《(黄冈名师)2020版高考数学大一轮复习核心素养提升练六十八12.9离散型随机变量的均值与方差理(含.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(黄冈名师)2020版高考数学大一轮复习核心素养提升练六十八12.9离散型随机变量的均值与方差理(含.pdf（16页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、核心素养提升练六十八 离散型随机变量的均值与方差（30 分钟 60 分)一、选择题（每小题 5 分,共 25 分)1.若离散型随机变量 X 的分布列为 X 0 1 P 则 X 的数学期望 E（X）等于（)A.2 B。2 或 C.D。1【解析】选 C.由题意，+=1，a0，所以 a=1，所以 E(X)=0+1=。2.已知 X 的分布列为 X 1 0 1 P 则在下列式子中E（X)=；D(X）=;P（X=0)=,正确的个数是（)A。0 B。1 C。2 D.3【解析】选 C。由 E（X）=（1)+0+1=，知正确;由 D（X)=+=,知不正确；由分布列知正确。3。节日期间，某种鲜花进货价是每束 2。
2、5 元，销售价为每束 5 元;节日卖不出去的鲜花以每束 1。6 元价格处理.根据前五年销售情况预测,节日期间这种鲜花的需求量 X 服从如表所示的分布:X 200 300 400 500 P 0.20 0.35 0。30 0。15 若购进这种鲜花 500 束,则利润的均值为(）A.706 元 B.690 元 C。754 元 D。720 元【解析】选 A。由分布列可以得到 E（X）=2000。2+3000。35+4000。3+5000.15=340，所以利润是(3405+1601.6)5002。5=706（元）.4.已知 X 是离散型随机变量,P(X=1）=，P（X=a)=，E(X）=，则 D（2
3、X1）=()A。B.C.D。【解析】选 B.因为 X 是离散型随机变量,P(X=1)=,P（X=a）=，E(X)=,所以由已知得 1+a=，解得 a=2，所以 D(X）=1-2+22=，所以 D(2X-1)=22D（X）=4=。【变式备选】已知离散型随机变量 的概率分布如下：0 1 2 P 0.3 3k 4k 随机变量=2+1,则 的数学期望为（)A.1。1 B。3.2 C.11k D。22k+1【解析】选 B。由 0。3+3k+4k=1 得 k=0.1，所以 E（）=00。3+10.3+20。4=1。1，E(）=2E(）+1=21。1+1=3.2.5.如果 XB（20,p),当 p=且 P（
4、X=k)取得最大值时,k 的值为(）A.9 B.10 C.11 D.12【解析】选 B。当 p=时,P(X=k）=，显然当 k=10 时，P(X=k）取得最大值。二、填空题（每小题 5 分,共 15 分)6.有一批产品，其中有 12 件正品和 4 件次品，从中有放回地任取 3 件，若 X 表示取到次品的次数,则 D（X)=_.【解析】因为 XB,所以 D（X）=3 =.答案:【变式备选】设随机变量 XB（8，p）,且 D（X）=1。28,则概率 p 的值是_.【解析】由 D（X)=8p(1-p)=1。28,所以 p=0。2 或 p=0.8.答案：0。2 或 0.8 7。设随机变量 的分布列如下
5、表所示：0 1 2 P a b c 其中 a,b,c 成等差数列，若随机变量 的均值为，则 的方差为_.【解析】由题意有 a+b+c=1，2b=a+c,b+2c=，解得 a=,b=,c=，则其方差为 D（)=+=。答案:8.据统计，一年中一个家庭万元以上的财产被窃的概率为 0。005,保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，交保险费 100 元,若一年内万元以上财产被窃，保险公司赔偿 a 元（a1 000），为确保保险公司有可能获益，则 a 的取值范围是_.【解题指南】转化为求保险公司在参保人身上的收益的期望问题,由此列不等式求解.【解析】X 表示保险公司在参加保险者身上的收益，其概率分布列为
6、：X 100 100a P 0。995 0.005 E（X)=0。995100+（100-a)0.005=100.若保险公司获益，则期望大于 0，解得 a20 000,所以 a（1 000,20 000）。答案：（1 000，20 000）三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)9.若 n 是一个三位正整数,且 n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称 n 为“三位递增数”(如 137,359，567 等).在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取 1 个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数的三个数字之积不能被 5 整除，参加者得
7、0 分;若能被 5 整除,但不能被 10 整除,得-1 分；若能被 10 整除，得 1 分。(1）写出所有个位数字是 5 的“三位递增数”；(2）若甲参加活动,求甲得分 X 的分布列和数学期望 E（X）。【解析】（1）个位数字是 5 的“三位递增数有 125，135，145,235,245，345。（2)由题意知,全部“三位递增数”的个数为=84,随机变量 X 可能的取值为 0,-1，1,因此 P(X=0)=，P（X=-1)=,P（X=1)=1-=,所以 X 的分布列为 X 0-1 1 P 则 E(X）=0+（-1)+1=。10。某牛奶厂要将一批牛奶用汽车从所在城市甲运至城市乙,已知从城市甲到
8、城市乙只有两条公路,且运费由厂商承担.若厂商恰能在约定日期（月日)将牛奶送到,则城市乙的销售商一次性支付给牛奶厂 20 万元;若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给牛奶厂 1万元；若在约定日期后送到，每迟到一天销售商将少支付给牛奶厂 1 万元。为保证牛奶新鲜度,汽车只能在约定日期的前两天出发，且只能选择其中的一条公路运送牛奶，已知下表内的信息：统计 信息 汽车行 驶路线 在不堵车的情况下到达城市乙所需时间（天）在堵车的情况下到达城市乙所需时间（天）堵车 的 概率 运费（万元）公路 1 2 3 1.6 公路 2 1 4 0。8（1）记汽车选择公路 1 运送牛奶时牛奶厂获得的毛收入为(单位
9、：万元)，求 的分布列和均值 E(）.（2)选择哪条公路运送牛奶有可能让牛奶厂获得的毛收入更多？（注:毛收入=销售商支付给牛奶厂的费用-运费）【解析】（1)若汽车走公路 1,不堵车时牛奶厂获得的毛收入=201.6=18.4(万元);堵车时牛奶厂获得的毛收入=201.6-1=17.4(万元),所以汽车走公路 1 时牛奶厂获得的毛收入 的分布列为:18。4 17.4 P E()=18.4+17。4=18。3(万元)。（2）设汽车走公路 2 时牛奶厂获得的毛收入为，则 不堵车时牛奶厂获得的毛收入=200.8+1=20.2(万元）；堵车时牛奶厂获得的毛收入=200.82=17.2（万元）。所以汽车走公
10、路 2 时牛奶厂获得的毛收入 的分布列为 20.2 17。2 P E()=20。2+17.2=18。7(万元).因为 E（）E(）,所以选择公路 2 运送牛奶有可能让牛奶厂获得的毛收入更多。【变式备选】有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设，为了对重点建设负责,政府到两建材厂抽样检查,他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指标，其分布列如下：X 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2 Y 8 9 10 P 0.4 0。2 0.4 其中 X 和 Y 分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，在使用时要求选择较高抗拉强度指数的材料，越稳定越好.试从均值与方差的指标分析该用哪个厂的材料.【解析】E
11、(X)=80.2+90。6+100。2=9,D(X）=(89)20。2+(99)20。6+(109）20.2=0。4;E（Y)=80。4+90。2+100。4=9,D（Y）=（8-9)20。4+（99）20.2+(109）20.4=0。8。由此可知，E(X）=E（Y)=9,D(X）D（Y),从而两厂材料的抗拉强度指数平均水平相同，但甲厂材料相对稳定,应选甲厂的材料。（20 分钟 40 分)1.（5 分）某运动员投篮命中率为 0.6,他重复投篮 5 次,若他命中一次得 10 分，没命中不得分；命中次数为 X，得分为 Y，则 E(X),D（Y)分别为（)A.0.6，60 B.3,12 C。3,12
12、0 D。3,1。2【解析】选 C。XB(5，0.6)，Y=10X，所以 E（X）=50。6=3,D（X）=50.60。4=1.2。D(Y）=100D（X）=120.2.(5 分）有 10 件产品，其中 3 件是次品，从这 10 件产品中任取两件,用 表示取到次品的件数，则 E(）等于（）A.B。C。D.1【解析】选 A。服从超几何分布 P(=x）=(x=0,1，2），则 P(=0）=，P(=1）=,P(=2）=.故 E()=0+1+2=.3.（5 分）已知 X 是离散型随机变量，P（X=x1）=，P（X=x2)=,且 x1x2,若 E(X)=，D(X)=，则 x1+x2=_。【解析】由题意得,
13、E(X)=x1+x2=,D(X)=+=,由得 x1+x2=3。答案：3 4。（12 分)某班同学利用国庆节进行社会实践,对25,55岁的人群随机抽取 n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查,若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”,得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图:组数 分组 低碳族的人数 占本组的频率 第一组 25,30)120 0.6 第二组 30,35)195 p 第三组 35,40)100 0.5 第四组 40，45）a 0。4 第五组 45，50)30 0。3 第六组 50,55 15 0。3 （1）补全频率分布直方图，并求 n,a,p 的值。（
14、2)从40,50)岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取 18 人参加户外低碳体验活动,其中选取 3 人作为领队，记选取的 3 名领队中年龄在40,45）岁的人数为 X，求 X 的分布列和均值 E（X）.【解析】(1)因为第二组的频率为 1(0。04+0.04+0.03+0。02+0。01)5=0。3，所以高为=0.06.频率分布直方图补全如下:因为第一组的人数为=200，频率为 0.045=0.2，所以 n=1 000.第二组的频率为 0。065=0。3,故第二组的人数为 1 0000。3=300，因此 p=0。65.由题意可知,第四组的频率为 0.035=0。15，故第四组的人数为 1
15、000 0。15=150,因此 a=1500.4=60.(2)因为40，45)岁年龄段的“低碳族”与45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为6030=21，所以采用分层抽样法抽取 18 人,40，45)岁中有 12 人,45,50）岁中有 6 人.可知随机变量 X 服从超几何分布,所以 P（X=0)=，P(X=1)=,P（X=2)=,P(X=3）=。所以随机变量 X 的分布列为:X 0 1 2 3 P 所以 E（X)=0+1+2+3=2.【变式备选】（2018山东师大附中模拟)为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者。从符合条件的 500 名志愿者中随机抽取 100 名志愿者,
16、其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是20，25),25,30)，30，35)，35,40),40,45。(1)求图中 x 的值并根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中,年龄在35,40)岁的人数。（2)在抽出的 100 名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取 20 名参加中心广场的宣传活动,再从这 20 名中采用简单随机抽样方法选取 3 名志愿者担任主要负责人。记这 3 名志愿者中“年龄低于 35 岁”的人数为 X,求 X 的分布列及均值。【解析】(1）因为小矩形的面积等于频率,所以除35，40)外的频率和为 0。70，所以x=0.06。故 500名志愿者中，年龄在35,40
17、）岁的人数为 0.065500=150(人）.（2）用分层抽样的方法，从中选取 20 名,则其中年龄“低于 35 岁”的人有 12 名,“年龄不低于 35 岁”的人有 8 名。故 X 的可能取值为 0,1，2,3，P(X=0）=，P（X=1）=,P(X=2)=，P（X=3）=。故 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以 E(X)=0+1+2+3=.5。(13 分)自 2016 年 1 月 1 日起,我国全面二孩政策正式实施,这次人口与生育政策的历史性调整,使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题.为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿,某
18、调查机构随机抽取了 200户有生育二孩能力的适龄家庭进行问卷调查,得到如下数据：产假安排(单位：周)14 15 16 17 18 有生育意愿家庭数 4 8 16 20 26（1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为 14 周与 16 周,估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？（2)假设从 5 种不同安排方案中，随机抽取 2 种不同安排分别作为备选方案,然后由单位根据单位情况自主选择.求两种安排方案休假周数和不低于 32 周的概率。如果用 表示两种方案休假周数和。求随机变量 的分布列及期望.【解析】(1)由表中信息可知，当产假为 14 周时某家庭有生育意愿的概率为 P1=;当产假为 16
19、周时某家庭有生育意愿的概率为 P2=.（2)设“两种安排方案休假周数和不低于 32 周”为事件 A,由已知从 5 种不同安排方案中，随机地抽取 2 种方案选 法共有=10（种）,其和不低于 32 周的选法有(14,18）,（15,17),(15，18)，(16，17）,(16,18）,（17，18），共 6 种，由古典概型概率计算公式得 P(A）=.由题知随机变量 的可能取值为 29，30,31,32，33,34,35。P(=29)=0.1，P(=30)=0。1，P(=31)=0。2，P(=32)=0。2,P（=33）=0。2，P（=34)=0。1,P（=35）=0.1，因而 的分布列为 29
20、 30 31 32 33 34 35 P 0.1 0。1 0.2 0。2 0.2 0.1 0。1 所以 E（)=290.1+300。1+310。2+320。2+330。2+340.1+350。1=32.尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。This article is collected and compiled by my colleagues and I in our
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