、异号时，点)(,(00 xfx为曲线)(xfy 的拐点，此时0)(0 xf.（2）当)(xf在0 x的左、右两侧同号时，点)(,(00 xfx不为曲线)(xfy 的拐点。5、函数的最大值与最小值 极值和端点的函数值中最大和最小的就是最大值和最小值。四、微分公式 dxxfdy)(，求微分就是求导数。一元函数积分学 一、不定积分 1、定义，不定积分是求导的逆运算，最后的结果是函数+C 的表达形式。公式可以用求导公式来记忆。2、不定积分的性质（1）)()(xfdxxf或dxxfdxxfd)()(（2）CxFdxxF)()(或CxFxdF)()(（3）dxxxdxxfdxxxxf)()()()()()

10、(。（4）dxxfkdxxkf)()(（k为常数且0k）。2、基本积分公式（要求熟练记忆）（1）Cdx0 （2）)1(111aCxadxxaa.（3）Cxdxxln1.（4）Caadxaxxln1)1,0(aa（5）Cedxexx （6）Cxxdxcossin（7）Cxxdxsincos （8）Cxdxxtancos12.（9）Cxdxxcotsin12.（10）Cxdxxarcsin112.（11）Cxdxxarctan112.3、第一类换元积分法 对不定微分dxxg)(，将被积表达式dxxg)(凑成)()()()()(xdxfdxxxfdxxg，这是关键的一步。常用的凑微分的公式有：（1）

11、)()(1)(baxdbaxfadxbaxf（2）)()(1)(1baxdbaxfkadxxbaxfkkkk （3）xdxfdxxxf21)(（4）xdxfdxxxf1)1(1)1(2（5）)()()(xxxxedefdxeef（6）)(ln)(ln1)(lnxdxfdxxxf（7）)(sin)(sincos)(sinxdxfxdxxf（8）)(cos)(cossin)(cosxdxfxdxxf（9）)(tan)(tancos1)(tan2xdxfdxxxf（10）)(cot)(cotsin1)(cot2xdxfdxxxf（11）)(arcsin)(arcsin11)(arcsin2xdxfd

12、xxxf（12）)(arccos)(arccos11)(arccos2xdxfdxxxf（13）)(arctan)(arctan11)(arctan2xdxfdxxxf（14）)(ln)()(xddxxx )0)(x 4、分部积分法 vduuvudv 二、定积分公式 1、（牛顿莱布尼茨公式）如果)(xF是连续函数)(xf在区间,ba上的任意一个原函数，则有)()()(aFbFdxxfba。2、计算平面图形的面积)(xfy )(xgy y a o b x 如果某平面图形是由两条连续曲线)(),(21xfyxgy及两条直线ax 1和bx 2所围成的（其中1y是下面的曲线，2y是上面的曲线），则其面

13、积可由下式求出：.)()(dxxgxfSba 3、计算旋转体的体积 设某立体是由连续曲线)0)()(xfxfy和直线)(,babxax及x轴所围平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体，如图所示。则该旋转体的体积V可由下式求出：.)()(22dxxfdxxfVbabax 多元函数微分学 1、偏导数，对某个变量求导，把其他变量看做常数。2、全微分公式：yBxAyxdfdz),(。3、复合函数的偏导数利用函数结构图 如果),(yxu、),(yxv在点),(yx处存在连续的偏导数xu，yu，xv，yv，且在对应于),(yx的点),(vu处，函数),(vufz 存在连续的偏导数uz，vz，则复合函数),(

14、),(yxyxfz在点),(yx处存在对x及y的连续偏导数，且 xvvzxuuzxz，yvvzyuuzyz。o a x x+dx b x y )(xfy 4、隐函数的导数 对于方程0),(yxF所确定的隐函数)(xfy，可以由下列公式求出y对x的导数y：),(),(yxFyxFyyx，2、隐函数的偏导数 对于由方程0),(zyxF所确定的隐函数),(yxfz，可用下列公式求偏导数：),(),(zyxFzyxFxzzx，),(),(zyxFzyxFyzzy，5、二元函数的极值 设函数),(00yxfz 在点),(00yx的某邻域内有一阶和二阶连续偏导数，且 0),(00yxfx，0),(00yx

15、fy又设Ayxfxx),(00，Byxfxy),(00，Cyxfyy),(00，则：（1）当02 ACB时，函数),(yxf在点),(00yx处取得极值，且当0A 时有极大值，当0A时有极小值。（2）当02 ACB时，函数),(yxf在点),(00yx处无极值。（3）当02 ACB时，函数),(yxf在点),(00yx处是否有极值不能确定，要用其它方法另作讨论。平面与直线 1、平面方程 （1）平面的点法式方程：在空间直角坐标系中，过点),(0000zyxM，以,CBAn 为法向量的平面方程为 0)()()(000zzCyyBxxA 称之为平面的点法式方程（2）平面的一般式方程 0DCzByAx

16、 称之为平面的一般式方程 2、特殊的平面方程 0CzByAx 表示过原点的平面方程 0DByAx 表示平行于Oz轴的平面方程 0 ByAx 表示过Oz轴的平面方程 0 DCz 表示平行于坐标平面xOy的平面方程 3、两个平面间的关系 设有平面 0:11111DzCyBxA 0:22222DzCyBxA 平面1和2互相垂直的充分必要条件是：0212121CCBBAA 平面1和2平行的充分必要条件是：21212121DDCCBBAA 平面1和2重合的充分必要条件是：21212121DDCCBBAA 4、直线的方程（1）直线的标准式方程 过点),(0000zyxM且平行于向量,pnms 的直线方程

17、pzznyymxx000称之为直线的标准式方程（又称点向式方程、对称式方程）。常称,pnms 为所给直线的方向向量（2）直线的一般式方程 0022221111DzCyBxADzCyBxA称之为直线的一般式方程 5、两直线间关系 设直线1l，2l的方程为 1111111:pzznyymxxl 2222221:pzznyymxxl 直线1l，2l平行的充分必要条件为2121nnmm；直线1l，2l互相垂直的充分必要条件为0212121ppnnmm 6、直线l与平面间的关系 设直线l与平面的方程为 pzznyymxxl000:0)()()(:000zzCyyBxxA 直线l与平面垂直的充分必要条件为

18、：pCnBmA 直线l与平面平行的充分必要条件为：0000DCpBnAmCpBnAmo 直线l落在平面上的充分必要条件为0000DCpBnAmCpBnAmo 将初等函数展开成幂级数 1、定理:设)(xf在),(0 xU内具有任意阶导数,且 0)(limxRnn，10)1()()!1()()(nnnxxnfxR则在),(0 xU内 nnnxxnxfxf)(!)()(000)(称上式为)(xf在点0 x的泰勒级数。或称上式为将)(xf展开为0 xx 的幂级数。2、几个常用的标准展开式 nnxx011 nnnxx)1(110!0nxennx)!12()1(sin120nxxnnn)!2()1(cos

19、20nxxnnn nxxnnn)1()1ln(0 nxxnn0)1ln(常微分方程 1、一阶微分方程（1）可分离变量的微分方程 若一阶微分方程0),(yyxF通过变形后可写成dxxfdyyg)()(或 )()(ygxfy 则称方程0),(yyxF为可分离变量的微分方程.2、可分离变量微分方程的解 方程dxxfdyyg)()(必存在隐式通解CxFyG)()(。其中：dyygyG)()(,dxxfxF)()(.即两边取积分。（2）一阶线性微分方程 1、定义：方程)()(xQyxPy 称为一阶线性微分方程.(1)非齐次方程0)(xQ；(2)齐次方程 0)(yxPy.2、求解一阶线性微分方程（1）先求齐次方程0)(yxPy的通解：dxxPCey)(,其中C为任意常数。（2）将齐次通解的C换成)(xu。即 dxxPexuy)()(（3）代入非齐次方程)()(xQyxPy,得 CdxexqeydxxPdxxP)()()(2、二阶线性常系数微分方程（1）可降阶的二阶微分方程 1、)(xfy 型的微分方程 例 3：求方程xeyxsin212 的通解.分析：12cos41Cxedxyyx；212sin81CxCxedxyyx.2、),(yxfy 型的微分方程 解法：