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1、计算机控制仿真课程设计实验报告院系：院系：自动化学院自动化学院班级：班级：0921141109211411组员：组员：王颢博、陆廷宇、彭小强王颢博、陆廷宇、彭小强指导老师：指导老师：张秦艳张秦艳2012 年 6 月说明说明本次课程设计的相关信息：1.组员及学号：彭小强（组长）09211994王颢博09211991陆廷宇092119922.选题：第一题：数字PID 闭环直流电机调速控制系统的设计和仿真实现第四题：二阶弹簧阻尼系统的 PID 控制器设计及其参数整定第六题：单级倒立摆的最优控制器设计3.分工及完成情况：陆廷宇负责第一题，按时完成；彭小强负责第四题，按时完成；王颢博负责第六题，按时完成
2、。目录目录说明 2引言.4一、数字 PID 闭环直流电机调速控制系统的设计和仿真实现.51.1设计目的.51.2设计要求.51.3设计原理.61.4设计过程.61.5探究 P、I、D 对控制系统的影响.91.6设计小结.14二、二阶弹簧阻尼系统的 PID 控制器设计及其参数整定.162.1设计题目.162.2设计要求.162.3设计内容.172.4设计小结.23三、单级倒立摆的最优控制器设计253.1设计目的.253.2设计原理.253.2.1线性二次最优控制 LQR 基本理论.253.2.2单级倒立摆系统的方案设计与结果分析263.3用 MATLAB 的 Simulink 仿真系统进行建模.
3、283.4设计小结.32致谢.33参考文献.33引言引言MATLAB 是一套高性能的数值计算和可视化软件，它集数值分析、矩阵运算和图形显示于一体，构成了一个方便的界面友好的用户环境。由控制领域专家推出的MATLAB 工具箱之一的控制系统(Control System)，在控制系统计算机辅助分析与设计方面获得了广泛的应用，并且 MATLAB 工具箱的内容还在不断增加，应用范围也越来越宽。控制系统的分析与设计方法，不论是古典的还是现代的，都是以数学模型为基础进行的。MATLAB 可以用于以传递函数形式描述的控制系统。在本文中，我们将以数字PID 闭环直流电机调速控制系统的设计和仿真实现、二阶弹簧阻
4、尼系统的 PID 控制器设计及其参数整定、单级倒立摆的最优控制器设计为例，说明如何使用 MATLAB 进行辅助分析。之后，我们讨论传递函数和结构图。特别的，主要介绍以下内容：如何使用 MATLAB 求解多项式，计算传递函数的零点和极点，计算闭环传递函数，计算结构图的等效变换以及闭环系统对单位阶跃输入的响应等。关键词关键词：PID；倒立摆系统；经典控制理论；最优控制理论；系统仿真一、一、数数字字 PIDPID 闭闭环环直直流流电电机机调调速速控控制制系系统的设计和仿真实现统的设计和仿真实现1.11.1 设计目的设计目的1、理解晶闸管直流单闭环调速系统的数学模型和工作原理；2、掌握 PID 控制器
5、参数对控制系统性能的影响；3、能够运用 MATLAB/Simulink软件对控制系统进行正确建模并对模块进行正确的参数设置；4、掌握计算机控制仿真结果的分析方法。5、编写算法 MATLAB/simulink仿真程序实现1.21.2 设计要求设计要求已知某晶闸管直流单闭环调速系统的转速控制器选用 PID 控制器，结构如下图所示：图 1-1 某晶闸管直流单闭环调速系统结构图1、运用 MATLAB/Simulink 软件对控制系统进行建模并对模块进行参数设置；2、封装 PID 模块的控制图；3、使用期望特性法来确定 Kp、Ti、Td 以及采样周期 T，期望系统对应的闭环特征根为：-300，-300，
6、-30+j30 和-30-j30，观察其单位阶跃响应曲线，得出仿真结果并进行仿真分析；4、记录在改变 PID 控制某一控制参数（比例系数或积分系数或微分系数）时，该系统对应的阶跃响应曲线的变化，并观察阐述发生这种变化的规律；5、总结 P、I、D 控制参数的改变对系统控制效果的影响；1.31.3 设计原理设计原理典型的 PID 控制结构如图 1-2 所示：PID 控制器比 例r(t)e(t)积 分微 分u(t)y(t)对象模型图 1-2典型 PID 控制结构连续系统 PID 控制器的表达式为x(t)Kpe(t)KIe()d KD0tde(t)dt（1）式中，数。KPKIKD,和分别为比例系数，积
7、分系数和微分系数，分别是这些运算的加权系进行拉普拉斯变换，整理后得到连续 PID 控制器的传递函数为GC(s)KPKI1 KDs KP(1TDs)sTIs（2）1.41.4 设计过程设计过程PID 控制器的KPKIKD,和这 3 三个参数的大小决定了 PID 控制器的比例，积分和微分控制作用的强弱。使用期望特性法来设计 PID 控制器：首先，假设 PID 控制器的传递函数为:GC(s)KPKI KDsKKKs,其中P,I和D这 3 个参数待定。图 2 所示的系统闭环的传递函数为113120550(KDs2 KPs KI)GB(s)4s 660s3(36801357447KD)s2(486000
8、1357447KP)s1357447KI如果希望闭环极点为：-300，-300，-30+j30 和-30-j30，则期望特征多项式为：s4660s3127800s26480000s162106。对应系数相等，可求得：KD 0.067，KP 4.4156KI119.34，。在命令窗口中输入这 3 个参数值，并且建立该系统的 Simulink模型，如图 1-3 所示。图 1-3其中 PID 封装如图 1-4：图 1-4封装内部结构图 1-5：图 1-5并且对于超调量，峰值时间，上升时间，调节时间计算主程序如下：t=1:0.005:10;ut=t,ones(size(t);t,x,y=sim(unt
9、itled,10,ut);plot(t,y);grid;xlabel(t(sec);ylabel(y(t);N=10/0.005;yss=y(N);ymax,i=max(y);sigma=(ymax-yss)*100/yssTp=t(i)yr1=yss*0.1;yr2=yss*0.9;yr3=yss*1.02;yr4=yss*0.98;i=1;while y(i)yr1i=i+1;endt1=t(i);while y(i)yr2i=i+1;endt2=t(i);Tr=t2-t1i=N;while y(i)yr4i=i-1;endTs=t(i)通过以上理论推导，可以计算期望值条件下各个目标量，输
10、入信号为单位阶跃信号，在 t=1s 时从 0 变化到 1。系统响应曲线如图 1-6 所示。图1-6超调量：sigma=24.2469峰值时间：Tp=0.0568上升时间：Tr=0.0208调节时间：Ts=0.12211.51.5 探究探究 P P、I I、D D 对控制系统的影响对控制系统的影响（1）分析比例系数 Kp 对控制性能的影响在 Ki=119.34 和 Kd=0.067 保持不变的情况下，Kp 分别取值 5，10 和 20，系统的响应曲线如图 1-7、1-8、1-9。图 1-7Kp=5超调量：sigma=20.1521峰值时间：Tp=1.0532上升时间：Tr=0.0185调节时间：
11、Ts=1.1230稳态误差：ess=81.2309图 1-8Kp=15超调量：sigma=23.3215峰值时间：Tp=1.0186上升时间：Tr=0.0073调节时间：Ts=1.0566稳态误差：ess=81.2309图 1-9Kp=20超调量：sigma=33.6880峰值时间：Tp=0.0158上升时间：Tr=0.0053调节时间：Ts=0.0497可见，随着取值的增大，调节时间规律性减小，超调量逐渐增加,所以：当Kp 取值较小时系统的响应较慢，而当 Kp 取值较大时系统的响应速度较快，但超调量增加。而峰值时间与上升时间无规律性变化。（2）分析积分系数 Ki 对控制性能的影响在 Kd=0
12、.067 和 Kp=4.4156 保持不变的情况下，Ki 分别取值 10，100，120，系统的响应曲线如图 1-10、1-11、1-12：图 1-10Ki=10超调量：sigma=0.0016峰值时间：Tp=6.0924上升时间：Tr=0.0398调节时间：Ts=0.2520稳态误差：ess=81.2309图 1-11Ki=100超调量：sigma=20.5361峰值时间：Tp=0.0604上升时间：Tr=0.0211调节时间：Ts=0.1372稳态误差：ess=81.2309图 1-12Ki=120超调量：sigma=24.3680峰值时间：Tp=0.0567上升时间：Tr=0.0190调
13、节时间：Ts=0.1219稳态误差：ess=81.2309可见，当Ki 取值较小时系统响应进入稳态的速度较慢。而当Ki 取较大值时系统的响应进入稳态的速度较快，但超调量增加。（3）分析微分系数 Kd 对控制性能的影响在 Kp=4.4156 和 Ki=119.34 保持不变的情况下，Kd 分别取值 0.03，0.05，0.5，系统的响应曲线如图 1-13、1-14、1-15：图 1-13Kd=0.03超调量：sigma=36.2047峰值时间：Tp=0.0367上升时间：Tr=0.0136调节时间：Ts=0.0683稳态误差：ess=81.2309图 1-14Kd=0.05超调量：sigma=2
14、5.8005峰值时间：Tp=0.0458上升时间：Tr=0.0178调节时间：Ts=0.1037稳态误差：ess=81.2309图 1-15Kd=0.5超调量：sigma=44.4469峰值时间：Tp=0.1799上升时间：Tr=0.0705调节时间：Ts=0.8711稳态误差：ess=81.2309可见，当取值较小时系统响应对变化趋势的调节较慢。并且取值较小时超调量较大。而当取值较大时系统的响应进入稳态的速度较快。但是超调量增加。当取值过大时，对变化趋势的调节过强，阶跃响应的初期会出现尖脉冲。1.61.6 设计小结设计小结可见，当 Kp 取值较小时系统的响应较慢，而当 Kp 取值较大时系统的
15、响应速度较快，但超调量增加。当Ki 取值较小时系统响应进入稳态的速度较慢，而当Ki 取较大值时系统的响应进入稳态的速度较快，但超调量增加。当 Kd 取值较小时系统响应对变化趋势的调节较慢，超调量较大，Kd 取值较大时系统的响应进入稳态的速度较快，但是超调量增加，而当 Kd 取值过大时，对变化趋势的调节过强，阶跃响应的初期出现尖脉冲。因此，比例（P）调节是一种有差调节，即当调节器采用比例调节规律时，不可避免地会使系统存在稳态误差，增大比例调节的增益 Kp 不仅可以减小系统的稳态误差，而且还可以加快系统的响应速度；积分（I）调节可以提高系统的无差度，即提高系统的稳态控制精度，增大 Ki 可以减小稳
16、态误差。当系统引入积分后，系统的相频特性滞后了 90 度，系统的动态品质变差；微分（D）调节可以预测偏差的变化规律，防止系统被调量出现较大动态偏差。微分时间 Kd 较小时，增大 Kd 可以减小偏差，缩短响应时间，减小振荡程度，从而改善系统的质量；但当 Kd 较大时，一方面可能将测量噪声放大，另一方面也可能是使系统产生振荡。二、二、二阶弹簧二阶弹簧阻尼系统的阻尼系统的 PIDPID 控制器设计控制器设计及其参数整定及其参数整定2.12.1 设计题目设计题目考虑弹簧阻尼系统如图 1 所示，其被控对象为二阶环节，传递函数 G(S)如下，参数为 M=1kg，b=2Ns/m，k=25N/m，F(s)=1
17、。图 2 弹簧阻尼系统示意图弹簧阻尼系统的微分方程和传递函数为：bx kx FM xG(s)X(s)11F(s)Ms2 bs ks2 2s 252.22.2 设计要求设计要求1.控制器为 P 控制器时，改变比例系数大小，分析其对系统性能的影响并绘制相应曲线。2.控制器为 PI 控制器时，改变积分时间常数大小，分析其对系统性能的影响并绘制相应曲线。(例如当Kp=50 时，改变积分时间常数)3.设计 PID 控制器，选定合适的控制器参数，使闭环系统阶跃响应曲线的超调量%20%，过渡过程时间Ts2s,并绘制相应曲线。图 2 闭环控制系统结构图2.32.3 设计内容设计内容1.控制器为 P 控制器时，
18、改变比例系数KP大小。P 控制器的传递函数为：GP(s)KP，改变比例系数KP大小，得到系统的阶跃响应曲线当KP=1 时，当KP=10 时，当KP=50 时，当KP=100 时，Kp超调量%峰值时间Tp49.804456.563866.420570.71480.55820.58090.33170.2506上升时间Tr0.27020.12290.16890.0744稳定时间Ts3.78703.69833.66523.6410稳态误差ess0.96150.71430.33330.200211050100(注：此处计算各项指标的代码参见实验一的代码)仿真结果表明：随着KP值的增大，系统响应超调量加大
19、，动作灵敏，系统的响应速度加快。KP偏大，则振荡次数加多，调节时间加长。随着KP增大，系统的稳态误差减小，调节应精度越高，但是系统容易产生超调，并且加大KP只能减小稳态误差，却不能消除稳态误差。2.控制器为 PI 控制器时，改变积分时间常数Ti大小（KP 50为定值）PI 控制器的传递函数为：GPI(s)KP到系统的阶跃响应曲线1 1，改变积分时间常数Ti大小，得TIs当Ti=0.1时当Ti=0.05 时当Ti=0.02 时当Ti=0.01 时Ti超调量%峰值时间Tp25.089820.181826.742837.17520.33710.34310.35681.1114上升时间Tr0.0953
20、0.09720.18450.1975稳定时间Ts8.57827.49145.86079.5197稳态误差ess0.08720.02260-0.00900.10.050.020.01仿真结果表明：KP=50，当Ti的值逐渐减小时，系统的超调量增大，系统的响应速度加快。相反，随着Ti值的加大，系统的超调量减小，系统响应速度略微变慢。Ti越小，积分速度越快，积分作用就越强，系统震荡次数较多。PI 控制可以消除系统的稳态误差，提高系统的误差度。3.控制器为 PID 控制器时，改变微分时间常数Td大小（KP50，Ti 0.02）PID 控制器的传递函数为：GPID(s)KP小，得到系统的阶跃响应曲线11
21、TDs，改变微分时间常数Td大TIs当Td=0.1 时，当Td=1 时，当Td=10 时，当Td=20 时，Td超调量%峰值时间Tp上升时间Tr稳定时间Ts稳态误差ess00000.11102026.474618.2833000.37330.391610100.18740.18571.31341.00405.21934.27243.40002.1713仿真结果表明：KP=50、Ti=10，随着Td值的增大，闭环系统的超调量减小，响应速度加快，调节时间和上升时间减小。加入微分控制后，相当于系统增加了零点并且加大了系统的阻尼比，提高了系统的稳定性和快速性。4.选定合适的控制器参数，设计 PID 控
22、制器根据上述分析，当KP=50，Ti=0.0125，Td=15，可使系统性能指标达到设计要求。经计算，超调量%0.23%20%，过渡过程时间Ts1(s)2(s)满足设计要求。系统的阶跃响应曲线如下图：2.42.4 设计小结设计小结PID 参数的整定就是合理的选取 PID 三个参数。从系统的稳定性、响应速度、超调量和稳态误差等方面考虑问题，三参数作用如下：比例调节作用：成比例地反映系统的偏差信号，系统一旦出现了偏差，比例调节立即产生与其成比例的调节作用，以减小偏差。随着KP增大，系统的响应速度加快，系统的稳态误差减小，调节应精度越高，但是系统容易产生超调，并且加大KP只能减小稳态误差，却不能消除
23、稳态误差。比例调节的显著特点是有差调节。积分调节作用：消除系统的稳态误差，提高系统的误差度。积分作用的强弱取决于积分时间常数Ti，Ti越小，积分速度越快，积分作用就越强，系统震荡次数较多。当然Ti也不能过小。积分调节的特点是误差调节。微分调节作用：微分作用参数Td的作用是改善系统的动态性能，在Td选择合适情况下，可以减小超调，减小调节时间，允许加大比例控制，使稳态误差减小，提高控制精度。因此，可以改善系统的动态性能，得到比较满意的过渡过程。微分作用特点是不能单独使用，通常与另外两种调节规律相结合组成 PD 或 PID控制器。三、单级倒立摆的最优控制器设计三、单级倒立摆的最优控制器设计3.13.
24、1设计目的设计目的熟悉倒立摆实际控制系统；对倒立摆系统建模；进行控制算法设计；进行系统调试和分析；利用 matlab 高级语言编程，实现倒立摆稳定控制；实时输出波形，得出结论。3.23.2设计原理设计原理3.2.13.2.1 线性二次最优控制线性二次最优控制 LQRLQR 基本理论基本理论LQR 控制器是应用线性二次型最优控制原理设计的控制器。它的任务在于，当系统状态由于任何原因偏离了平衡状态时，能在不消耗过多能量的情况下，保持系统状态各分量仍接近于平衡状态。线性二次型最优控制研究的系统是线性的或可线性化的，并且性能指标是状态变量和控制变量的二次型函数的积分。线性二次最优控制 LQR 基本原理
25、为，由系统方程：X AXBu.确定下列最佳控制向量的矩阵 K：使得性能指标达到最小值：ut K*xtJ X*QX u*Rudt0式中Q 为正定（或正半定）厄米特或实对称阵R 为正定厄米特或实对称阵右边是最优控制 LQR 控制原理图：图 1最优控制 LQR 控制原理图方程右端第二项是是考虑到控制能量的损耗而引进的，矩阵 Q 和 R 确定了误差和能量损耗的相对重要性。并且假设控制向量 u(t)是无约束的。对线性系统：.X AXBuY CX根据期望性能指标选取 Q 和 R，利用 MATLAB命令 lqr 就可以得到反馈矩阵 K 的值。K=lqr(A,B,Q,R)改变矩阵 Q 的值，可以得到不同的响应
26、效果，Q 值越大（在一定范围之内），系统抵抗干扰的的能力越强，调整时间越短。但是 Q 不能过大。3.2.23.2.2单级倒立摆系统的方案设计与结果分析单级倒立摆系统的方案设计与结果分析题目中已将系统矩阵给出如下：xx00 001(I ml2)I(M m)Mml20mlbI(M m)Mml20m gl2I(M m)Mml20mgl(M m)I(M m)Mml22002 xI ml02 xI(M m)Mml u10ml02I(M m)Mml将小车的质量为M=0.5kg，倒立单摆的质量为m=0.2kg，小车的摩擦系数为b=0.1N/m/s，端点与倒立单摆质心的距离为 l=0.3m，倒立单摆的惯量I=
27、0.006kg*m2带入已知矩阵中得：.0 x.x0.0.010-0.182.6700-0.4531.18 0 0 x.x01.82.1 0 u.04.55 x01000 x uy 00010 x.x1000 x0.y u0010 0.四个状态量x，x，分别代表小车位移、小车速度、摆杆角度和摆杆角速度，输出y x,包括小车位置和摆杆角度。设计控制器使得当给系统施加.一个阶跃输入时，摆杆会摆动，然后仍然回到垂直位置，小车可以到达新的指定位置。假定全状态反馈可以实现（4 个状态量都可测），找出确定反馈控制规律的向量 K,用 MATLAB 中的 lqr 函数，可以得到最优控制器对应的 K。Lqr 函
28、数允许选择两个参数 R 和 Q，这两个参数用来平衡输入量和状态量的权重。当Q=1 0 0 0;0 0 0 0;0 0 1 0;0 0 0 0，即Q11=1，Q33=1时，K的计算代码：A=0 1 0 0;0-0.1818 2.6727 0;0 0 0 1;0-0.4545 31.1818 0;B=0;1.8182;0;4.5455;Q=1 0 0 0;0 0 0 0;0 0 1 0;0 0 0 0;R=1;K=lqr(A,B,Q,R)K的计算结果：K=-1.0000-1.656718.68523.4594此时系统的响应曲线如下图：图 2系统阶跃响应曲线从图中可以看出，响应的超调量很小，但稳定时
29、间和上升时间偏大，小车的位置没有跟踪输入，而是反方向移动。当缩短稳定时间和上升时间，可以发现：在 Q 矩阵中，增加Q1,1使稳定时间和上升时间变短，并且使摆杆的角度变化减小。这里取Q1,1=300，可得 K=-17.3205-11.816145.69828.8152,Q3,3=50，系统响应曲线如下：图 3系统阶跃响应曲线通过上图可看出，通过增大Q 矩阵中的Q1,1和Q3,3，系统的稳定时间和上升时间变短，超调量和摆杆的角度变化也同时减小。3.33.3用用 MATLABMATLAB的的 SimulinkSimulink 仿真系统进行建模仿真系统进行建模在 simulink 中建立直线一级倒立摆
30、的模型如下图所示：将多组数据带入 simlink 的仿真结构图之中验证:1、输入Q1,1=1，得到的K=-1.0000-1.656718.68523.4594，Q3,3=1时，执行仿真得到如下仿真结果：2、输入Q=10 0 0 0;0 0 0 0;0 0 10 0;0 0 0 0，即Q11=10，Q33=10时，解出K=-3.1623-3.424523.97004.4908，带入simlink仿真结构图中，得到下图：3、输入Q=100 0 0 0;0 0 0 0;0 0 100 0;0 0 0 0，即Q11=100，Q33=100时，解出K=-10.0000-8.028437.65647.01
31、98，带入simlink仿真结构图中，得到下图：4、输入Q=300 0 0 0;0 0 0 0;0 0 50 0;0 0 0 0，即Q11=300，Q33=50时，解出K=-17.3205-11.820345.71818.8196，带入simlink仿真结构图中，得到下图：5、输入 Q=1000 0 0 0;0 0 0 0;0 0 70 0;0 0 0 0，即Q11=1000，Q33=70 时，解出K=-17.3205-11.820345.71818.8196，带入 simlink 仿真结构图中，得到下图：在上述 5 个图中，car position 和 angel-pendulum 分别代表
32、小车位置曲线和摆杆角度曲线。可以发现，Q 矩阵中，增加Q1,1使稳定时间和上升时间变短，并且使摆杆的角度变化减小,增大Q1,1和Q3,3系统响应明显明显加快，但是对于实际离散控制系统，过大的控制量会引起系统震荡。由图形和分析可知，在所取的几组 Q 矩阵之中，有 Q=300 0 0 0;0 0 0 0;0 0 500;0 0 0 0和 Q=1000 0 0 0;0 0 0 0;0 0 70 0;0 0 0 0 这两组数据所得到的数据指标满足输出量 x 和 的过渡过程时间小于 2s。；输出量x 的上升时间小于 0.5s；输出量 的超调量小于 20（0.35rad/s）。3.43.4设计小结设计小结
33、通过本实验，掌握了倒立摆仿真的整个过程，熟悉了MATLAB 的仿真软件Simulink 的使用，也对系统控制有了较好的理解。由实验中可知，倒立摆系统是一个非线性的较复杂的不稳定系统，故要满足稳定性要求，就得对系统进行线性化近似和稳定控制。本实验中，在做了线性化和加进控制调整后，系统达到了良好的稳定状态。当然，这只是一个理想模型，在实际应用中情况会更加复杂，稳定性也更难获得。不过，通过实验，我们至少掌握了简单控制的基本方法，并得到了预期的实验效果。致谢致谢在小学期完成之际，我真心地感谢在设计之中给予我帮助的 XXX 老师，在这两周中，XXX 老师以身作则，以严谨的治学态度、锲而不舍的进取精神深深影响着我。从进入课题开始，论文的选题、撰写、修改到最后的定稿，都凝结着XXX老师的心血。在此，向 XXX 老师表示诚挚的谢意和深深的敬意！在小学期的完成过程中，组里的各位成员对我帮助很大。在此深表谢意！其他的同学也给予我许多关心和帮助，真诚地感谢他们。参考文献参考文献1杨国安.数字控制系统分析、设计与实现 M.西安交通大学出版社，2008.2赵广元.MATLAB 与控制系统仿真实践 M.北京航空航天大学出版社，2009.3杨鹏.计算机控制系统M.机械工业出版社，2009.4王孝武.现代控制理论基础M.机械工业出版社，2006.