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1、平面向量的坐标运算人教平面向量的坐标运算人教A必修必修复习复习1,平面向量基本定理平面向量基本定理 如果如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一，有且只有一对实数对实数1，2 使使a=1 e1+2 e22.共线向量定理共线向量定理 向量向量a(a0)与与b共线，当且仅当有唯一一个共线，当且仅当有唯一一个实数实数，使，使_ba第1页/共39页G=F1+F2F1F2GG=F1+F2叫做重力叫做重力G的分解的分解 类似地，由平面向量的基本定理，对平类似地，由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量面
2、上的任意向量a，均可以分解为不共线的，均可以分解为不共线的两个向量两个向量1a1和和2 a2,使使a=1a1+2 a2新课引入新课引入G与与F1,F2有什么关系有什么关系?第3页/共39页 把把一一个个向向量量分分解解为为两两个个互互相相 垂垂直直的的 向向 量量,叫叫 做做 把把 向向 量量 正正 交交 分分 解解若两个不共线向量互相垂直时若两个不共线向量互相垂直时a1a12 a2F1F2G正交分解正交分解第4页/共39页 我们知道，在平面直角坐标系，每一我们知道，在平面直角坐标系，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，对直角坐标平面内的每一个向量
3、，表示，对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示？如何表示？在平面上，如果选取互相垂直的向量作为在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便。基底时，会为我们研究问题带来方便。第5页/共39页yxAa如图，在直角坐标平面内，以原如图，在直角坐标平面内，以原点点O为起点作为起点作OA=a，则点，则点A的位的位置由置由a唯一确定。唯一确定。yxOji设设OA=xi+yj，则向量，则向量OA的坐标的坐标（x,y)就是点就是点A的坐标；的坐标；a(x,y)因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。以用一对实数唯一
4、表示。反过来，点反过来，点A的坐标（的坐标（x,y)也就是向也就是向量量OA的坐标。的坐标。第6页/共39页i=j=0=(1,0)(0,1)(0,0)ayOxxiyjjia=(x,y)第7页/共39页yOxajixiyjxiyjb相等的向量坐标相同相等的向量坐标相同相等的向量坐标相同相等的向量坐标相同向量向量a、b有什么关系有什么关系?ab能说出向量能说出向量b的坐标吗的坐标吗?b=(x,y)第8页/共39页2.3.2（3）平面向量的坐）平面向量的坐标表示及运算标表示及运算第9页/共39页新新知知初初探探思思维维启启动动1.1.平面向量的正交分解平面向量的正交分解平面向量的正交分解平面向量的正
5、交分解把把把把一一一一个个个个向向向向量量量量分分分分解解解解成成成成两两两两个个个个_的的的的向向向向量量量量，叫做把向量正交分解叫做把向量正交分解叫做把向量正交分解叫做把向量正交分解2.2.平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示(1)(1)向量的直角坐标向量的直角坐标向量的直角坐标向量的直角坐标互相垂直互相垂直第11页/共39页在在在在平平平平面面面面直直直直角角角角坐坐坐坐标标标标系系系系中中中中，分分分分别别别别取取取取与与与与x x轴轴轴轴、y y轴轴轴轴方方方方向向向向相相相相同同同同的的的的两两两两个个个个_i i、j j作作作作为为为为基基基基
6、底底底底，对对对对于于于于平平平平面面面面内内内内的的的的一一一一个个个个向向向向量量量量a a，由由由由平平平平面面面面向向向向量量量量基基基基本本本本定定定定理理理理知知知知，有有有有且且且且只只只只有有有有一一一一对对对对实实实实数数数数x x，y y使使使使得得得得 a a _，则则则则 把把把把 有有有有 序序序序 数数数数 对对对对_叫做向量叫做向量叫做向量叫做向量a a的坐标的坐标的坐标的坐标单位向量单位向量xiyj(x，y)第12页/共39页(2)(2)向量的坐标表示向量的坐标表示向量的坐标表示向量的坐标表示在在在在向向向向量量量量a a的的的的直直直直角角角角坐坐坐坐标标标标
7、中中中中，_叫叫叫叫做做做做a a在在在在x x轴轴轴轴上上上上的的的的 坐坐坐坐 标标标标，_叫叫叫叫 做做做做 a a在在在在 y y轴轴轴轴 上上上上 的的的的 坐坐坐坐 标标标标,_,_ 叫做向量的坐标表示叫做向量的坐标表示叫做向量的坐标表示叫做向量的坐标表示(3)(3)在向量的直角坐标中，在向量的直角坐标中，在向量的直角坐标中，在向量的直角坐标中，i i(1(1，0)0)，j j_，0 0 (0(0，0)0)xya(x，y)(0，1)第13页/共39页想一想想一想想一想想一想第14页/共39页3.3.平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算向量的向量的
8、加、减加、减法法若若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则则ab_，ab_即即两两个个向向量量和和(差差)的的坐坐标标分分别别等等于于这这两两个个向向量相应坐标的和量相应坐标的和(差差)(x1x2，y1y2)(x1x2，y1y2)第15页/共39页实数与实数与向量的向量的积积若若a(x，y)，R，则，则a_，即实数与向量，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标原来向量的相应坐标(x，y)第16页/共39页做一做做一做做一做做一做 已知已知已知已知a a(1(1，2)2)，b b(1 1，3)3)，则，则，则，则a a2 2b b_解解解解析析析析：2
9、 2b b(2 2，6)6)，a a2 2b b(1(1，2)2)(2 2，6)6)(1(12 2，2 26)6)(1 1，8)8)答案：答案：答案：答案：(1 1，8)8)第17页/共39页 已知已知 ，求，求 的坐标的坐标.OxyB(x2,y2)A(x1,y1)结结论论:一一个个向向量量的的坐坐标标等等于于表表示示此此向向量量的的有有向向线线段段终终点的坐标减去始点的坐标。点的坐标减去始点的坐标。想一想想一想第18页/共39页典典题题例例证证技技法法归归纳纳题型探究题型探究题型探究题型探究例例例例1 1 在直角坐标系在直角坐标系在直角坐标系在直角坐标系xOyxOy中，中，中，中，向量向量向
10、量向量a a，b b，c c的方向如图所示，的方向如图所示，的方向如图所示，的方向如图所示，且且且且|a a|2 2，|b b|3 3，|c c|4 4，分，分，分，分别计算出它们的坐标别计算出它们的坐标别计算出它们的坐标别计算出它们的坐标向量的坐标表示向量的坐标表示第19页/共39页第20页/共39页【名名名名师师师师点点点点评评评评】向向向向量量量量的的的的坐坐坐坐标标标标表表表表示示示示是是是是向向向向量量量量的的的的另另另另一一一一种种种种表表表表示示示示方方方方法法法法，当当当当向向向向量量量量的的的的始始始始点点点点在在在在原原原原点点点点时时时时，终终终终点坐标即为向量的坐标点坐
11、标即为向量的坐标点坐标即为向量的坐标点坐标即为向量的坐标第21页/共39页变式训练变式训练变式训练变式训练第22页/共39页 设向量设向量设向量设向量a a、b b的坐标分别是的坐标分别是的坐标分别是的坐标分别是(1 1，2)2)，(3(3，5)5)，求，求，求，求a ab b，a ab b，3 3a a，2 2a a3 3b b的坐标的坐标的坐标的坐标【解解解解】a ab b(1 1，2)2)(3(3，5)5)(1 13 3，2 25)5)(2(2，3)3)；a ab b(1 1，2)2)(3(3，5)5)(1 13 3，2 25)5)(4 4，7)7)平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算例
12、例例例2 23a3(1，2)(3，6)；2a3b2(1，2)3(3，5)(2，4)(9，15)(29，415)(7，11)第23页/共39页向量坐标的应用向量坐标的应用例例例例3 3第24页/共39页第25页/共39页第26页/共39页变式训练变式训练变式训练变式训练2.2.已已已已知知知知向向向向量量量量u u(x x，y y)和和和和向向向向量量量量v v(y y，2 2y yx x)的对应关系用的对应关系用的对应关系用的对应关系用v vf f(u u)表示表示表示表示(1)(1)若若若若a a(1(1，1)1)，b b(1(1，0)0)，试试试试求求求求向向向向量量量量f f(a a)及
13、及及及f f(b b)的坐标；的坐标；的坐标；的坐标；(2)(2)求使求使求使求使f f(c c)(4(4，5)5)的向量的向量的向量的向量c c的坐标的坐标的坐标的坐标第28页/共39页第29页/共39页备选例题备选例题备选例题备选例题第30页/共39页2.2.若若若若a ab b(3 3，4)4)，a ab b(5(5，2)2)，则则则则向量向量向量向量a a_，向量，向量，向量，向量b b_解析：解析：解析：解析：a ab b(3 3，4)4)，a ab b(5(5，2)2)答案：答案：(1，1)(4，3)第31页/共39页第32页/共39页小结小结平面向量的正交分解平面向量的正交分解平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算第37页/共39页第38页/共39页