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1、数数值值计计算算基基础础期期末末试试题题及及解解答答-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1数值计算基础考试样卷数值计算基础考试样卷一、单项选择题（每小题一、单项选择题（每小题 3 3 分，共分，共 1515 分）分）1、数值 x 的近似值 x*=0.1215102，若满足x x()，则称 x 有 4 位有效数字.(A)103 (B)104 (C)105 (D)106121212122、若Ak为矩阵 A 的 k 阶主子矩阵，则矩阵 A 满足（）时，则存在唯一单位下三角阵L和上三角阵R，使A LR。(A)A 0(B)某个Ak 0(C)Ak 0(k 1,n1)(D)Ak
2、 0(k 1,n)3、通过四个互异节点的插值多项式 P(x)，只要满足(),则 P(x)是不超过一次多项式。(A)初始值 y0=0 (B)所有一阶均差为 0(C)所有二阶均差为 0 (D)所有三阶均差为 04、牛顿切线法求解方程 f(x)=0的近似根，若初始值 x0满足()，则解的迭代数列一定收敛。(A)f(x0)f(x0)0(C)f(x)f(x)0 (D)f(x)f(x)05、改进欧拉法的平均形式公式是()yp yk hf(xk,yk)yp yk hf(xk,yk)(A)yc yk hf(xk,yp)(B)yc yk hf(xk,yp)1yk1(yp yc)yk(yp yc)2yp yk h
3、f(xk,yk)yp yk hf(xk,yk)(C)yc yk hf(xk,yp)(D)yc yk hf(xk,yp)hyk(yp yc)yk(yp yc)二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 3 分，共分，共 1515 分）分）1、sin1 有 2位有效数字的近似值 0.84 的相对误差限是.22、设 f(x)可导，求方程 x=f(x)根的牛顿迭代格式是 .3、设f(x)2x2 4，则f1,2 .4、在区间a,b上的插值型求积公式系数A0,A1,An满足A0 A1An .5、二阶龙格库塔法的局部截断误差是 .三、解答题（每小题三、解答题（每小题 1010 分，共分，共 5050 分）分）
4、1、用列主元消去法解线性方程组 240 x15311x92 220 x332、用牛顿法求6的近似值，取初始值x0 2，进行二次迭代。3、已知有 y=f(x)的函数表如下xy112337求其代数插值多项式并给出其余项。4、给出数值积分公式：多少？hh1f(x)dx Af(h)Bf(h)3确定 A、B使得该数值积分公式的代数精度尽可能的高，并确定其代数精度为5、用欧拉法解初值问题，要求保留 4位有效数字。y x y(0 x 1,h 0.5)y(0)1四、综合题（每小题四、综合题（每小题 1010 分，共分，共 2020 分）分）31、试利用数值积分的方法推导求解初值问题的梯形公式为hyn1 yn
5、f(xn,yn)f(xn1,yn1)，并证明该方法是二阶方法。22、设 l0(x)是以 n+1个互异点 x0,x1,x2,xn为节点的拉格朗日插值基函数l(x)(x x)(x x).(x xn)(x x)(x x).(x xn)试利用牛顿插值法证明：l0(x)1(x x0)(x x0)(x x1)(x x0)(x x1).(x xn1).(x0 x1)(x0 x1)(x0 x2)(x0 x1)(x0 x2).(x0 xn)4数值计算基础考试样卷数值计算基础考试样卷参考答案参考答案一、单项选择题（每小题一、单项选择题（每小题 3 3 分，共分，共 1515 分）分）1、D 2、D 3、C 4、B
6、 5、D二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 3 分，共分，共 1515 分）分）1、1102111012816 0.006252、xxk f(xk)k1 xk1 f(x)k3、64、b-a5、O(h3)三、解答题（每小题三、解答题（每小题 1010 分，共分，共 5050 分）分）1、解：24053119 31192203r2r1r(22)r124053r 23r1220333119 8 分1423119 r34r1420331720318230339 0025977回代得x 591132,x2 4,x1 2 2 分2、解：f(x)x26，f(x)2x,(x)x f(x)f(x)12(x
7、 6)，x16n12(xnx)nx0 2x112(2 62)53 分2 2.500 x15124922(25)20 2.4505分 73、解法一：待定系数法设P2(x)a0 a1x a2x2，则（3 分）a0a1a21a01a 2a 4a 30a1 1（3 分）12a 3a 9a 7a 11202即P2(x)x2 x 1（1 分）法二：Lagrange插值法P2(x)yili(x)i02(3分)(3分)(1分)(x2)(x3)(x1)(x3)(x1)(x2)137(12)(13)(21)(23)(31)(32)x2 x1法三：Newton插值法xi123yi137一阶差商241二阶差商（3 分
8、）N2(x)f(x0)fx0,x1(x x0)fx0,x1,x2(x x0)(x x1)12(x1)(x1)(x2)x2 x1余项为R2(x)4、f()(x1)(x2)(x3)（3 分）6（4 分）6解：令f(x)1,x时，该公式精确成立，则 2分1A B 2hA 2h A1B 03 4 分3B 2h即hf(x)1hdx 2hf(h)32hf(13h)1 分令f(x)x2左=h2hx2dx h3，右=1h(h)232h(123h)23h332左令f(x)x3左=hhx3dx 0，右=12h(h)33142h(3h)3 9h4左 1即公式的代数精度为 2次 1 分5、解：使用欧拉法计算公式为yn
9、1 yn hf(xn,yn)yn h(xn yn)(1 h)y 6 分n hxn1.5yn 0.5xny11.5y00.5x01.510.50 2 分1.500y21.5y10.5x11.51.50000.50.5 2 分 2.500四、综合题（每小题四、综合题（每小题 1010 分，共分，共 2020 分）分）1、解：7分分 1y(xn1)y(xn)xn1xnhf(x,y(x)dx f(xn,y(xn)f(xn1,y(xn1)2h yn1 yn f(xn,yn)f(xn1,yn1)2 4 分阶次的证明：即证y(xn1)yn1 O(h3)y(xn1)y(xn)y(xn)h y(xn)2h O(
10、h3)(1)2分2hyn1 yn f(xn,yn)f(xn1,yn1)2令yn y(xn)，右边的yn1 y(xn1)hyn1 y(xn)f(xn,y(xn)f(xn1,y(xn1)2y(xn)h y(xn)y(xn)y(xn)h O(h2)(2)2分21y(xn)2 y(xn)y(xn)h h O(h3)2(1)(2),得y(xn1)yn1 O(h3)2 分2、证明：显然l0(x0)1,l0(x1)0,l0(x2),.l0(xn)0 2 分l0 x0,x1,xk l0(xi)l0(x0)1 2分(x)(x)(x x)(x x)(x x)i0i001020kk则 l0(x)的牛顿插值多项为：Nn(x)1(x x0)(x x0)(x x1)(x x0)(x x1).(x xn1).(x0 x1)(x0 x1)(x0 x2)(x0 x1)(x0 x2).(x0 xn)82分又因为l0(n1)(x)0，故有(n1)l()l0(x)Nn(x)0(x x0)(x x1).(x x)0 2 分(n1)!所以有l0(x)Nn(x)1(x x0)(x x0)(x x1)(x x0)(x x1).(x xn1).(x0 x1)(x0 x1)(x0 x2)(x0 x1)(x0 x2).(x0 xn)2 分9