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1、第一讲 直线型面积的计算 内容概述 前三讲我们将针对几何部分进一步学习提高！首先，让我们一起来回顾一些基本知识！我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形。我们的面积及周长都有相应的公式直接计算。如下表：对于不规则图形的面积及周长计算，我们大都是由规则图形转化而来的！在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：等底等高的两个三角形面积相等 两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；夹在一组平行线之间的等积变形，如下图，ACD和BCD夹在一组平行线之间，且有公共底边CD那么BCDACDSS；
2、反之，如果BCDACDSS，则可知直线AB平行于CD。这节课我们将通过例题学习到几个很重要的定理结论！同学们注意做好笔记啊！ACDB 例题精讲 【例1】你有多少种方法将任意一个三角形分成（1）2 个面积相等的三角形；（2）3 个面积相等的三角形；（3）4 个面积相等的三角形。分析：（1）如右图，D、E、F 分别是对应边上的中点，这样就将三角形分成了 2 个面积相等的三角形；（2）如右图，D、E 是 BC 的三等分点，F、G 分别是对应线段的中点；答案不唯一；（3）如下图，答案不唯一，以下仅供参考；前四种答案学生都容易得到，在这里我们需要特别说明的是第五个答案，请看例 2。【例2】在学习三角形时
3、，很多同学都听说过中位线，所谓中位线就是三角形两边中点的连线。如右图所示，D、E、F 分别是 AB、AC、BC 边的中点，根据定义可知 DE、DF、EF 就是三角形 ABC 的中线。那么请你说明：（1）DE 与 BC 平行（2）DE=1/2 BC （3）SADE=1/4 SABC 分析：（1）在解答一些几何问题时，我们常常需要添加一些辅助线帮助我们分析解决。如右图（1），连接 DC、BE。因为 D、E 分别是 AB、AC 的中点，所以SBDC=1/2 SABC=SBEC，又因为 BDC 与BEC 同用 BC 做底，根据“内容概述”部分常用结论可得：DE 与 BC 平行。同理可得：DF 与 AC
4、 平行，EF 与 AB 平行。（2）我们知道两组对边平行的四边形是平行四边形，因为 DE 与 BC 平行，EF 与 AB 平行，所以四边形BDEF 是平行四边形，所以 DE=BF=1/2 BC。同理可得：DF=1/2 AC，FE=1/2 AB。（3）如图（1），因为 E 是 AC 的中点，所以 SABE=1/2 SABC，D 是 AB 的中点，所以 SADE=1/2SABE=1/4SABC,同理可以得到：SBDF=SEFC=1/4SABC。那么我们就容易知道被分得的 4 个小三角形面积相等。从例 2（1）、（2）中，我们可以得到三角形“中位线”的两条性质：（1）它与对应底边平行；（2）它的长度
5、是底边长的二分之一。【例3】把 1 个等边三角形分成形状和面积完全相同的 8 个三角形、12 个三角形，画出分割后的图形。分析：如图所示。【例4】如右图，D 是 BC 上任意一点，请你说明S1：S4=S2：S3=BD：DC 分析：三角形 BED 与三角形 CED 同高，分别以 BD、DC 为底，所以有S1：S4=BD：DC；三角形 ABE 与三角形 EBD 同高，三角形 ACE 与三角形 CED 同高，所以S1：S4=S2：S3；综上可得S1：S4=S2：S3=BD：DC。这就是几何中的燕尾定理。看右下图，根据燕尾定理我们可以得到：S1：S2=S3：S4=S5：S6=BD：DC 【例5】如图，
6、M 为 AB 中点，N 是 BC 上一点，CN=2BN连结 AN 交 MC 于 0点，若四边形 BMON 的面积为 14cm2，则ABC 的面积是_cm2 分析：连接 OB。不妨把BMO 的面积视为 1，因为 M 为 AB 中点，所以 SAMO=1，根据燕尾定理可知SABO：SAOC=BN：CN=1：2 ，所以SAOC=4，那么SACM=5，可得SBCM=5，进而得 SBCO=4。又因为SNBO：SNCO=BN：CN=1：2，SNBO+SNCO=SBCO，所以 SNBO=4/3，SNCO=8/3。阴影面积=SBMO+SNBO=1+4/3=7/3，对应 14 cm2 ，SABC=1+1+4+4=
7、10，是 60 cm2 【例6】将三角形 ABC 的 BA 边延长 1 倍到点 D，CB 边延长 2 倍到点 E，AC 边延长 3 倍到点 F，问三角形 DEF 的面积是多少?(SABC=1)分析：ABC 面积=1，CB 边延长 2 倍到点 E ABE 面积=2，也可得AED 面积=2 ABC 面积=1，AC 边延长 3 倍到点 F BCF 面积=3，也可得ADF 面积=4，根据燕尾定理：ABE 面积：FBE 面积=ABC 面积：BCF 面积，可得FBE 面积=6。总上可得：DEF 面积=2+4+2+1+3+6=18。【例7】把矩形分成 4 个不同的三角形，绿色三角形的面积是矩形面积的 15，
8、黄色三角形的面积是 21cm2求矩形面积.分析：在讲解这道题目之前，教师先介绍一个结论：如右下图，E 为矩形 ABCD 内部的任意一点，则 ABCDBCEADECDEABESSSSS21 当 E 落在矩形的某条边上时，也成立。（矩形换成平行四边形同样成立）由上面这个结论，我们就容易得到此题解答：250%15%35%21 35%60cm1黄色三角面积+绿色三角形面积 的矩形面积2黄色三角形的面积是矩形面积的那么矩形面积【例8】O 是长方形 ABCD 内一点，已知三角形 OBC 的面积是 5cm2，三角形 OAB 的面积是 2cm2，求三角形 OBD 的面积是多少?【例9】如图 20-4，四边形
9、ABCD 和四边形 DEFG 都是正方形，已知三角形 AFH的面积为 6 平方厘米，求三角形 CDH 的面积。分析：通常求三角形的面积，都是先求它的底和高。题目中没有一条线段的长度是已知的，所以我们只能通过创造等积的方法来求。直接找三角形 HDC 与三角形 AFH 的关系还很难，而且也没有利用“四边形ABCD 和四边形 DEFG 是正方形”这一条件。我们不妨将它们都补上梯形 DEFH这一块。寻找新得到大三角形 CEF 和大直角梯形 DEFA 之间的关系。经过验算，可以知道它们的面积是DABECAOD AOB DOC AOD BOC ABCD DOC DOC ABCD BDC ABCD OBDC
10、 BDC SX1SSSSS22SX5S3XS253XX=10+2X1SS5X2SSS53X5X3阴分析：设，因为即有则（）+（）-（）=相等的。从而得到三角形 HDC 与三角形 AFH 面积相等，也是 6 平方厘米。【例10】如右图所示，四边形 ABCD 与 DEFG 都是平行四边形，请你说明它们的面积相等。分析：这道题两个平行四边形的关系不太明了，似乎无从下手。我们添加一条辅助线，即连结 CE（见右下图），这时通过三角形 DCE，就把两个平行四边形联系起来了。在平行四边形 ABCD 中，三角形 DCE 的底是 DC，高与平行四边形 ABCD 边 DC上的高相等，所以平行四边形 ABCD 的面
11、积是三角形 DCE 的两倍；同理，在平行四边形 DEFG 中，三角形 DCE 的底是 DE，高与平行四边形 DEFG 边 DE 上的高相等，所以平行四边形 DEFG 的面积也是三角形 DCE 的两倍。两个平行四边形的面积都是三角形 DCE 的两倍，所以它们的面积相等。【例11】如右图，在平行四边形 ABCD 中，直线 CF 交 AB 于 E，交 DA 延长线于 F，若SADE=1，求BEF 的面积 分析：连结 AC，AB/CD，SADE=SACE 又AD/BC，SACF=SABF 而 SACF=SACE+SAEF，SABF=SBEF+SAEF SACE=SBEF，即SBEF=SADE=1 【例
12、12】右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是 4 厘米，求三角形 ABC 的面积。分析：这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大 正方形的边长没关系。连结 AD（见右上图），可以看出，三角形 ABD 与三角形 ACD 的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等。因为三角形 AFD 是三角形 ABD 与三角形 ACD 的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形ABF与三角形 FCD 面积仍然相等。根据等量代换，求三角形 ABC 的面积等于 求三角形 BCD 的面积，等于 442=8。【例13】右图中，ABCD 是 7
13、4 的长方形，DEFG 是 102 的长方形，求三角形 BCO 与三角形 EFO 的面积之差。分析：直接求出三角形 BCO 与三角形 EFO 的面积之差，不太容易做到。如果利用差不变性质，将所求面积之差转化为另外两个图形的面积之差，而这两个图形的面积之差容易求出，那么问题就解决了。法 1：连结 B，E（见右图）。三角形 BCO 与三角形 EFO 都加上三角形 BEO，则原来的问题转化为求三角形 BEC 与三角形 BEF 的面积之差。所求为 4（10-7）2-2（10-7）2=3。法 2：连结 C，F（见右图）。三角形 BCO 与三角形 EFO 都加上三角形 CFO，则原来的问题转化为求三角形
14、BCF 与三角形 ECF 的面积之差。所求为 4（10-7）2-2（10-7）2=3。法 3：延长 BC 交 GF 于 H（见右图）。三角形 BCO 与三角形 EFO 都加上梯形COFH，则原来的问题转化为求三角形 BHF 与矩形 CEFH 的面积之差。所求为（4+2）（10-7）2-2（10-7）=3。法 4：延长 AB，FE 交于 H（见右图）。三角形 BCO 与三角形 EFO 都加上梯形BHEO，则原来的问题转化为求矩形 BHEC 与直角三角形 BHF 的面积之差。所求为 4（10-7）-（10-7）（4+2）2=3。附加题目 【附 1】两个正方形组成右图所示的组合图形。已知组合图形的周
15、长是 52 厘米，DG=4 厘米，求阴影部分的面积。分析：组合图形的周长并不等于两个正方形的周长之和，因为 CG 部分重合了。用组合图形的周长减去 DG，就得到大、小正方形边长之和的三倍，所以两个正方形的边长之和等于（52-4）3=16（厘米）。又由两个正方形的边长之差是 4 厘米，可求出大正方形边长=（16+4）2=10（厘米），小正方形边长=（16-4）2=6（厘米）。阴影部分的面积：102+62-（10102）-（10+6）62=38（厘米2）。【附 2】如图（1），ABCD 是一长方形纸片，把它的左下角沿虚线 EC 折叠过去成图（2），AE 恰好是 AD 的 1/4，三角形 CDE 面
16、积是 27，三角形AHE 面积是 3，三角形 BCG 面积是 16，问三角形 DGH（阴影部分）的面积是多少？分析：三角形 ACE 面积=273=9，四边形 ABCD 面积=（27+9）+9=45,阴影部分面积=3+27+16-45=1。【附 3】图中是一块长方形草地，长方形长为 12，宽为 8，中间有一条宽为 2 的道路，求草地（阴影部分）的面积。分析：将道路进行一定的分割，如下左图所示，而后将 1、3、5 推到长方形左端，2、4、6 推倒长方形上端，那么可得下右图，阴影部分面积就为：（12-2）（8-2）=106=60。练 习 一 1将任一个三角形分成面积相等的六个三角形，用四种不同的方法
17、应怎么分？解答：2在右图中，平行四边形 ABCD 的边 BC 长 10 厘米，直角三角形 ECB 的直角边EC 长 8 厘米。已知阴影部分的总面积比三角形 EFG 的面积大 10 厘米2，求平行四边形 ABCD 的面积。解答：因为阴影部分比三角形 EFG 的面积大 10 厘米2，都加上梯形 FGCB 后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行 ABCD 比直角三角形ECB 的面积大 10 厘米2，所以平行四边形 ABCD 的面积等于 1082+10=50 厘米2。3右图中，矩形 ABCD 的边 AB 为 4 厘米，BC 为 6 厘米，三角形 ABF 比三角形 EDF的面积大
18、 9 厘米2，求 ED 的长。解答：EC=（46-9）62=5（厘米），ED=EC-DC=1（厘米）。4右图中，CA=AB=4 厘米，三角形 ABE 比三角形 CDE 的面积大 2 厘米2，求 CD 的长。解答：连结 CB。三角形 DCB 的面积为 442-2=6 厘米2，CD=642=3厘米。5右图是一块长方形草地，长方形的长是 16，宽是 10。中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，它们的宽都是 2，求草地部分的面积（阴影部分）有多大？解答：平行四边形的道路面积：102，我们可以把它置换成一个 102 的长方形，将横竖两条道路都移至边上（如右下图所示），那么草地的面积就是：（16
19、-2）（10-2）=112。6如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是 13，35，49。那么图中阴影部分的面积是多少？解答：（三角形 ABC 的面积）+（三角形 CDE 的面积）+（13+49+35）=（长方形面积）+（阴影部分面积）又因为 三角形 ABC 的面积=三角形 CDE 的面积=1/2 长方形面积 所以可得：阴影部分面积=13+49+35=97。课外知识 赶牛过河 题目：牧童骑在牛背上赶牛过河，共有甲、乙、丙、丁 4 头牛。甲牛过河需 1 分钟，乙牛过河需 2 分钟，丙牛过河需 5 分钟，丁牛过河需 6 分钟。又知，每次只能赶两头牛过河。那么牧童要把这 4 头牛
20、都赶到对岸最少要用几分钟？分析：要使用的时间最少，我们首先得让牧童骑着用时最少的牛返回。所以第一次，牧童赶甲、乙两头牛过河，用 2 分钟；然后骑甲回来，用 1 分钟；第二次，牧童赶甲、丙两头牛过河，用 5 分钟；然后再骑甲回来，用 1 分钟；第三次，牧童赶甲、丁两头牛过河，用 6 分钟；这时四头牛全部过河，总共用了：21516=15（分钟），是不是最省时呢？其实不然，最短的时间是 13 分钟，先想一想这是为什么？刚才我们只考虑回来的时间要最少，却将用时最多的两牛分开过河了。让用时最多的两牛同时过河，再骑用时较少的牛返回，不是更省时吗？所以最优的方案应该是：第一次，牧童赶甲、乙两牛过河，用 2 分钟；然后骑甲回来，用 1 分钟；第二次，牧童赶丙、丁两头牛过河，用 6 分钟；然后骑乙牛回来，用 2 分钟；第三次，最后赶甲、乙过河，用 2 分钟；这次四头牛全部过河，只需用：21622=13（分钟）。