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1、弹性的应力和应变第1页，本讲稿共19页第八章 弹性体的应力和应变 弹性形变弹性形变当物体所受外力撤除后，在外力作用下所发当物体所受外力撤除后，在外力作用下所发生的形状和体积的变化完全消失，而恢复原状的形变生的形状和体积的变化完全消失，而恢复原状的形变.弹性体弹性体弹性形变的物体，是一种理想模型弹性形变的物体，是一种理想模型.弹性的形变有拉伸压缩、剪切、扭转和弯曲弹性的形变有拉伸压缩、剪切、扭转和弯曲.拉伸压缩拉伸压缩和剪切形变是最基本的形变和剪切形变是最基本的形变.第2页，本讲稿共19页8.1 弹性体的拉伸和压缩弹性体的拉伸和压缩 8.1.1外力外力内力与应力内力与应力 ABAB外力外力 内力
2、内力 不计杆自身重量不计杆自身重量 应力应力 Fn是内力在外法线方向的投影是内力在外法线方向的投影,S是横截面积是横截面积 单位：帕单位：帕,N/m2 第3页，本讲稿共19页8.1.2直杆的线应变直杆的线应变 bb0ll0直杆原长与形变后长度之差直杆原长与形变后长度之差 绝对伸长绝对伸长 绝对压缩绝对压缩 线应变线应变 横向应变横向应变 泊松系数泊松系数 反映物质形变程度，反映物质形变程度，反映物质弹性特征反映物质弹性特征.第4页，本讲稿共19页8.1.3胡克定律胡克定律 （仅形变较小时成立）（仅形变较小时成立）胡克定律胡克定律 即即 E是弹性模量是弹性模量(杨氏模量杨氏模量),是描写材料本身
3、弹性的物理量是描写材料本身弹性的物理量.F l O CDB O AB P P 是塑性应变是塑性应变.断裂点断裂点 弹性极限弹性极限 第5页，本讲稿共19页骨骨马马牛牛猪猪人人拉伸弹性模量拉伸弹性模量股骨股骨25.525.014.917.6胫骨胫骨23.824.517.218.4肱骨肱骨17.818.314.617.5桡骨桡骨22.825.915.818.9压缩弹性模量压缩弹性模量股骨股骨9.40.478.74.9胫骨胫骨8.55.1肱骨肱骨9.05.0桡骨桡骨8.45.3表表8.3 密质骨的弹性模量密质骨的弹性模量/GPa 第6页，本讲稿共19页8.1.4拉伸和压缩的形变势能拉伸和压缩的形变势
4、能 设形变量设形变量 ，直杆形变前，直杆形变前=0；发生形变；发生形变 l,=l 弹性力是保守力弹性力是保守力.弹性力所做的功等于弹性体弹性势能的减少弹性力所做的功等于弹性体弹性势能的减少.胡克定律胡克定律 外力做功外力做功 设未形变时势能为零，设未形变时势能为零，则则 弹性势能弹性势能 弹性势能密度弹性势能密度 第7页，本讲稿共19页例题例题本段标题为杆的拉伸压缩，但并非仅直杆内存在拉伸压缩应本段标题为杆的拉伸压缩，但并非仅直杆内存在拉伸压缩应力力.如图表示装高压气体的薄壁圆柱形容器的横断面。壁厚为如图表示装高压气体的薄壁圆柱形容器的横断面。壁厚为d 且且圆柱的半径为圆柱的半径为R.气体压强
5、为气体压强为p，求壁内沿圆周切向的应力，求壁内沿圆周切向的应力.不计不计容器自重且不计大气压容器自重且不计大气压.Rd2pR d d解解 受力如图所示。按平衡条件得受力如图所示。按平衡条件得即器壁沿圆周切向受拉应力即器壁沿圆周切向受拉应力.第8页，本讲稿共19页8.2 弹性体的剪切形变弹性体的剪切形变 8.2.1剪切形变剪切形变切应切应力与切应变力与切应变 8.2.2剪切形变的胡克定律剪切形变的胡克定律 第9页，本讲稿共19页8.2 弹性体的剪切形变弹性体的剪切形变 8.2.1剪切形变剪切形变切应切应力与切应变力与切应变 剪切形变剪切形变物体受到力偶作用使物体两个平行截面物体受到力偶作用使物体
6、两个平行截面间发生相对平行移动间发生相对平行移动.ABCD切应力切应力 S是截面是截面ABCD的面积，的面积，物体受到力偶物体受到力偶 发生剪切变形发生剪切变形 切应力具有与正应力相同的量纲和单位切应力具有与正应力相同的量纲和单位.1.切应力切应力 第10页，本讲稿共19页剪切应力互等定律：剪切应力互等定律：作用于互相垂直的假想截面上并垂直作用于互相垂直的假想截面上并垂直于该两平面交线的切应力相等于该两平面交线的切应力相等.abc力偶矩力偶矩 2.剪切应力互等剪切应力互等 和和 分别表示上下底面和左右侧面的切应力分别表示上下底面和左右侧面的切应力 第11页，本讲稿共19页3.剪切应变描述剪切应
7、变描述 abcdb c 剪切形变特征剪切形变特征:切应变切应变 :平行截面间相对滑移平行截面间相对滑移与截面垂直距离之比与截面垂直距离之比.即即 形变小时，形变小时，又称切变角又称切变角.第12页，本讲稿共19页8.2.2剪切形变的胡克定律剪切形变的胡克定律 即即 G称切变模量，称切变模量，由材料弹性决定由材料弹性决定.G反映材料抵抗剪切形变反映材料抵抗剪切形变的能力，的能力，单位与弹性模量相同单位与弹性模量相同.剪切形变的胡克定律剪切形变的胡克定律若形变在一定限度内，切应力若形变在一定限度内，切应力与切应变成正比与切应变成正比.弹性模量弹性模量E、切变模量、切变模量G和泊松系数和泊松系数 之
8、间的关系为之间的关系为 1.剪切形变的胡克定律剪切形变的胡克定律 第13页，本讲稿共19页2.E、G和和 之间关系的定性说明之间关系的定性说明 设杆所受外界拉力一定设杆所受外界拉力一定.一定时，一定时，E与与G成正比成正比.E一定时，一定时，大大G小小，小小G大大单位体积剪切形变的弹性势能为单位体积剪切形变的弹性势能为 第14页，本讲稿共19页8.3弯曲和扭转弯曲和扭转 8.3.1梁的弯曲梁的弯曲 8.3.2杆的扭转杆的扭转 第15页，本讲稿共19页8.3弯曲和扭转弯曲和扭转 8.3.1梁的弯曲梁的弯曲 梁的弯曲和杆的扭转都可以看成是由拉伸压缩和剪切形变梁的弯曲和杆的扭转都可以看成是由拉伸压缩
9、和剪切形变两种基本形变的组合两种基本形变的组合.AA BCC B M1M2AA BC B C矩形横截面梁矩形横截面梁，不计自重，不计自重,如图如图 第16页，本讲稿共19页MAA bh弯曲形变特点弯曲形变特点:弯曲后，靠近上缘各层发生压缩形变；靠近下缘各弯曲后，靠近上缘各层发生压缩形变；靠近下缘各层，发生拉伸形变层，发生拉伸形变.处于中间的的处于中间的的CC 层层(中性层中性层)既不伸既不伸长也不压缩长也不压缩.中性层曲率中性层曲率M是加于梁的力偶矩，是加于梁的力偶矩，E为材料的杨氏模量，为材料的杨氏模量，b为梁宽度，为梁宽度，h为梁的高度为梁的高度.第17页，本讲稿共19页8.3.2杆的扭转
10、杆的扭转 圆柱体受到作用在与其轴线垂直的两个平面上大圆柱体受到作用在与其轴线垂直的两个平面上大小相等方向相反的两个力偶矩，发生扭转形变小相等方向相反的两个力偶矩，发生扭转形变.MM 是扭转角是扭转角,rl AA 扭转形变扭转形变 体元剪切形变体元剪切形变 l、r、和和 物物理意义理意义 r 表示体元所在半径，表示体元所在半径，l 表示柱长表示柱长.第18页，本讲稿共19页扭转形变实质上是由剪切形变组成的扭转形变实质上是由剪切形变组成的.微小形变时，狭长体元的切应变为微小形变时，狭长体元的切应变为 内外层切应变不同，根据胡克定律，内外层切应力内外层切应变不同，根据胡克定律，内外层切应力也不同，靠外层切应力较大也不同，靠外层切应力较大.可以证明，扭转力偶矩可以证明，扭转力偶矩M和扭转角和扭转角 的关系为的关系为 R和和 l 分别表示圆柱体的半径与长度，分别表示圆柱体的半径与长度，G为切变模量，为切变模量，圆柱体扭转系数圆柱体扭转系数 第19页，本讲稿共19页