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1、2020-2021全国各地备战中考数学分类：一元二次方程组综合题汇编及详细答案 一、一元二次方程 1机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台设备润滑用油量为 90kg，用油的重复利用率为 60%，按此计算，加工一台设备的实际耗油量为 36kg，为了倡导低碳，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关（1）甲车间通过技术革新后，加工一台设备润滑油用油量下降到 70kg，用油的重复利用率仍然为 60%，问甲车间技术革新后，加工一台设备的实际油耗量是多少千克？（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑油用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础
2、上，润滑用油量每减少 1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，例如润滑用油量为 89kg 时，用油的重复利用率为 61.6%润滑用油量为 80kg，用油量的重复利用率为多少？已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到 12kg，问加工一台设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？【答案】（1）28（2）76%75，84%【解析】试题分析：（1）直接利用加工一台设备润滑油用油量下降到 70kg，用油的重复利用率仍然为 60%，进而得出答案；（2）利用润滑用油量每减少 1kg，用油的重复利用率将增加 1.6%，进而求出答案；首先表示出用油的重复利用率，进而利用乙车间技术革新后实际耗油量下降到
3、12kg，得出等式求出答案 试题解析：（1）根据题意可得：70（160%）=28（kg）；（2）60%+1.6%（9080）=76%；设润滑用油量是 x 千克，则 x160%+1.6%（90 x）=12，整理得：x265x750=0，（x75）（x+10）=0，解得：x1=75，x2=10（舍去），60%+1.6%（90 x）=84%，答：设备的润滑用油量是 75 千克，用油的重复利用率是 84%考点：一元二次方程的应用 2已知 x1、x2是关于 x 的元二次方程（a6）x2+2ax+a=0 的两个实数根（1）求 a 的取值范围；（2）若（x1+1）（x2+1）是负整数，求实数 a 的整数值【
4、答案】（1）a0 且 a6;（2）a 的值为 7、8、9 或 12【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；（2）根据根与系数的关系可得 x1+x2=26aa ，x1x2=6aa ，由（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=66a 是是负整数，即可得66a是正整数根据 a 是整数，即可求得 a 的值 2【详解】（1）原方程有两实数根，a0 且 a6（2）x1、x2是关于 x 的一元二次方程（a6）x2+2ax+a=0 的两个实数根，x1+x2=，x1x2=，（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=+1=（x1+1）（x2+
5、1）是负整数，是负整数，即是正整数 a 是整数，a6 的值为 1、2、3 或 6，a 的值为 7、8、9 或 12【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于a 的不等式是解此题的关键 3解方程：2332302121xxxx【答案】x=15或 x=1【解析】【分析】设321xyx，则原方程变形为 y2-2y-3=0,解这个一元二次方程求 y，再求 x【详解】解：设321xyx，则原方程变形为 y2-2y-3=0 解这个方程，得 y1=-1,y2=3,3121xx 或3321xx 解得 x=15或 x=1 经检验：x=15或 x=1 都是原方程的解 原方
6、程的解是 x=15或 x=1【点睛】考查了还原法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根 4已知：关于 的方程有两个不相等实数根（1）用含 的式子表示方程的两实数根；（2）设方程的两实数根分别是，（其中），且，求 的值【答案】（I）kx2+（2k3)x+k3=0 是关于 x 的一元二次方程 由求根公式，得 或（II），而，由题意，有 即（）解之，得 经检验是方程（）的根，但，【解析】（1）计算=（2k-3）2-4k（k-3）=90，再利用求根公式即可求出方程的两根即可；（2）有（1）可知方程的两根，
7、再有条件 x1x2，可知道 x1 和 x2 的数值，代入计算即可 一位数学老师参加本市自来水价格听证会后，编写了一道应用题，题目如下：节约用水、保护水资源，是科学发展观的重要体现.依据这种理念，本市制定了一套节约用水的管理措施，其中规定每月用水量超过（吨）时，超过部分每吨加收环境保护费元.下图反映了每月收取的水费（元）与每月用水量（吨）之间的函数关系.请你解答下列问题：5 1.735=59.5，1.780=136151 这家酒店四月份用水量不超过 m 吨（或水费是按 y=1.7x 来计算的），五月份用水量超过 m 吨（或水费是按来计算的）则有 151=1.780+（80m）即 m280m+15
8、00=0 解得 m1=30，m2=50 又 四月份用水量为 35 吨，m1=3035，m1=30 舍去 m=50 【解析】6元旦期间，某超市销售两种不同品牌的苹果,已知 1 千克甲种苹果和 1 千克乙种苹果的进价之和为 18 元.当销售 1 千克甲种苹果和 1 千克乙种苹果利润分别为 4 元和 2 元时,陈老师购买 3 千克甲种苹果和 4 千克乙种苹果共用 82 元.（1）求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元？（2）在（1）的情况下，超市平均每天可售出甲种苹果 100 千克和乙种苹果 140 千克，若将这两种苹果的售价各提高 1 元，则超市每天这两种苹果均少售出 10 千克，超市决定把这两
9、种苹果的售价提高 x 元，在不考虑其他因素的条件下，使超市销售这两种苹果共获利960 元，求 x 的值.【答案】（1）甲、乙两种苹果的进价分别为 10 元/千克,8 元/千克；（2）x的值为 2 或 7.【解析】【分析】（1）根据题意列二元一次方程组即可求解,（2）根据题意列一元二次方程即可求解.【详解】（1）解：设甲、乙两种苹果的进价分别为a元/千克,b元/千克.由题得：18344282abab 解之得：108ab 答：甲、乙两种苹果的进价分别为 10 元/千克,8 元/千克 （2）由题意得：4100 102140 10960 xxxx 解之得：12x，27x 经检验，12x，27x 均符合
10、题意 答：x的值为 2 或 7.【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的实际应用,中等难度,列方程是解题关键.7已知关于 x 的一元二次方程220 xmxm（m 为常数）（1）求证：不论 m 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根是 2，求 m 的值及方程的另一个根【答案】(1)见解析；(2)即 m 的值为 0，方程的另一个根为 0.【解析】【分析】（1）可用根的判别式，计算判别式得到=(m+2)241 m=m2+40，则方程有两个不相等实数解，于是可判断不论 m 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的另一个根为 t，利用根与系数的关系得到 2+t=21m
11、,2t=m,最终解出关于 t和 m 的方程组即可.【详解】(1)证明：=(m+2)241 m=m2+4，无论 m 为何值时 m20，m2+440，即 0，所以无论 m 为何值，方程总有两个不相等的实数根.(2)设方程的另一个根为 t，220 xmxm 根据题意得 2+t=21m,2t=m，解得 t=0，所以 m=0，即 m 的值为 0，方程的另一个根为 0.【点睛】本题考查根的判别式和根于系数关系，对于问题（1）可用根的判别式进行判断，在判断过程中注意对 的分析，在分析时可借助平方的非负性；问题（2）可先设另一个根为 t，用根于系数关系列出方程组，在求解.8已知关于 x 的一元二次方程 x2+
12、（2m+3）x+m2=0 有两根，（1）求 m 的取值范围；（2）若111，则 m 的值为多少？【答案】（1）14m；（2）m 的值为 3【解析】【分析】（1）根据 0 即可求解,（2）化简11,利用韦达定理求出+，,代入解方程即可.【详解】解：（1）由题意知，（2m+3）241m20，解得：m-34；（2）由根与系数的关系得：+=（2m+3），=m2，111 ，即=-1,2m3m2（）=-1,整理得 m22m3=0 解得：m1=1，m1=3，由（1）知 m-34，m1=1 应舍去，m 的值为 3【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及韦达定理，对根进行判断是正确解题的关键.9已知两条线段
13、长分别是一元二次方程28120 xx的两根，（1）解方程求两条线段的长。（2）若把较长的线段剪成两段，使其与另一段围成等腰三角形，求等腰三角形的面积。（3）若把较长的线段剪成两段，使其与另一段围成直角三角形，求直角三角形的面积。【答案】（1）2 和 6；（2）2 2；（3）83【解析】【分析】（1）求解该一元二次方程即可;（2）先确定等腰三角形的边，然后求面积即可；（3）设分为两段分别是x和6x，然后用勾股定理求出 x，最后求面积即可.【详解】解：（1）由题意得260 xx，即：2x 或6x，两条线段长为 2 和 6；（2）由题意，可知分两段为分别为 3、3，则等腰三角形三边长为 2，3，3，
14、由勾股定理得：该等腰三角形底边上的高为：2231=2 2 此等腰三角形面积为12 2 22=2 2（3）设分为x及6x两段 22226xx 83x，2823xS，面积为83.【点睛】本题考查了一元二次方程、等腰三角形、直角三角形等知识，考查知识点较多，灵活应用所学知识是解答本题的关键.10已知1x、2x是关于x的方程222(1)50 xmxm的两个不相等的实数根.(1)求实数m的取值范围;(2)已知等腰ABC的一边长为 7，若1x、2x恰好是ABC另外两边长，求这个三角形的周长.【答案】（1）m2;(2)17【解析】试题分析：（1）由根的判别式即可得；（2）由题意得出方程的另一根为 7，将 x
15、=7 代入求出 x 的值，再根据三角形三边之间的关系判断即可得 试题解析：解：（1）由题意得=4（m+1）24（m2+5）=8m160，解得：m2；（2）由题意，x1x2时，只能取 x1=7 或 x2=7，即 7 是方程的一个根，将 x=7 代入得：4914（m+1）+m2+5=0，解得：m=4 或 m=10 当 m=4 时，方程的另一个根为 3，此时三角形三边分别为 7、7、3，周长为 17；当 m=10 时，方程的另一个根为 15，此时不能构成三角形；故三角形的周长为 17 点睛：本题主要考查判别式、三角形三边之间的关系，熟练掌握韦达定理是解题的关键 11已知关于 x 的方程 mx2+(3
16、m)x3=0(m 为实数，m0)(1)试说明：此方程总有两个实数根(2)如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数 m 的值.【答案】(1)2243bacm0；(2)m=-1,-3.【解析】分析:（1）先计算判别式得到=（m-3）2-4m（-3）=（m+3）2，利用非负数的性质得到 0，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）利用公式法可求出 x1=3m，x2=-1，然后利用整除性即可得到 m 的值 详解:（1）证明：m0，方程 mx2+（m-3）x-3=0（m0）是关于 x 的一元二次方程，=（m-3）2-4m（-3）=（m+3）2，（m+3）20，即 0，方程总有两个实数根；（2）解：x=3
17、32mmm，x1=-3m，x2=1，m 为正整数，且方程的两个根均为整数，m=-1 或-3 点睛:本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式=b2-4ac：当 0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有实数根也考查了解一元二次方程 12若关于 x 的一元二次方程 x23x+a20 有实数根（1）求 a 的取值范围；（2）当 a 为符合条件的最大整数，求此时方程的解【答案】（1）a174；（2）x=1 或 x=2【解析】【分析】（1）由一元二次方程有实数根，则根的判别式=b24ac0，建立关于 a 的不等式，即可求出 a 的取值范围；（2
18、）根据（1）确定出 a 的最大整数值，代入原方程后解方程即可得.【详解】（1）关于 x 的一元二次方程 x23x+a2=0 有实数根，0，即（3）24（a2）0，解得 a174；（2）由（1）可知 a174，a 的最大整数值为 4，此时方程为 x23x+2=0，解得 x=1 或 x=2【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程根的情况与判别式 的关系：（1）0 方程有两个不相等的实数根；（2）=0 方程有两个相等的实数根；（3）0 方程没有实数根 13已知关于 x 的方程（a1）x2+2x+a10（1）若该方程有一根为 2，求 a 的值及方程的另一根；（2）当 a
19、 为何值时，方程的根仅有唯一的值？求出此时 a 的值及方程的根【答案】（1）a=15，方程的另一根为12；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）把 x=2 代入方程，求出 a 的值，再把 a 代入原方程，进一步解方程即可；（2）分两种情况探讨：当 a=1 时，为一元一次方程；当 a1 时，利用 b24ac0 求出 a 的值，再代入解方程即可【详解】（1）将 x2 代入方程2(a1)x2xa10，得4(a1)4a10，解得：a15 将 a15代入原方程得24x2054x5，解得：x112，x22 a15，方程的另一根为12；（2）当 a1 时，方程为 2x0，解得：x0.当 a1 时，由 b2
20、4ac0 得 44(a1)20，解得：a2 或 0 当 a2 时，原方程为：x22x10，解得：x1x21；当 a0 时，原方程为：x22x10，解得：x1x21 综上所述，当 a1，0，2 时，方程仅有一个根，分别为 0，1，1.考点：1.一元二次方程根的判别式；2.解一元二次方程；3.分类思想的应用.14已知：关于 x 的一元二次方程221(1)204xmxm.（1）若此方程有两个实数根，求没m的最小整数值；（2）若此方程的两个实数根为1x，2x，且满足22211221184xx xmx，求m的值.【答案】（1）-4；（2）m=3【解析】【分析】（1）利用根的判别式的意义得到 0，然后解不
21、等式得到 m 的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；（2）利用根与系数的关系得到12(1)xxm，212124x xm，然后解关于 m 的一元二次方程，即可确定 m 的值【详解】解：（1）221(1)204xmxm有两个实数根，221(1)4 1(2)04mm ，290m，92m ；m 的最小整数值为：4m ；（2）由根与系数的关系得：12(1)xxm，212124x xm，由22212121184xxx xm得：22211121844mmm 22150mm，解得：3m 或5m；92m ，3m.【点睛】本题考查了根与系数的关系：若 x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的两根
22、时，则12bxxa，12cx xa也考查了根的判别式解题的关键是熟练掌握根与系数的关系和根的判别式.15阅读材料：各类方程的解法 求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为 x=a 的形式。求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解：求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解。求解分式方程，把它转化为整式方程来解。各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想-转化，把未知转化为已知。用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程。例如，一元三次方程3220 xxx，可以通过因式分解把它转化为2(2)0 x xx，解方程0 x 和220 xx，可得方程3220 xx
23、x的解。（1）问题：方程3220 xxx的解是10 x，2x _，3x _。（2）拓展：用“转化”思想求方程43xx的解。（3）应用：如图，已知矩形草坪 ABCD 的长6ADm，宽4ABm，小华把一根长为10m 的绳子的一端固定在点 B，沿草坪边沿 BA，AD 走到点 P 处，把长绳 PB 段拉直并固定在点 P，然后沿草坪边沿 PD、DC 走到点 C 处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点 C。求 AP 的长。【答案】（1）2，-1;（2）1，3 ;（3）3m.【解析】【分析】（1）因式分解多项式，然后得结论；（2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，验根即可；（3）设 AP
24、的长为 xm，根据勾股定理和 BP+CP=10，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解即可.【详解】（1）x3-x2-2x=0，x（x2-x-2）=0，x（x-2）（x+1）=0 所以 x=0 或 x-2=0 或 x+1=0 x1=0，x2=2，x3=-1；故答案为：2，-1；（2）43xx 方程的两边平方，得 4x-3=x2 即 x2-4x+3=0（x-3）（x-1）=0 x-3=0 或 x-1=0 x1=3，x2=1，当 x=3 或 1 时,43x有意义，故是方程的解.（3）因为四边形 ABCD 是矩形，所以 A=D=90，AB=CD=4m,设 AP=xm，则 PD=（6-x）m 因为 BP+CP=10，BP=22216APABx,CP=22216(6)DCPDx,所以216(6)x=10-216x 两边平方，得 16+(6-x)2=100-20216x+x2+16 整理，得 3x+16=5216x,两边平方并整理，得 x2-6x+9=0 即（x-3）2=0 所以 x=3 经检验，x=3 是方程的解 答：AP 的长为 3m【点睛】考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法解无理方程是注意到验根解决（3）时，根据勾股定理和绳长，列出方程是关键