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1、成都龙泉第二中学 2018 届高三下期 4 月月考试题 数 学（文科）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知R是实数集，集合3|1,|2MxNy yxxx，则RNC M A0,2 B2,C,2 D2,3 2.已知 i 为虚数单位，复数 z 满足22z ii，则 z=A.22i B.22i C.2 i D.2i 3.若数列na的通项公式是1(1)(32)nnan，则122018aaa A3027 B3027 C3030 D3030 4.已知0.30.4a，0.40.3b，0.20.3c，则
2、Abca Bbac Ccba Dabc 5.已知直线 l1：x2y10，直线 l2：ax2y2a0，其中实数 a1，5则直线 l1与 l2的交点位于第一象限的概率为 A.12 B.13 C.14 D.16 6九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就 书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为 1），则该“阳马”最长的棱长为 A5 B34 C41 D5 2 7在正方体DCBAABCD111中，E为线段CB1的中点，若三棱锥1ADDE 的外接球的体积为36，则正方体的棱长为 A2 B
3、22 C4 D33 8.执行如图所示的程序框图，输出的 x 的值为 A.4 B.5 C.6 D.7 9.设,a bR，则“20ab a”是“ab”的 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 10若,x y满足约束条件010203yxyxyx，则目标函数yxz 2的最小值为 A3 B0 C3 D5 11函数 sinf xx(，是常数，0，2)的部分图象如图所示，为得到函数cosyx，只需将函数 sinf xx的图象 A向左平移12个长度单位 B向右平移512个长度单位 C向左平移6个长度单位 D向右平移56个长度单位 12双曲线2222:1(0,0)x
4、yCabab的左右焦点分别为1F，2F，焦距2c，以右顶点A为圆心的圆与直线:30l xyc相切于点N，设l与C交点为P，Q，若点N恰为线段PQ的中点，则双曲线C的离心率为 A2 B3 C2 D2 2 第卷（共 90 分）本卷包括必考题和选考题两部分第(13)(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答第(22)(23)题为选考题，考生根据要求作答 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知圆22(1)4xy与抛物线22(0)ypxp的准线相切，则p _ 14在矩形ABCD中，2AB，1BC，E为BC的中点，若F为该矩形内（含边界）任意一点，则AE AF的最大值为_
5、15我国古代数学名著张邱建算经有“分钱问题”：今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得一百钱，问人几何？意思是：将钱分给若干人，第一人给 3 钱，第二人给 4 钱，第三人给 5 钱，以此类推，每人比前一人多给 1 钱，分完后，再把钱收回平均分给各人，结果每人分得 100 钱，问有多少人？则题中的人数是_.16设函数3,0,()log,xxaf xxxa其中0a 若3a，则(9)f f_；若函数()2yf x有两个零点，则a的取值范围是_ 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（本小
6、题满分 10 分）在ABC中，角A，B，C所 对 的 边 分 别 为a，b，c，且 满 足2 3 sinsinsinsinsinaCBaAbBcC（1）求角C的大小；（2）若coscos 22aBbkA（k Z）且2a，求ABC的面积 18.（本小题满分 10 分）某幼儿园有教师 30 人，对他们进行年龄状况和受教育程度的调查，其结果如下：本科 研究生 合计 35 岁以下 5 2 7 3550 岁(含 35 岁 和 50 岁)17 3 20 50 岁以上 2 1 3(1)从该幼儿园教师中随机抽取一人，求具有研究生学历的概率；(2)从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取 2 人，求有 35
7、岁以下的研究生或50 岁以上的研究生的概率.19.（本小题满分 10 分）如图所示,直线 PA 为圆 O 的切线,切点为 A,直径 BC 丄 OP,连结 AB 交 PO 于点 D.(1)证明:PA=PD;(2)证明:PA AC=AD OC.20.（本小题满分 10 分）设椭圆E的方程为222210 xyabab，点O为坐标原点，点A的坐标为0a，点B的坐标为0 b，点M在线段AB上，满足2BMMA，直线OM的斜率为41.()求椭圆E的离心率e；()PQ是圆C:215)1()2(22yx的一条直径，若椭圆经过P，Q两点，求 椭圆E的方程 21.（本小题满分 12 分）已知函数 2,32xaaf
8、xx exxae，其中e为自然对数的底数.（1）当0,0ax时，证明：2f xex；（2）讨论函数 f x极值点的个数.请考生在 22、23 两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时用 2B铅笔在答题卡把所选题目的题号涂黑.22（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 已知直线l的参数方程：sincos1tytx（t为参数），曲线C的参数方程：sincos2yx（为参数），且直线交曲线C于 A，B 两点（）将曲线C的参数方程化为普通方程，并求4时，AB的长度；（）已知点)0,1(P，求当直线倾斜角变化时，PBPA的范围 23（本小题满分 10 分）选修 45：不等
9、式选讲 设函数5(),2f xxxa xR()求证：当21a时，不等式ln()1f x 成立()关于x的不等式()f xa在 R 上恒成立，求实数a的最大值 成都龙泉第二中学 2018 届高三下期 4 月月考试题 数 学（文科）参考答案 15 DAABD 610 DCCBC 1112 AC 132 14.92 15.195 162；（2 分）4,9)（3 分）17.【答案】（1）6C；（2）312ABCS【解析】（1）由2 3 sinsinsinsinsinaCBaAbBcC得：2222 3sinabCabc，2223sin2abcCab，3sincosCC，3tan3C，6C6 分（2）由c
10、oscos 22aBbkA（k Z），得sincosaBbA，由正弦定理得sincosAA，4A 根据正弦定理可得2sinsin46c，解得2c，1131sin22sin2sin22462ABCSacBA C 12 分 18.解(1)设：“从该幼儿园教师中随机抽取一人，具有研究生学历”为事件A，由题可知幼儿园总共有教师 30 人，其中“具有研究生学历”的共 6 人.则P(A)63015.即从该幼儿园教师中随机抽取一人，具有研究生学历的概率为15.(2)设幼儿园中 35 岁以下具有研究生学历的教师为A1，A2，3550 岁(含 35 岁和 50 岁)具有研究生学历的教师为B1，B2，B3，50
11、岁以上具有研究生学历的教师为C，从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取 2 人，所有可能结果有 15 个，它们是：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C)，(B2，B3)，(B2，C)，(B3，C)，记“从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取 2 人，有 35 岁以下的研究生或 50 岁以上的研究生”为事件D，则D中的结果共有 12 个，它们是：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C)，(A2，B1)，(A2
12、，B2)，(A2，B3)，(A2，C)，(B1，C)，(B2，C)，(B2，C)，故所求概率为P(D)121545.即从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取 2 人，有 35 岁以下的研究生或 50 岁以上的研究生的概率为45.19.证明：(1)直线PA为圆O的切线,切点为A,BC为圆O的直径,.(2)连接,由(1)得,.【解析】本题主要考查弦切角定理、三角形相似、圆的性质,考查了逻辑思维能力.(1)由弦切定理,结合直角三角形的性质证明,即可证明结论;(2)由(1),易得,则结论易得.20.（I）A0a，B0 b，点M在线段AB上，满足 2BMMAM)3,32(ba，412abkOM，21
13、ab 23)(12abac椭圆E的离心率e为23(II)解：由（I）知，椭圆的方程为22244xyb.(1)依题意，圆心)1,2(C是线段PQ的中点，且30PQ.易知，PQ不与x轴垂直，设其直线方程为(2)1yk x，代入(1)得2222(1 4)8(21)4(21)40kxkkxkb 设),(,),(2211yxQyxP则22141)12(8kkkxx,22221414)12(4kbkxx 由124xx，得28(21)4,1 4kkk解得12k.从而21282x xb.于是4254)(25)21(1221221212bxxxxxxPQ 由30PQ，得304252b，6422b解得52b 故椭
14、圆的方程为152022yx.21.解：（1）依题意，xf xxe，故原不等式可化为2xxeex，因为0 x，只要证0 xeex，记,0 xg xeexx，则,0 xgxeex 当01x时，0gx，g x单调递减；当1x 时，0gx，g x单调递增 所以 10g xg，即 2f xex，原不等式成立.（2）211213232xxfxeaxaxx eaxa 11xxeax x 1xxeax 记 ,xxh xeax hxea（）当0a 时，0 xhxea，h x在R上单调递增，010h，1110ahea 所以存在唯一 001,0,0 xh xa，且当0 xx时，0h x；当 0,0 xx h x 若
15、01x ，即1ae 时，对任意 1,0 xfx，此时 f x在R上单调递增，无极值点 若01x ，即10ae时，此时当0 xx或1x 时，0fx.即 f x在0,1,x 上单调递增；当01xx 时，0fx，即 f x在0,1x 上单调递减；此时 f x有一个极大值点0 x和一个极小值点1 若010 x，即1ae 时，此时当1x 或0 xx时，0fx.即 f x在0,1,x 上单调递增；当01xx 时，0fx，即 f x在01,x上单调递减：此时 f x有一个极大值点1和一个极小值点0 x.（）当0a 时，xf xxe，所以 1xfxxe，显然 f x在,1 单调递减；在1,上 单调递增；此时
16、f x有一个极小值点1，无极大值点（）当0ae时，由（1）可知，对任意 0,0 xxxh xeaxeex，从而 0h x 而对任意 0,0 xxxh xeaxe，所以对任意,0 xR h x 此时令 0fx，得1x ；令 0fx，得1x 所以 f x在,1 单调递减；在1,上单调递增；此时 f x有一个极小值点1，无极大值点 （）当ae时，由（1）可知，对任意,0 xxxR h xeaxeex，当且仅当1x 时取等号 此时令 0fx，得1x ；令 0fx得1x 所以 f x在,1 单调递减；在1,上单调递增；此时 f x有一个极小值点1，无极大值点 综上可得：当1ae 或10ae时，f x有两
17、个极值点；当1ae 时，f x无极值点；当0ae时，f x有一个极值点.22.解：（）曲线C的参数方程：sincos2yx（为参数），曲线C的普通方程为1222 yx2 分 当4时，直线AB的方程为1 xy，3 分 代入1222 yx，可得0432 xx，34,021xx.23403411AB；5 分（）直线参数方程代入1222 yx，得01cos2)sin2(cos222tt7 分 设BA,对应的参数为21,tt，1,21sin11sin2cos122221ttPBPA10 分 23.（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 23.解析：(1)证明：由51()|22f xxx1222153225222xxxxx 2 分 得函数()f x的最小值为 3，从而()3f xe，所以ln()1f x 成立.5 分(2)由绝对值的性质得555()|()()|222f xxxaxxaa，7 分 所以()f x最小值为5|2a，从而5|2aa，8 分 解得54a，9 分 因此a的最大值为54.10 分