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1、学道教育初中数学 1 第 1 讲 二次根式的性质和运算 考点方法破译 1了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，能准确进行辨析；2掌握二次根式有关性质，并能熟练运用性质进行化简；3会根据二次根式的性质挖掘题中隐含条件，求参数的值（或取值范围）.经典考题【例】（荆州）下列根式中属最简二次根式的是（）A.21a B.12 C.8 D.27【解法指导】判断式子是否为最简二次根式的条件有两点：被开方式中不能含分母；被开方式中不能有可开尽方的数或式子.B 中含分母，C、D 含开方数 4、9，故选 A.【变式题组】1（中山）下列根式中不是最简二次根式的是（）A.10 B.8 C.6 D.2 22a
2、b；5x；2xxy；27abc，最简二次根式是（）A,B,C,D,【例】(黔东南)方程480 xxym，当 y0 时，m 的取值范围是（）A0m1 Bm2 Cm2 Dm2【解法指导】本题属于两个非负数的代数和问题，隐含两个代数式均为 0 的结论.由题意得 4x80，xym0.化为 y2m，则 2m0，故选 C.【变式题组】2（宁波）若实数 x、y 满足22(3)0 xy，则 xy 的值是_.3（荆门）若211()xxxy，则 xy 的值为（）A 1 B1 C2 D3 4（鄂州）使代数式34xx有意义的 x 的取值范围是（）Ax3 Bx3 Cx4 Dx3 且 x4 5.（怀化）223(4)0ab
3、c，则 abc_.【例】下列二次根式中，与24是同类二次根式的是（）A18 B30 C48 D54【解法指导】判断几个二次根式是否为同类二次根式应先把它们都化为最简二次根式，再看被开方数是否一学道教育初中数学 2 样.A183 2；B30 不能化简；C.484 3；D543 6，而242 6.故本题应选 D.【变式题组】6如果最简二次根式38a与172a是同类二次根式，则 a_ 7在下列各组根式中，是同类二次根式的是（）A3和18 B3和13 C2a b和2ab D1a和1a 8已知最简二次根式3b ab和22ba是同类二次根式，则 a_，b_.【例】下列计算正确的是（）A532 B824 C
4、273 3 D(12)(12)1【解 法 指 导】正 确 运 用 二 次 根 式 的 性 质 2()(0)aa a；2(0)0(0)(0)a aaaaa a；(0,0)abab ab；(0,0)bbbaaa 进行化简计算，并能运用乘法公式进行计算.A、B 中的项不能合并.D.2(12)(12)1(2)1 .故本题应选 C.【变式题组】9.（聊城）下列计算正确的是（）A2 34 26 5 B84 2 C2733 D2(3)3 10计算：20072007(154)(415)_ 1122(2 33 2)(2 33 2)_ 12(济宁)已知 a 为实数，那么2a（）Aa Ba C1 D0 13已知 a
5、b0，ab6ab，则abab的值为（）A22 B2 C2 D12 学道教育初中数学 3【例】已知 xy0，化简二次根式2yxx的正确结果为（）Ay By Cy Dy 【解法指导】先要判断出 y0，再根据 xy0 知 x0.故原式2yxyx .选 D.【变式题组】14已知 a、b、c 为ABC 三边的长，则化简2()abcabc的结果是_.15观察下列分母有理化的计算：12121，13232，14343，算果中找出规律，并利用这一规律计算：111()(20061)213220062005_.16已知，则 0 x1，则2211()4()4xxxx_.【例】（辽宁）先化简吗，再求值：11()babb
6、a ab，其中512a，512b.已知3232x，3232y，那么代数式22()()xyxyxyxy值为_.【解法指导】对于，先化简代数式再代入求值；对于，根据已知数的特征求 xy、xy 的值，再代入求值.【解】原式22()()()()aba abbababab abab abab，当512a，512b时，ab1，ab5,原式5.由题意得：xy1，xy10,原式1 100101991 100.【变式题组】17（威海）先化简，再求值：(ab)2(ab)(2ab)3a2，其中23a ,32b.18（黄石）已知 a 是43的小数部分，那么代数式22224()()442aaaaaaaaa的值为_.【例
7、】已知实数 x、y 满足22(2008)(2008)2008xxyy，则 3x22y23x3y2007 的值为（）学道教育初中数学 4 A2008 B2008 C1 D1【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，找出 a、b 的关系，再代入求值.解:22(2008)(2008)2008xxyy，2(2008)xx220082008yy22008yy，2(2008)yy220082008xx22008xx，由以上两式可得 xy.2(2008)2008xx,解得 x22008，所以 3x22y23x3y20073x22x23x3x2007x220071，故选 D.【变式题组】19若 a0，b0
8、，且()3(5)aabbab，求23abababab 的值.演练巩固反馈提高 01若404m，则估计 m 的值所在的范围是（）A1m2 B2m3 C3m4 D4m5 02（绵阳）已知12n是正整数，则实数 n 的最大值为（）A12 B11 C8 D3 03（黄石）下列根式中，不是最简二次根式的是（）A.7 B.3 C.12 D.2 04（贺州）下列根式中，不是最简二次根式的是（）A.2 B.6 C.8 D.10 05下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A.12 B.23x C.32 D.2a b 06（常德）设 a20，b(3)2,39c,11()2d,则 a、b、c、d、按由小到大的顺序排
9、列正确的是（）Acadb Bbdac Cacdb Dbcad 07（十堰）下列运算正确的是（）A325 B326 C2(31)3 1 D22535 3 学道教育初中数学 5 08如果把式子1(1)1aa根号外的因式移入根号内，化简的结果为（）A 1a B1a C1a D1a 09（徐州）如果式子2(1)2xx化简的结果为 2x3，则 x 的取值范围是（）Ax1 Bx2 C1x2 Dx0 10（怀化）函数2xyx中自变量的取值范围是_.11（湘西）对于任意不相等的两个数 a，b，定义一种运算 ab32532.那么 124_.12（荆州）先化简，再求值：22321121aaaaaa，其中3a.13
10、（广州）先化简，再求值：(3)(3)(6)aaa a，其中152a.培优升级奥赛检测 01（凉山州）已知一个正数的平方根是 3x2 和 5x6，则这个数是_.02已知 a、b 是正整数，且满足15152()ab是整数，则这样的有序数对（a，b）共有_对.03（全国竞赛）设512a，则5432322aaaaaaa_.04（全国竞赛）设121x,a 是 x 的小数部分,b 是 x 的小数部,则 a3b33ab_.05（重庆竞赛）已知222225445xxyxx，则 x2y2_.06（全国竞赛）已知21a，2 26a，62a，那么 a、b、c 的大小关系是（）Aabc Bbac Ccba Dcab
11、07（武汉联赛）已知14yxx（x，y 均为实数），则 y 的最大值与最小值的差为（）A63 B3 C53 D63 08（全国竞赛）已知非零实数 a、b 满足2242(3)42ababa，则 ab 等于（）A1 B0 C1 D2 09（全国竞赛）2 32 217 12 2等于（）学道教育初中数学 6 A54 2 B4 21 C5 D1 10已知20(0,0)xxyyxy，则3534xxyyxxyy的值为（）A13 B12 C 23 D34 11已知121423352ababcc，求 abc 的值.12已知913与913的小数部分分别是 a 和 b，求 ab3a4b8 的值.学道教育初中数学 7
12、 第 2 讲 二次根式的化简与求值 考点方法破译 1会灵活运用二次根式的运算性质化简求值.2会进行二次根式的有理化计算，会整体代入求值及变形求值.3会化简复合二次根式，会在根式范围内分解因式.经典考题【例】（河北竞赛）已知12xx，那么223191xxxxxx的值等于_【解法指导】通过平方或运用分式性质，把已知条件和待求式的被开方数都用1xx表示或化简变形.解：两边平方得，124xx，12xx，两边同乘以 x 得，212xx ，2315xxx，29111xxx，原式=11511=511511【变式题组】1若14aa（0a1），则1aa_ 2设1xaa，则24xx的值为（）A1aa B1aa C
13、1aa D不能确定【例】（全国初中数学联赛）满足等式200320032003x yy xxyxy 2003 的正整数对（x,y）的个数是（）A1 B2 C3 D4【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，将问题转化为求不定方程的正整数解.解：可化为()2003()2003(2003)0 xyxyxyxy，(2003)(2003)0 xyxy 20030 xy，20030 xy，则 xy2003，且 2003 是质数，正整数对（x,y）的个数有 2 对，应选 B.【变式题组】3若 a0，b0，且(4)3(2)aabbab，求23abababab 的值.【例】（四川）已知：1(01)xaaa，
14、求代数式 学道教育初中数学 8 22226324224xxxxxxxxxxxx的值.【解法指导】视 x2，x2-4x 为整体，把1xaa平方，移项用含 a 的代数式表示 x2，x2-4x，注意 0a1 的制约.解：平方得，12xaa，12xaa，2221442xxaa，222142xxaa，化简原式22(3)(2)(2)24324xxx xxxxxxxxx 2211()1()211()aaaaaaaaaaa【变式题组】4（武汉）已知312321xx，求代数式35(2)242xxxx的值.5（五羊杯竞赛）已知12m ，12n ，且22(714)(367)8mmann，则 a 的值等于（）A5 B
15、5 C9 D9【例】（全国竞赛）如图，点 A、C 都在函数3 3(0)yxx的图像上，点 B、D 都在 x 轴上，且使得OAB、BCD 都是等边三角形，则点 D 的坐标为_.【解法指导】解：如图，分别过点 A、C 作 x 轴的垂线，垂足分别为 E、F.设 OE=a，BF=b，则AE=3a，CF=3b，所以，点 A、C 的坐标为（a,3a）、（2ab,3b），所以233 33(2)3 3abab，解得363ab，因此，点 D 的坐标为（2 6,0）【变式题组】6（邵阳）阅读下列材料，然后回答问题.在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如1323235，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：y
16、x A O B C D E F 学道教育初中数学 9 acdbCDABEF335333535；（一）36333232；（二）131313132132；（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化，132还可以用以下方法化简：13131313131313131322；（四）（1）请你用不同的方法化简352；参照（三）试得：352=_；（要有简化过程）参照（四）试得：352=_；（要有简化过程）（2）化简：11113153752121nn 【例】（五羊杯竞赛）设 a、b、c、d 为正实数，ab，cd，bcad，有一个三角形的三边长分别为22ac，22bd，22()()badc，求此三角形的面积.【解法指
17、导】虽然不能用面积公式求三角形面积(为什么?)，22ac的几何意义是以 a、c 为直角边的直角三角形的斜边，从构造图形入手，将复杂的根式计算转化为几何问题加以解决.解：如图，作长方形 ABCD，使 ABba，ADc，延长 DA 至 E，使 DEd，延长 DC 至 F，使 DFb，连结 EF、FB、EB，则 BF22ac，EF22bd，BE=22()()badc，从而知BEF 就是题设的三角形，而SBEFS长方形ABCDSBCFSABESDEF(ba)c12(dc)(ba)12bd12(bcad)【变式题组】7(北京竞赛)已知 a、b 均为正数，且 ab2，求 U2241ab 学道教育初中数学
18、10 演练巩固反馈提高 01已知3232x，3232y，那么代数式2222xyxyxyxy值为_ 02设71a，则32312612aaa（）A 24 B25 C4 710 D4 712 03（天津）计算200120001999(31)2(31)2(31)2001_ 04（北京竞赛）若有理数 x、y、z 满足112()2xyzxyz，则2()xyz_ 05（北京竞赛）正数 m、n 满足424430mmnmnn，则2822002mnmn_ 06（河南竞赛）若31x，则32(23)(12 3)35xxx的值是（）A2 B4 C6 D8 07已知实数 a 满足20002001aaa，那么22000a的
19、值是（）A1999 B2000 C2001 D2002 08设1003997a，1001999b，2 1000c，则 a、b、c 之间的大小关系是（）Aabc Bcba Ccab Dacb 09已知21(1)xx，化简221144xxxx 培优升级奥赛检测 01（信利杯竞赛）已知13x ，那么2111242xxx_ 02已知415aa，则62 a_ 03（江苏竞赛）已知22(2002)(2002)2002xxyy，则2234xxyy6658xy_ 04（全国联赛）22791375137xxxxx，则 x_ 学道教育初中数学 11 05(T1 杯联赛)已知3232x，3232y，那么22yxxy
20、_ 06（武汉选拔赛）如果20022ab，20022ab，3333bcbc，那么333a bc的值为（）A2002 2002 B2001 C1 D0 07（绍兴竞赛）当120022x时，代数式32003(420052001)xx的值是（）A0 B1 C1 D20032 08（全国联赛）设 a、b、c 为有理数，且等式2352 6abc成立，则29991001abc的值是（）A1999 B2000 C2001 D不能确定 09计算：（1）64 33 2(63)(32)（2）1014152110141521 （3）1111335 33 57 55 749 4747 49 （4）32 252 672
21、 1292 20112 30132 42 152 56172 72 学道教育初中数学 12 10已知实数 a、b 满足条件1baba，化简代数式211()(1)abab，将结果表示成不含 b 的形式.11已知21(0)axaa，化简：2222xxxx 12（奥林匹克竞赛）已知自然数 x、y、z 满足等式2 60 xyz，求 xyz 的值.学道教育初中数学 13 第 3 讲 一元二次方程的解法 考点方法破译 1掌握一元二次方程根的定义并能应用根的定义解题；2掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活应用各种解法解方程；3会应用一元二次方程解实际应用题。经典考题赏析【例】下列关于 x 的方程中，一定是一
22、元二次方程的是（）A.(m-2)x2-2x-1=0 B.k2x+5k+3=0 C.213203xx D.22340 xx【解法指导】A、B 选项中的二次系数可以为 0，不是；D 的分母中含字母，不符合.故选 C.【变式题组】1（威海）若关于 x 的一元二次方程 x2+(k+3)x+k=0 的一个根是-2，则另一个根是_.【例 2】如果 m、n 是两个不相等的实数，且满足 m2-2m=1，n2-2n=1，那么代数式 2m2+4n2-4n+1998=_.【解法指导】本题要运用整体代入法，根据一元二次方程根的定义运用整体代入法降次.解：由题意，2m2=4m+2，4n2=8n+2，则原式=(4m+2)
23、+(8n+2)-4n+1998=(4m+4n)+4+1998，又由根与系数关系得m+n=2，原式=2010.【变式题组】2（南昌）若 3a2-a-2=0，则 5+2a-6a2=_.3（烟台）设 a、b 是方程 x2+x-2009=0 的两个实数根，则 a2+2a+b 的值为（）A2006 B2007 C2008 D2009【例 3】关于 x 的一元二次方程(m-3)x2+4x+m2-9=0 有一个根为 0，m 的值为_.【解法指导】方法 1：将 x=0 代入；方法 2：有一个根为 0，则常数项为 0.解：依题意 m2-9=0，m=3，根据方程是一元二次方程得 m3，综合知 m=-3.【变式题组
24、】4（庆阳）若关于 x 的方程 x2+2x+k-1=0 的一个根是 0，则 k=_.5（东营）若关于 x 的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-3m+2=0 的常数项为 0，则 m 的值等于（）A1 B2 C1 或 2 D0【例 4】（连云港）解方程：x2+4x-1=0.【解法指导】解：解 法 一：a=1，b=4,c=-1，x=2444 1(1)2 1 .即x=-2 5.原 方 程 的 根 为1225,25xx .解法二：配方，得(x+2)2=5，直接开平方，得25x,原方程的根为1225,25xx .【变式题组】6（清远）方程 x2=16 的解是（）Ax=4 Bx=4 Cx=-4 Dx=
25、16 7.（南充）方程(x-3)(x+1)=x-3 的解是（）A.x=0 B.x=3 C.x=3 或 x=-1 D.x=3 或 x=0 8.（咸宁）方程 3x(x+1)=3x+3 的解为（）Ax=1 Bx=-1 Cx1=0，x2=-1 Dx1=1，x2=-1 学道教育初中数学 14 9.（温州）我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法、开平方法、配方法和公式法.请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程.x2-3x+1=0；(x-1)2=3；x2-3x=0；x2-2x=4.【例 5】（山西）解方程：6x2-x-12=0【解法指导】为便于配方可先化二次项系数为 1，
26、解：方程两边都除以 6，移项得 x2-16x=2，配方得x2-16x+(-112)2=2+(-112)2,(x-112)2=289144=(1712)2，即 x-112=1712，x1=32,x2=43.【变式题组】10（仙桃）解方程：x2+4x+2=0.11（武汉）解方程：x2-3x-1=0.12（山西）解方程：x2-2x-3=0.演练巩固反馈提高 01（宁德）方程 x2-4x=0 的解是_.02（十堰）方程(x+2)(x-1)=0 的解为_.03（大兴安岭）方程(x-5)(x-6)=x-5 的解是（）Ax=5 Bx=或 x=6 Cx=7 Dx=5 或 x=7 04（太原）用配方法解方程 x
27、2-2x-5=0 时，原方程应变形为（）A(x+1)2=6 B(x-1)2=6 C(x+2)2=9 D(x-2)2=9 05（云南）一元二次方程 5x2-2x=0 的解是（）A1220,5xx B1250,2xx C1250,2xx D1220,5xx 06（黄石）已知 a、b 是关于 x 的一元二次方程 x2+nx-1=0 的两实数根，则式子baab的值是（）An2+2 B-n2+2 Cn2-2 D-n2-2 07（毕节）有一人患了流感，经过两轮传染后共有 121 人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（）A8 人 B9 人 C10 人 D11 人 08（台州）用配方法解一元二次方
28、程 x2-4x=5 的过程中，配方正确的是（）A(x+2)2=1 B(x-2)2=1 C(x+2)2=9 D(x-2)2=9 09（义乌）解方程 x2-2x-2=0.10（兰州）用配方法解一元二次方程：2x2+1=3x.学道教育初中数学 15 11（新疆）解方程：(x-3)2+4x(x-3)=0.12（梧州）解方程：(x-3)2+2x(x-3)=0.13（长春）解方程：x2-6x+9=(5-2x)2.14（上海）解方程：21220yxxxy 培优升级奥赛检测 01（鄂州）已知、为方程 x2+4x+2=0 的两个实根，则3+14+50=_.02已知 x 是一元二次方程 x2+3x-1=0 的实数
29、根，那么代数式235(2)362xxxxx的值为_.03（苏州）若 x2-x-2=0，则2222 3()13xxxx 的值等于（）.A2 33 B33 C3 D3或33 04（全国联赛）已知三个关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0，恰有一个公共实数根，则222abcbccaab的值为（）.A0 B1 C2 D3 05（全国联赛）已知实数 x、y 满足：42423xx，y4+y2=3，则444yx的值为（）.A7 B1132 C7132 D5 06（全国联赛）已知 m=1+2，n=1-2，且(7m2-14m+a)(3n2-6n-7)=8，则
30、a 的值等于（）.A-5 B5 C-9 D9 07（毕节）三角形的每条边的长都是方程 x2-6x+8=0 的根，则三角形的周长是_.08（滨州）观察下列方程及其解的特征：12xx的解为 x1=x2=1；152xx的解为 x1=2，x2=12；1103xx的解为 x1=3，x2=13；解答下列问题：请猜想：方程1265xx的解为_；请猜想：关于 x 的方程1xx_的解为 x1=a，x2=1a（a学道教育初中数学 16 0）；下面以解方程1265xx为例，验证中猜想结论的正确性.解：原方程可化为 5x2-26x=-5.（下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程）09（泸州）如图，P1（x1，y1）
31、，P2（x2，y2），Pn（xn，yn）在函数4yx（x0）的图象上，P1OA1，P2A1A2，P3A2A3，PnAn-1An都是等腰直角三角形，斜边 OA1、A1A2、A2A3、An-1An都在 x 轴上.求 P1的坐标；求 y1+y2+y3+y10的值.第 4 讲 根的判别式及根与系数的关系 考点方法破译 1掌握一元二次方程根的判别式的运用，能兼顾运用的条件；2理解掌握一元二次方程的根与系数关系，并会运用根与系数关系求对称式的值.【例】经典考题【例】（成都）若关于 x 的一元二次方程错误!未找到引用源。有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（）Ak-1 B.错误!未找到引用源。C.k0
32、，所以方程有两个不相等的实数根.（2）解：因为方程的两根互为相反数，所以021 xx，根据方程的根与系数的关系得02 m，解得2m，所以原方程可化为052x，解得51x，52x 【变式题组】8(中山)已知一元二次方程错误!未找到引用源。.(1)若方程有两个实数根，求 m 的值；（2）若方程的两个实数根为错误!未找到引用源。，且错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。,求 m 的值.【例】设实数 s,t 分别满足错误!未找到引用源。,并且 st1，求错误!未找到引用源。的值.【解法指导】本题要观察 s,t 的共同点，应用方程的思想，把它们看做一个一元二次方程的两根，应用根与系数关系求值.解：s
33、0，第一个等式可以变形为：错误!未找到引用源。,又st1，错误!未找到引用源。t 是一元二次方程 x2+99x+19=0 的两个不同的实根，于是，有 错误!未找到引用源。,即 st+1=99s，t=19s 错误!未找到引用源。学道教育初中数学 19 演练巩固反馈提高 01(东营)若 n（n0）是关于 x 的方程错误!未找到引用源。的根，则 m+n 的值为 A.1 B.2 C.-1 D.-2 02(株洲)定义：如果一元二次方程20(0)axbxca满足0abc，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知20(0)axbxca 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是 Aac Bab
34、Cbc D abc 03（崇左）一元二次方程错误!未找到引用源。的一个根为-1，则另一个根为 04(贺州)已知关于 x 的一元二次方程02mxx有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是 05（上海）如果关于x的方程20 xxk（k为常数）有两个相等的实数根，那么k 1、06 （泰 安）关 于 x 的 一 元 二 次 方 程02)12(22kxkx有 实 数 根，则 k 的 取 值 范 围是 .07（淄博）已知关于 x 的方程014)3(222kkxkx（1）若这个方程有实数根，求 k 的取值范围；（2）若这个方程有一个根为 1，求 k 的值；（3）若以方程014)3(222kkxkx的两
35、个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数xmy 的图象上，求满足条件的 m 的最小值 08已知关于 x 的一元二次方程错误!未找到引用源。(1)若方程有两个相等的实数根，求 m 的值；（2）若方程的两个实数根之积等于错误!未找到引用源。,求错误!未找到引用源。的值.学道教育初中数学 20 09（孝感）已知关于x的一元二次方程22(21)0 xmxm有两个实数根1x和2x（1）求实数m的取值范围；（2）当22120 xx时，求m的值 10（鄂州）关于 x 的方程04)2(2kxkkx有两个不相等的实数根.(1)求 k 的取值范围.(2)是否存在实数 k，使方程的两个实数根的倒数和等于 0?若存在，
36、求出 k 的值；若不存在，说明理由 11（北京）已知：关于x的一元二次方程2(32)220(0)mxmxmm（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为1x，2x（其中12xx）若y是关于m的函数，且212yxx，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m的取值范围满足什么条件时，2ym 12（淄博）已知12,x x是方程220 xxa的两个实数根，且12232xx(1)求12,x x及 a 的值；(2)求32111232xxxx的值 学道教育初中数学 21 培优升级奥赛检测 01（全国联赛）设213aa，213bb，且ab，则代数式22
37、11ab的值为 （）A 5.B7.C 9.D.11.02（延边预赛）已知 m 是方程错误!未找到引用源。的一个根，则代数式错误!未找到引用源。的值等于（）A2016 B.2017 C.2018 D.2019 03如果 a、b 都是质数，且错误!未找到引用源。,那么错误!未找到引用源。的值为（）A错误!未找到引用源。B.错误!未找到引用源。C.错误!未找到引用源。D 错误!未找到引用源。或 2 04（全国竞赛）已知实数错误!未找到引用源。，且满足错误!未找到引用源。的值为（）A23 B.-23 C.-2 D.-13 05.(全国竞赛)设错误!未找到引用源。是关于 x 的方程错误!未找到引用源。的
38、两个实数根，则错误!未找到引用源。的最大值为_ 06已知错误!未找到引用源。是方程错误!未找到引用源。的两个实数根，则错误!未找到引用源。07（全国联赛）对于一切不小于 2 的自然数 n，关于 x 的一元二次方程错误!未找到引用源。的两个根记作错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。_ 08已知关于 x 的方程：错误!未找到引用源。.(1)求证：无论 m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根；（2）若这个方程的两个实根为错误!未找到引用源。，满足错误!未找到引用源。,求 m 的值及相应的错误!未找到引用源。.09（全国竞赛）设 m 是不小于-1 的实数，使得关于 x 的方程错误!未找到引
39、用源。有两个不相等的实数根错误!未找到引用源。,(1)若错误!未找到引用源。,求 m 的值；（2）求错误!未找到引用源。的最大值.学道教育初中数学 22 第 5 讲 一元二次方程的应用 考点方法破译 1能灵活应用一元二次方程的四种解法解方程；2会建立一元二次方程模型解实际应用题 经典考题赏析 【例 l】(南平)有一人患了流感，经过两轮传染后共有 100 人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为()A8 人 B9 人 C10 人 D11 人 【解法指导】构建一元二次方程模型求解 设每轮传染中平均一个人传染的人数为 x,第一轮被传染人数为 x，患流感人数为 x+l；第二轮被传染人数为 x(
40、x+1)，所以 l+x+x(x+1)=100，解得 x=9应选 B 【变式题组】1(甘肃)近年来，全国房价不断上涨，某县 2010 年 4 月份的房价平均每平方米为 3600 元，比 2008 年同期的房价平均每平方米上涨了 2000 元，假设这两年该县房价的平均增长率为 x，则关于 x 的方程为 2(襄樊)为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为 10m2。提高到 121 m2。，若每年的年增长率相同，则年增长率为()A9 B10 C1l D12 3(太原)某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由 3200 元降到了 2500 元设平均
41、每月降价的百分率为 x，根据题意列出的方程是 【例 2】(黄石)三角形两边的长是 3 和 4，第三边的长是方程 x2一 12x+35=0 的根，则该三角形的周长为()A14 B12 C12 或 14 D。以上都不对【解法指导】方程 x2一 12x+35=0 可化为(x 一 7)(x 一 5)=0，解得 x=7 或 x=5，当 x=7 时，三边不能构成三角形，所以第三边的长只能取 5，该三角形的周长为 12应选 B 学道教育初中数学 23【变式题组】4(青海)方程 x2一 9x+18=0 的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为()A12 B12 或 15 C15 D不能确定 5(襄樊
42、)如图，在平行四边形 ABCD 中，AE 上 BC 于 E，AE=EB=EC=a，且a 是一元二次方程 x2+2x 一 3=0 的根，则平行四边形 ABCD 的周长是()A、224 B、2612 C、222 D、2612 或222 【例 3】(莆田)已知O1和O2的半径分别是一元二次方程（x1)(x 一 2)=0 的两根，且 O1O2=2，则O1和O2的位置关系是 【解法指导】依题意，O1和O2的半径分别为 1 和 2，lO1O23，O1和O2相交【变式题组】6(兰州)两圆的圆心距为 l，两圆的半径分别是方程 x2一 5x+6=0 的两个根，则两圆的位置关系是()A外离 B内切 C相交 D外切
43、 7(江苏)某县 2008 年农民人均年收入为 7800 元，计划到 2010 年，农民人均年收入达到 9100 元设人均年收入的平均增长率为 x，则可列方程 8(庆阳)如图，在宽为 20 米、长为 30 米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部 分作为耕地若耕地面积需要 55 l 米。，则修建的路宽应为()A、1 米 B、15 米 C、2 米 D、25 米 【例 4】(白银)在实数范围内定义运算“”，其法则为：ab=a2-b2，求方程(43)x=24 的解 【解法指导】解此类题要严格按照定义进行变换 解：ab=a2-b2(43)x=7x=72-x2 72-x2=25x=5【变式题组】9(全
44、国竞赛)对于实数 u、v，定义一种运算“”为：u v=uv+v,若关于 x 的方程 x(a x)=一41有两个不同的实数根，则满足条件的实数 a 的取值范围是 【例 5】(十堰)如图，利用一面墙(墙的长度不超过 45m)，用 80m 长的篱笆围一个矩形场地(1)怎样围才能使矩形场地的面积为 750m2，(2)能否使所围矩形场地的面积为 8l0 m2，为什么?【解法指导】解：(1)设所围矩形 ABCD 的长 AB 为 x 米，则宽 AD 为21(80一 x)米依题意，得x21(80 一 x)=750，即 x2一 80 x+1500=0解此方程，得 x1=30，x2=50 墙的长度不超过 45m,
45、x2=50 不合题意，应舍去当 x=30 时，21(80 一 x)=21(8030)=25所以，当所围矩形长为 30m、宽为 25m 时，能使矩形的面积为 750m2 (2)不能因为由 x21(80 一 x)=810，得 x2一 80 x+1620=0又b2-4ac=(一 80)2一 411620=-800上述方程没有实数根因此，不能使所围矩形场地的面积为 8l0 m2【变式题组】EDCBA学道教育初中数学 24 10(广东)某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 8l 台电脑被感染请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制，3
46、轮感染后，被感染的电脑会不会超过 700 台?巩固练习 反馈提高 ，1(南通)某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资 20 亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助2008 年，A 市在省财政补助的基础上再投入 600 万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，20l0 年该市计划投资“改水工程”1176 万元 (1)求 A 市投资“改水工程”的年平均增长率；(2)从 2008 年到 2010 年，A 市三年共投资“改水工程”多少万?2(长沙)当 m 为何值时，关于 z 的一元二次方程 x24x+m 一21=0 有两个相等的实数根?此时这两个实数根是多少?3(贵阳
47、)汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设 某汽车销售公司 2005 年盈利 1500 万元，到 2007 年盈利 2160万元，且从 2005 年到 2007 年，每年盈利的年增长率相同。(1)该公司 2006 年盈利多少万元?(2)若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计 2008 年盈利多少万元?4(庆阳)某企业 2006 年盈利 1500 万元，2008 年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利 2160 万元从 2006年到 2008 年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：(1)该企业 2007 年盈利多少万元?(2)若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计 2009 年盈利多少万
48、元?培优升级 奥赛检测 1(河南)已知 x1、x2是关于 x 的一元二次方程 x26x+k=0 的两个实数根，且 x12x22x1x2=115(1)求 k 的值；(2)求 x12+x22+8 的值 学道教育初中数学 25 2(临沂)为落实素质教育要求，促进学生全面发展，我市某中学 2009 年投资 11 万元新增一批电脑，计划以后每年以相同的增长率进行投资，2011 年投资 1859 万元 (1)求该学校为新增电脑投资的每年平均增长率；(2)从 2009 年到 2011 年，该中学三年为新增电脑共投资多少万元?3(南宁)如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长 120 米，下底长 180 米
49、，上下底相距 80 米，在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等设甬道的宽为 x 米(1)用含 x 的式子表示横向甬道的面积为 平方米；(2)当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽 4(厦门)某商店购进一种商品，单价 30 元试销中发现这种商品每天的销售量 P(件)与每件的销售价 x(元)满足关系：P=1002x若商店每天销售这种商品要获得 200 元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元?每天要售出这种商品多少件?5(庆阳)如图 张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为 1 米的正方形后，剩下的部分刚好能围成
50、一个容积为 15 米2的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多 2 米，现已知购买这种铁皮每平方米需 20 元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱?6(益阳)如图，ABC 中，已知BAC=45，ADBC 于 D，BD=2，DC=3，求 AD 的长 学道教育初中数学 26 小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题 请按照小萍的思路。探究并解答下列问题：(1)分别以 AB、AC 为对称轴，画出ABD、ACD 的轴对称图形，D 点的对称点为 E、F，延长 EB、FC 相交于 G 点，证明四边形 AEGF 是正方形；(2)设 AD=x，利用勾股定理，建立关于 x 的