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1、高等流体力学第四章第1页，本讲稿共29页假设奇点全在 的上半平面内，当无物体边界时，其复速度势为 ，当实轴为边界时，这些奇点在上半平面产生的复位势为4.11 4.11 镜像法镜像法以实轴为边界以实轴为边界式中 表示除 外其余复常数均取其共轭值。如图求实轴上点涡 的复位势，点涡复位势 第2页，本讲稿共29页事实上在实轴上，（即 的复共轭函数，表示对 中所有复数取共轭)，实数，即实轴是一条 的流线，并且在 的区域内并未增加新的奇点，即在上半平面内 的奇点和 的奇点完全一样，是除原奇点外的解析函数。4.11 4.11 镜像法镜像法这表明以实轴为边界时，一个点涡的复位势等于它本身的复位势与其以实轴为镜
2、面的镜像点 处一个反方向旋转的点涡的复位势的迭加。第3页，本讲稿共29页事实上在虚轴上 ，实数，即虚轴是 的流线，并且在 的区域内并不增加新的奇点。设奇点全在 的平面内，当无物体边界时，其复位势为 ，当虚轴为边界时，这些奇点在右半平面内产生的复位势为4.11 4.11 镜像法镜像法以虚轴为边界以虚轴为边界第4页，本讲稿共29页复位势可以增加或减少一个常数，而不影响流体运动，c可以略去。上式表明当以虚轴为边界时，一个点涡的复位势等于她本身的复位势与其以虚轴为镜面的镜像点 处一个反方向旋转的点涡的复位势的迭加。以点涡为例，由上式第5页，本讲稿共29页在圆上 所以 实数，即圆周是一条流线。另一方面，
3、奇点位置 ，全在圆外，其镜像点位置 ，全在圆内，圆外未增加奇点。设在无界流体中的复位势为 ，其所有奇点都在圆 外，当在流场中有一个圆心在原点，半径为 的圆柱时，满足圆柱面是条流线的复位势为4.11 4.11 镜像法镜像法圆定理圆定理第6页，本讲稿共29页圆柱的无环量绕流平行流的复位势圆柱无环量绕流的复速度势这正是4.7节所求得到的结果。第7页，本讲稿共29页例1：设在 点有一强度为 的点涡，求存在半径为 的圆周 时的复位势上式中常数可以删去。这正是我们在介绍镜像法时举例提到的圆外点涡流场的结果。4.11 4.11 镜像法镜像法解：第8页，本讲稿共29页4.12 4.12 保角变换保角变换 复变
4、函数 把 平面上的区域映射到 平面的某区域上去。如果函数 在 平面处处解析且 ，则的值与增量 的方向无关，而只是点的函数.设 ,或 ，则上式中 ，只应是点的函数。保角变换保角变换第9页，本讲稿共29页4.12 4.12 保角变换保角变换由上式可以看出在 平面上一点处具有长度为 的线元 ，经过 变换以后，在 平面的相应线元 的长度伸长了 倍，变为 ，而且曲线的方位旋转了 角。由于 只是 的函数，过同一点的所有曲线伸长了同样的倍数和旋转了同样的角度，且旋转方向相同，于是过同一点的任意两条曲线之间的夹角在变换后保持不变，这种映射称为保角映射。第10页，本讲稿共29页 4.12 4.12 保角变换保角
5、变换拉普拉斯方程拉普拉斯方程已知 在 平面内满足拉氏方程，上式中 ，可以从 得到。保角变换 把 变换为 平面中的函数 ，第11页，本讲稿共29页由上述条件可以证明 在 平面内也满足拉氏方程，（参阅Fundamental Mechanics of Fluids，pp.92-97）是解析函数，和 应分别满足柯西黎曼条件和拉氏方程，4.12 4.12 保角变换保角变换第12页，本讲稿共29页保角变换 把 平面中的拉氏方程转换为 平面中的拉氏方程，即如果 在 平面内是调和函数，在 平面内也必然是调和函数。4.12 4.12 保角变换保角变换第13页，本讲稿共29页4.12 4.12 保角变换保角变换若
6、存在保角变换复位势复位势因为 在 平面和 平面都满足拉氏方程，在 平面是复位势相反也成立。在 平面是复位势如果 平面内 已知，则 平面内相应的复位势 可通过代入变换函数而求得，若则第14页，本讲稿共29页4.12 4.12 保角变换保角变换在平面无旋流动理论中应用保角变换的基本思想是把 平面（物理平面）上比较复杂的外形变换成 平面（映射平面）上简单的外形，如圆或无穷长平板，而这些简单外形的流动复位势是已知的，于是就可求得复杂外形流动问题的复位势。第15页，本讲稿共29页物理平面和映射平面的复速度间不是一对一变换，而是相互成比例，比例系数取决于变换函数。经过保角变换复速度的大小、方向都改变了。4
7、.12 4.12 保角变换保角变换复速度复速度第16页，本讲稿共29页4.12 4.12 保角变换保角变换点源和点汇点源和点汇设 是封闭曲线C内所有涡的强度，是C内所有源的强度，则第17页，本讲稿共29页点涡、点源经保角变换后强度保持不变。设 是 平面和 平面上的相应封闭曲线，和 分别是 内一个点涡的强度和一个点源的强度，则4.12 4.12 保角变换保角变换第18页，本讲稿共29页（为实数）4.13 4.13 茹柯夫斯基变换茹柯夫斯基变换 在无穷远处物理平面和映射平面上的复速度相同，速度的大小和夹角都相等。茹柯夫斯基变换茹柯夫斯基变换在无穷远处茹柯夫斯基变换是恒等变换在无穷远处茹柯夫斯基变换
8、是恒等变换第19页，本讲稿共29页4.13 4.13 茹柯夫斯基变换茹柯夫斯基变换 奇点奇点是奇点。该点通常位于物体内部，对研究物体外流动无影响。第20页，本讲稿共29页4.13 4.13 茹柯夫斯基变换茹柯夫斯基变换 保角变换失效点保角变换失效点时称临界点(critical points)，在临界点变换不保角。第21页，本讲稿共29页平面上的两条线的夹角在 平面上变换为原夹角的2倍。第22页，本讲稿共29页4.13 4.13 茹柯夫斯基变换茹柯夫斯基变换 平面通过平面通过 点的光滑曲线在点的光滑曲线在 平面变换为尖角平面变换为尖角第23页，本讲稿共29页圆变线段圆变线段 4.13 4.13
9、茹柯夫斯基变换茹柯夫斯基变换 在上述变换中，圆变换为线段，圆外区域变换为整个 平面，圆内区域也变换为整个 平面，这可用圆外点 和圆内点 对应于 平面同一点来证明，因此上述变换是双值的。实际流动中，圆内区域在物体内部，上述双值性对研究物体外流场不造成理论上的困难。平面上圆心在原点，半径为 c 的圆变换为z平面实轴上的割线段。在 变换的保角性被破坏了。第24页，本讲稿共29页椭圆半长轴 ，半短轴 ，长轴沿 x 轴，短轴沿Y 轴。4.14 4.14 椭圆绕流椭圆绕流茹柯夫斯基变换 平面内圆方程，椭圆变圆椭圆变圆第25页，本讲稿共29页设 平面内均匀来流速度为U，相对于椭圆主轴攻角为 。因为在无穷远处
10、茹柯夫斯基变换是恒等变换，可知 平面内无穷远处的相应速度也为U，攻角也为 。4.14 4.14 椭圆绕流椭圆绕流在 平面原点放置圆柱，根据圆周定理可得绕流圆柱复位势，平面均匀来流复势 ，圆柱绕流复位势圆柱绕流复位势ZUU第26页，本讲稿共29页第一部分为均匀来流复位势；第二部分为由于椭圆引起的扰动流的复位势，在物面附近时影响显著，当 时趋于零。4.14 4.14 椭圆绕流椭圆绕流为满足 ，根号前取“+”，椭圆绕流复位势椭圆绕流复位势平面椭圆绕流复位势，第27页，本讲稿共29页两个特例 和 。第28页，本讲稿共29页4.14 4.14 椭圆绕流椭圆绕流驻点为平面椭圆绕流驻点，平面圆柱绕流驻点驻点驻点第29页，本讲稿共29页