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1、华东师大版 数学 八年级（下）第第1919章章 矩形、菱形与正方形矩形、菱形与正方形19.3 19.3 正方形正方形第第1 1课时课时 正方形及其性质正方形及其性质1.1.理解正方形的概念，了解正方形与平行四边形、菱理解正方形的概念，了解正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系形、矩形的关系 2.2.掌握正方形的有关性质掌握正方形的有关性质3.3.能运用正方形的性质解决有关计算和证明问题能运用正方形的性质解决有关计算和证明问题.学习目标学习目标同学同学们观们观察下列一察下列一组图组图片，你片，你发现发现了那些几何了那些几何图图形：形：导入新知导入新知定定义义：四条四条边边都相等，四个角都是直角的四
2、都相等，四个角都是直角的四边边形叫做正形叫做正方形；方形；要点精析：要点精析：(1)正方形的四条正方形的四条边边相等，相等，说说明正方形是特殊的菱形；明正方形是特殊的菱形；(2)正方形的四个角都是直角，正方形的四个角都是直角，说说明正方形是特殊的矩形明正方形是特殊的矩形即：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形即：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形合作探究合作探究新知一新知一 正方形正方形的定义的定义例例1 下面四个定下面四个定义义中不正确的是中不正确的是()A有一个角是直角的平行四有一个角是直角的平行四边边形叫做矩形形叫做矩形B有一有一组邻边组邻边相等的四相等的四边边形叫做菱形形叫做菱形C有
3、一有一组邻边组邻边相等，并且有一个角是直角的平行相等，并且有一个角是直角的平行四四边边形叫做正方形形叫做正方形D有一有一组邻边组邻边相等的平行四相等的平行四边边形叫做菱形形叫做菱形B1下列下列说说法法错误错误的是的是()A正方形是平行四正方形是平行四边边形形 B正方形是菱形正方形是菱形 C正方形是矩形正方形是矩形 D菱形和矩形都是正方形菱形和矩形都是正方形巩固新知巩固新知2已已知知，在在四四边边形形ABCD中中，ABC90，如果添加一个条件，即可推出如果添加一个条件，即可推出该该四四边边形是正方形，形是正方形，那么那么这这个条件可以是个条件可以是()AD90 BABCDCADBC DBCCD
4、正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形正方正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形正方形具有矩形的性形具有矩形的性质质，同，同时时又具有又具有 菱形的性菱形的性质质合作探究合作探究新知二新知二 正方形边正方形边的性质的性质正方形正方形边边的性的性质质：四条四条边边相等，相等，邻边邻边垂直，垂直，对边对边平行平行.例例2 如如图图，在正方形，在正方形ABCD中，点中，点E在在边边DC上，上，DE3，EC1.连结连结AE，点，点F在射在射线线AB上，且上，且满满足足CFAE，则则A，F两点两点间间的距离的距离为为_1或或7DE3，EC1，正方形正方形ABCD的的边长为边长为4.在在RtADE和和RtCB
5、F中，中，AECF，ADCB，RtADE RtCBF，BFDE3.点点F在射在射线线AB上，上，分两种情况：分两种情况：当点当点F在在线线段段AB上上时时，AFABBF431；当点当点F在在AB的延的延长线长线上上时时，AFABBF437.导引：导引：1正方形具有而矩形不一定具有的性正方形具有而矩形不一定具有的性质质是是()A四个角都相等四个角都相等 B四条四条边边相等相等C对对角角线线相等相等 D对对角角线线互相平分互相平分2如如图图，正方形，正方形ABCD的面的面积为积为2，则则以相以相邻邻两两边边中点中点连线连线EF为边为边的正方形的正方形EFGH的周的周长为长为()A2 B C4 D
6、巩固新知巩固新知3(中考中考毕节毕节)如如图图，正方形，正方形ABCD的的边长为边长为9，将正，将正方形折叠，使方形折叠，使顶顶点点D落在落在BC边边上的点上的点E处处，折痕，折痕为为GH.若若BE EC2 1，则线则线段段CH的的长长是是()A3 B4 C5 D6动动手操作：手操作：制作一制作一张张正方形正方形纸纸片，通片，通过过折叠并折叠并观观察，察，回答下列回答下列问题问题.问问：它是它是轴对轴对称称图图形形吗吗？有几条？有几条对对称称轴轴？对对称称轴轴之之间间有什么位置关系？有什么数有什么位置关系？有什么数 量关系？量关系？合作探究合作探究新知三新知三 正方形角正方形角的性质的性质1.
7、正方形的性正方形的性质质：(1)角角：四个角都是直角；：四个角都是直角；对对角角线线：对对角角线线相等，互相相等，互相垂直平分，每条垂直平分，每条对对角角线线平分一平分一组对组对角；角；既是既是轴对轴对称称图图形，有形，有4条条对对称称轴轴，又是中心，又是中心对对称称图图形；形；面面积积为边长为边长的平方或的平方或对对角角线线平方的一半平方的一半(2)正方形的特殊性正方形的特殊性质质：正方形的一条正方形的一条对对角角线线把正方形分把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；两条成两个全等的等腰直角三角形；两条对对角角线线把正方形分把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；成四个全等的等腰直角三角形；周周
8、长长相等的四相等的四边边形形 中，正方形的面中，正方形的面积积最大最大2.易易错错警示：警示：正方形具正方形具备备其他四其他四边边形的所有性形的所有性质质，应应用用时时要要细细心心寻寻找找例例3 如如图图，已知正方形，已知正方形ABCD.求求ABD、DAC、DOC 的大小的大小.分析：分析：由正方形的特殊性由正方形的特殊性质质，可知，可知DOC90.易易证证ABOCBO，从而可得从而可得ABD同理可得同理可得DAC45.例例4 已知：如已知：如图图，在正方形，在正方形ABCD中，中，对对角角线线的交点的交点为为O，E是是OB上的一点，上的一点，DGAE于于G，DG交交AO于于F，求，求证证：E
9、FAB.导引：导引：要要证证EFAB，由于，由于OBA45，EOF90，即需，即需证证OEF45，即要，即要证证明明OEOF，而，而OEOF可通可通过证过证明明AEODFO获获得得解：解：四四边边形形ABCD是正方形，是正方形，AOEDOF90，AODO，OBA45.DGAE，EAOAEOEDGGED90.又又AEOGED，EAOEDGFDO.AEODFO(ASA.)OEOF.OEF45.OEFOBA，EFAB.通通过证过证明三角形全等得到明三角形全等得到边边和角相等，再和角相等，再进进一一步得到平行或垂直，是有关正方形中步得到平行或垂直，是有关正方形中证边证边或角相等或角相等的最常用的方法，
10、而正方形的四条的最常用的方法，而正方形的四条边边相等，四个角相等，四个角都是直角都是直角为证为证明三角形全等提供了条件明三角形全等提供了条件归纳小结归纳小结例例5 如如图图，正方形，正方形ABCD的的边长为边长为1 cm，AC为对为对角角线线，AE平分平分BAC，EFAC，求，求BE的的长长导引：导引：线线段段BE是是RtABE的一的一边边，但由于但由于AE未知，不能直接用未知，不能直接用勾股定理求勾股定理求BE，由条件可，由条件可证证ABEAFE，问题转问题转化化为为求求EF的的长长，结结合已知条件易合已知条件易获获解解合作探究合作探究解：解：四四边边形形ABCD为为正方形，正方形，B90，
11、ACB45，ABBC1 cm.EFAC，EFAEFC90.又又ECF45，EFC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，EFFC.BAEFAE，BEFA90，AEAE，ABEAFE.ABAF1 cm，BEEF，FCBE.在在RtABC中，中，FCACAF(1)cm，BE(1)cm.1已知正方形已知正方形纸纸片片ABCD的的边边AB长长2 cm.求求这这个正方形个正方形的周的周长长、对对角角线长线长和面和面积积.(长长度精确到度精确到0.1 cm)2(中考中考怀怀化化)如如图图，在正方形，在正方形ABCD中，如果中，如果AFBE，那么，那么AOD的度数是的度数是_巩固新知巩固新知3(中考中考黄黄冈冈
12、)如如图图，在正方形，在正方形ABCD中，点中，点F为为CD上一点，上一点，BF与与AC交于点交于点E，若，若CBF20，则则AED的度数是的度数是_4(中考中考怀怀化化)如如图图，在正方形，在正方形ABCD的外的外侧侧作等作等边边三角形三角形ADE，AC，BE相交于点相交于点F，则则BFC等于等于()A45 B55 C60 D75 正方形同正方形同时时具具备备平行四平行四边边形、矩形、菱形的所有形、矩形、菱形的所有性性质质，因此，正方形的四个角都是直角，四条，因此，正方形的四个角都是直角，四条边边都相都相等，等，对对角角线线互相垂直平分且相等，每一条互相垂直平分且相等，每一条对对角角线线平分
13、平分一一组对组对角，正方形是角，正方形是轴对轴对称称图图形，有四条形，有四条对对称称轴轴这这些性些性质为证质为证明明线线段相等、垂直，角相等提供了重要的段相等、垂直，角相等提供了重要的依据依据归纳新知归纳新知1(4分分)正方形具有而菱形不一定具有的性正方形具有而菱形不一定具有的性质质是是()A四条四条边边都相等都相等B对对角角线线互相垂直平分互相垂直平分C对对角角线线相等相等 D对对角角线线平分一平分一组对组对角角C课堂练习课堂练习2(4分分)如如图图，在在菱菱形形ABCD中中，B60，AB4，则则以以AC为为边边长长的的正方形正方形ACEF的周的周长为长为()A14 B15 C16 D17C
14、3(4分分)(鄂鄂尔尔多多斯斯中中考考)如如图图，在在正正方方形形ABCD的的外外侧侧，作作等等边边ABE，则则BED为为()A15 B35 C45 D55CA 5(8分分)(自自贡贡中中考考)如如图图，在在正正方方形形ABCD中中，点点E在在BC边边的的延延长长线线上上，点点F在在CD边边的延的延长线长线上，且上，且CEDF，连结连结AE和和BF相交于点相交于点M.求求证证：AEBF.6(4分分)下列下列说说法不正确的是法不正确的是()A一一组邻边组邻边相等的矩形是正方形相等的矩形是正方形B对对角角线线相等的菱形是正方形相等的菱形是正方形C对对角角线线互相垂直的矩形是正方形互相垂直的矩形是正
15、方形D有一个角是直角的平行四有一个角是直角的平行四边边形是正方形形是正方形7(4分分)(日日照照中中考考)小小明明在在学学习了了正正方方形形之之后后，给同同桌桌小小文文出出了了道道题，从从下下列列四四个个条条件件：ABBC；ABC90；ACBD；ACBD中中选选两两个个作作为为补补充充条条件件，使使 ABCD为为正正方方形形(如如图图)，现现有有下下列列四四种种选选法法，你你认为认为其中其中错误错误的是的是()A B C DDB8(8分分)(舟舟山山中中考考)如如图图，等等边边AEF的的顶顶点点E，F在在矩矩形形ABCD的的边边BC，CD上，且上，且CEF45.求求证证：矩形：矩形ABCD是正
16、方形是正方形证证明明：四四边边形形ABCD是是矩矩形形，BDC90，AEF是是等等边边三角形，三角形，AEAF，AEFAFE60，CEF45，CFECEF45，AFDAEB180456075，AEBAFD(AAS)，ABAD，矩形矩形ABCD是正方形是正方形 解有关正方形的解有关正方形的问题问题，要充分利用正方形的四，要充分利用正方形的四边边相等、四角相等、相等、四角相等、对对角角线线垂直平分且相等等性垂直平分且相等等性质质解解题题，正方形的性，正方形的性质质、等腰直角三角形的特点、勾、等腰直角三角形的特点、勾股定理是解决正方形的相关股定理是解决正方形的相关证证明与明与计计算算问题问题的三把的
17、三把钥钥匙匙归纳小结归纳小结1如如图图，正正方方形形ABCD的的边边长长为为9，将将正正方方形形折折叠叠，使使顶顶点点D落落在在BC边边上的点上的点E处处，折痕，折痕为为GH.若若BE EC2 1,则线则线段段CH的的长长是是()A3 B4 C5 D6B课后练习课后练习2如如图图，在在边边长长为为2的的正正方方形形ABCD中中，点点Q为为BC边边的的中中点点，点点P为为对对角角线线AC上一上一动动点，点，连结连结PB，PQ，则则PBQ周周长长的最小的最小值为值为_3(易易错错题题)(绍绍兴兴中中考考)如如图图，在在直直线线AP上上方方有有一一个个正正方方形形ABCD，PAD30，以以点点B为为
18、圆圆心心，AB长长为为半半径径作作弧弧，与与AP交交于于点点A，M，分分别别以以点点A，M为为圆圆心心，AM长长为为半半径径作作弧弧，两两弧弧交交于于点点E，连连结结ED，则则ADE的度数的度数为为_15或或454(教教材材P121习习题题T2变变式式)(长长沙沙中中考考改改编编)如如图图，正正方方形形ABCD，点点E，F分分别别在在AD，CD上，且上，且DECF，AF与与BE相交于点相交于点G.(1)求求证证：BEAF；(2)若若AB4，DE1，求，求AG的的长长解解：(1)证证明明：四四边边形形ABCD是是正正方方形形，BAEADF90，ABADCD，DECF，AEDF，BAEADF(SA
19、S)，BEAF5(青青岛岛中中考考)如如图图，在在菱菱形形ABCD中中，点点E，O，F分分别别为为AB，AC，AD的中点，的中点，连结连结CE，CF，OE，OF.(1)求求证证：BCEDCF；(2)当当AB与与BC满满足什么关系足什么关系时时，四，四边边形形AEOF是正方形？是正方形？请说请说明理由明理由解解：(1)证证明明：四四边边形形ABCD是是菱菱形形，BD，ABBCDCAD，点点 E，F分分 别别 为为 AB，AD的的 中中 点点，AE BE DF AF，BCEDCF(SAS)(2)当当ABBC时时，四四边边形形AEOF是是正正方方形形，理理由由如如下下：由由(1)得得AEOEOFAF
20、，四四边边形形AEOF是是菱菱形形，ABBC，OEBC，OEAB，AEO90，四四边边形形AEOF是正方形是正方形6如如图图，在在正正方方形形ABCD中中，P是是对对角角线线BD上上的的一一点点，点点E在在AD的的延延长线长线上，且上，且PAPE，PE交交CD于点于点F.(1)证证明：明：PCPE；(2)求求CPE的度数；的度数；(3)如如图图，把把正正方方形形ABCD改改为为菱菱形形ABCD，其其他他条条件件不不变变，当当ABC120时时，连结连结CE，试试探究探究线线段段AP与与线线段段CE的数量关系，并的数量关系，并说说明理由明理由解解：(1)证证明明：在在正正方方形形ABCD中中，ABBC，ABPCBP45，又又PBPB，ABPCBP(SAS)，PAPC，PAPE，PCPE(2)ABPCBP，BAPBCP，DAPDCP，PAPE，DAPE，DCPE，CFPEFD，CPFEDF90(3)在在菱菱形形ABCD中中，ABBC，ABPCBP60，又又PBPB，ABPCBP(SAS)，PAPC，BAPBCP，PAPE，PCPE，DEPDAPDCP，PAPC，DAPAEP，DCPAEP，CFPEFD，CPFEDF180ADC18012060，EPC是等是等边边三角形，三角形，PCCE，APCE再见再见