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1、弹性力学第三章弹性力学第三章第1页，本讲稿共38页3-1 3-1 多项式解答多项式解答3-2 3-2 位移分量的求出位移分量的求出3-3 3-3 简支梁受均布载荷简支梁受均布载荷3-4 3-4 楔形体受重力和液体压力楔形体受重力和液体压力主主 要要 内内 容容第2页，本讲稿共38页3-1 3-1 多项式解答多项式解答(Solutions by Polynomials)(Solutions by Polynomials)适用性：适用性：由一些直线边界构成的弹性体。由一些直线边界构成的弹性体。目的：目的：考察一些简单考察一些简单多项式函数多项式函数作为应力函数作为应力函数(x,y)，能解决什么样的
2、力学问题。，能解决什么样的力学问题。逆解法逆解法其中：其中：a、b、c 为待定系数。为待定系数。检验检验(x,y)是否满足双调和方程：是否满足双调和方程：显然显然(x,y)满足双调和方程，因而可作为应力函数。满足双调和方程，因而可作为应力函数。（1）1.一次多项式一次多项式 polynomial of first degree polynomial of first degree（2）Inverse method第3页，本讲稿共38页3-1 3-1 多项式解答多项式解答(Solutions by Polynomials)(Solutions by Polynomials)适用性：适用性：由一些
3、直线边界构成的弹性体。由一些直线边界构成的弹性体。目的：目的：考察一些简单考察一些简单多项式函数多项式函数作为应力函数作为应力函数(x,y)，能解决什么样的力学问题。，能解决什么样的力学问题。逆解法逆解法1.一次多项式一次多项式 polynomial of first degree polynomial of first degree（3）对应的应力分量：对应的应力分量：若体力：若体力：X=Y=0，则有：，则有：Inverse method结论结论1：（1）（2）一次多项式对应于一次多项式对应于无体力和无应力状态；无体力和无应力状态；在该函数在该函数(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力
4、无影响。上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。第4页，本讲稿共38页2.二次多项式二次多项式 polynomial of second degree polynomial of second degree（1）其中：其中：a、b、c 为待定常系数。为待定常系数。(假定：假定：X=Y =0;a 0,b 0,c 0)检验检验(x,y)是否满足双调和方程，显然有是否满足双调和方程，显然有（2）(可作为应力函数可作为应力函数)（3）由式（由式（2-26）计算应力分量：）计算应力分量：xy2c2c2a2a结论结论2：二次多项式对应于二次多项式对应于均匀应力分布。均匀应力分布。第5页，本讲稿共38页x
5、y试求图示板的应力函数。试求图示板的应力函数。例：例：xy第6页，本讲稿共38页3.三次多项式三次多项式 polynomial of second degree（1）其中其中:a、b、c、d 为待定系数。为待定系数。检验检验(x,y)是否满足双调和方程，显然有是否满足双调和方程，显然有（2）(可作为应力函数可作为应力函数)(假定：假定：X=Y =0)（3）由式（由式（2-26）计算应力分量：）计算应力分量：结论结论3：三次齐次多项式对应于三次齐次多项式对应于线性应力分布。线性应力分布。第7页，本讲稿共38页例：例：可算得：可算得：xy1ll图示梁对应的边界条件：图示梁对应的边界条件：MM可见：
6、可见：对应于矩形截面梁的对应于矩形截面梁的纯弯曲问题纯弯曲问题应力分布。应力分布。常数常数 d 与弯矩与弯矩 M 的关系：的关系：(1)由梁端部的边界条件：由梁端部的边界条件：(2)可见：可见：此结果与材力中结果相同，此结果与材力中结果相同，说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的。说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的。第8页，本讲稿共38页xy1llMM说明：说明：(1)组成梁端力偶组成梁端力偶 M 的面力的面力须线性分布须线性分布，且中心处为零，结果才是且中心处为零，结果才是精确的精确的。(2)若按其它形式分布，如：若按其它形式分布，如：则此结果不精确，有误差；则此结果不精确，有误差；但按圣维
7、南原理，仅在两端误差较大，但按圣维南原理，仅在两端误差较大，离端部较远处误差较小。离端部较远处误差较小。(3)当当 l 远大于远大于 h 时，误差较小；反之误差较大。时，误差较小；反之误差较大。第9页，本讲稿共38页4.四次多项式四次多项式（1）检验检验(x,y)是否满足双调和方程是否满足双调和方程（2）得得第10页，本讲稿共38页可见，对于函数：可见，对于函数：其待定系数，须满足下述关系才能作为应函数：其待定系数，须满足下述关系才能作为应函数：（3）应力分量：应力分量：应力分量为应力分量为 x、y 的的二次函数。二次函数。（4）特例：特例：（须满足：（须满足：a+e=0）第11页，本讲稿共3
8、8页总结：总结：（多项式应力函数（多项式应力函数 的性质）的性质）（1）多项式次数多项式次数 n 4 时，则系数可以任意选取，总可满足时，则系数可以任意选取，总可满足 。多项式次数多项式次数 n 4 时，则系数时，则系数须满足须满足一定条件，才能满足一定条件，才能满足 。多项式次数多项式次数 n 越高，则系数间需满足的条件越多。越高，则系数间需满足的条件越多。（2）一次多项式，对应于一次多项式，对应于无体力和无应力状态；无体力和无应力状态；任意应力函数任意应力函数(x,y)上加上或减去上加上或减去一个一个一次多项式一次多项式，对应力无影响。，对应力无影响。二次多项式二次多项式，对应，对应均匀应
9、力均匀应力状态，即全部应力为常量；状态，即全部应力为常量；三次多项式三次多项式，对应于，对应于线性线性分布应力分布应力。（3）（4）用多项式构造应力函数用多项式构造应力函数(x,y)的方法的方法 逆解法（只能解决简单逆解法（只能解决简单直线应力直线应力边界边界问题）。问题）。按应力求解平面问题，其基本未知量为：按应力求解平面问题，其基本未知量为：，如何由，如何由 求出形变分量、位移分量？求出形变分量、位移分量？问题：问题：第12页，本讲稿共38页3-2 3-2 位移分量的求出位移分量的求出Determination of displacementsDetermination of displa
10、cements以以纯弯曲梁为例纯弯曲梁为例，说明如何由，说明如何由 求出形变分量、位移分量求出形变分量、位移分量？xyl1hMM1.形变分量与位移分量形变分量与位移分量由前节可知，其应力分量为：由前节可知，其应力分量为：平面应力情况下的物理方程：平面应力情况下的物理方程：（1）形变分量）形变分量(a)将式（将式（a）代入得：）代入得：(b)（2）位移分量）位移分量将式（将式（b）代入几何方程得：）代入几何方程得：(c)第13页，本讲稿共38页（2）位移分量）位移分量(c)将式（将式（c）前两式积分，得：）前两式积分，得：(d)将式将式(d)代入代入(c)中第三式，得：中第三式，得：式中：式中：
11、为待定函数。为待定函数。整理得：整理得：（仅为（仅为 x 的函数）的函数）（仅为（仅为 y 的函数）的函数）要使上式成立，须有要使上式成立，须有(e)式中：式中：为常数。为常数。积分上式，得积分上式，得将上式代入式（将上式代入式（d），得），得(f)第14页，本讲稿共38页（1）(f)讨论：讨论：式中：式中：u0、v0、由位移边界条件确定。由位移边界条件确定。当当 x=x0=常数常数（2）位移分量）位移分量xyl1hMM u 关于铅垂方向的变化率，即铅垂方向线段的转角。关于铅垂方向的变化率，即铅垂方向线段的转角。说明：说明：同一截面上的各铅垂线段转同一截面上的各铅垂线段转角相同角相同。横截面保
12、持平面横截面保持平面 材力中材力中“平面保持平面平面保持平面”的假设成立的假设成立。第15页，本讲稿共38页（2）将下式中的第二式对将下式中的第二式对 x 求二阶导数：求二阶导数：说明：说明：在微小位移下，梁纵向纤维的曲率在微小位移下，梁纵向纤维的曲率相同。即相同。即 材料力学中挠曲线微分方程材料力学中挠曲线微分方程第16页，本讲稿共38页2.位移边界条件的利用位移边界条件的利用（1）两端简支）两端简支(f)其边界条件：其边界条件：将其代入将其代入(f)式，有式，有将其代回将其代回(f)式，有式，有(3-3)梁的挠曲线方程：梁的挠曲线方程：与材力中结果相同与材力中结果相同第17页，本讲稿共38
13、页（2）悬臂梁）悬臂梁(f)边界条件边界条件h/2h/2由式（由式（f）可知，此边界条件无法满足。）可知，此边界条件无法满足。边界条件改写为：边界条件改写为：（中点不动）（中点不动）（该点水平轴线在（该点水平轴线在端部不转动）端部不转动）代入式（代入式（f），有），有可求得：可求得：第18页，本讲稿共38页(3-4)h/2h/2挠曲线方程：挠曲线方程：与材料力学中结果相同与材料力学中结果相同说明：说明：（1）求位移的过程：求位移的过程：（a）将应力分量代入物理方程）将应力分量代入物理方程（b）再将应变分量代入几何方程）再将应变分量代入几何方程（c）再利用位移边界条件，确定常数。）再利用位移边界
14、条件，确定常数。（2）若为平面应变问题，）若为平面应变问题，则将材料常数则将材料常数E、作相作相应替换。应替换。第19页，本讲稿共38页（1）根据问题的条件根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），（几何形状、受力特点、边界条件等），假设部分应力分量假设部分应力分量 的某种函数形式的某种函数形式；（2）根据根据 与应力函数与应力函数(x,y)的关系及的关系及 ，求，求出出(x,y)的形式；的形式；（3）最后利用式（最后利用式（2-26）计算出）计算出 并让其满足边界条件和并让其满足边界条件和位移单值条件。位移单值条件。半逆解法半逆解法位移分量求解：位移分量求解：（1）将已求得的应力分量
15、将已求得的应力分量（2）（3）代入物理方程，求得应变分量代入物理方程，求得应变分量将应变分量将应变分量代入几何方程，并积分求得位移分量代入几何方程，并积分求得位移分量表达式；表达式；由位移边界条件确定表达式中常数，得最终结果。由位移边界条件确定表达式中常数，得最终结果。Semi-inverse methodSemi-inverse method第20页，本讲稿共38页3-3 3-3 简支梁受均布载荷简支梁受均布载荷要点要点 用用半逆解法半逆解法求解梁、长板类平面问题。求解梁、长板类平面问题。xyllqlql1yzh/2h/2q1.应力函数的确定应力函数的确定(1)分析：分析：主要由弯矩引起；主
16、要由弯矩引起；主要由剪力引起；主要由剪力引起；由由 q 引起（挤压应力）。引起（挤压应力）。又又 q=常数，图示坐标系和几何对称，常数，图示坐标系和几何对称，不随不随 x 变化。变化。推得：推得：(2)由应力分量表达式确定应力函数由应力分量表达式确定应力函数 的形式：的形式：积分得：积分得：(a)(b)任意的待定函数任意的待定函数Simply supported beam under uniform load第21页，本讲稿共38页xyllqlql1yzh/2h/2q(a)(b)任意的待定函数任意的待定函数(3)由由 确定：确定：代入相容方程：代入相容方程：第22页，本讲稿共38页xyllql
17、ql1yzh/2h/2q方程的特点：方程的特点：关于关于 x 的二次方程，且要求的二次方程，且要求 l x l 内方程均成立内方程均成立,有无穷根。有无穷根。由由“高等代数高等代数”理论，须有理论，须有x 的一、二次的系数、自由项同时为零。即：的一、二次的系数、自由项同时为零。即：对前两个方程积分：对前两个方程积分：(c)此处略去了此处略去了f1(y)中的常数项中的常数项对第三个方程得：对第三个方程得：积分得：积分得：(d)第23页，本讲稿共38页(c)(d)xyllqlql1yzh/2h/2q(a)(b)将将(c)(d)代入代入(b)，有，有(e)此处略去了此处略去了f2(y)中的一次项和常
18、数项中的一次项和常数项式中含有式中含有9个待定常数。个待定常数。第24页，本讲稿共38页(e)2.应力分量的确定应力分量的确定(f)(g)(h)3.对称条件与边界条件的应用对称条件与边界条件的应用第25页，本讲稿共38页(f)(g)(h)（1）对称条件的应用：）对称条件的应用：xyllqlql1yzh/2h/2q由由 q 对称、几何对称：对称、几何对称：x 的偶函数的偶函数 x 的奇函数的奇函数由此得：由此得：要使上式对任意的要使上式对任意的 y 成立，须有：成立，须有：第26页，本讲稿共38页xyllqlql1yzh/2h/2q（2）边界条件的应用：）边界条件的应用：(a)上下边界（主要边界
19、）：上下边界（主要边界）：由此解得：由此解得：代入应力公式代入应力公式第27页，本讲稿共38页xyllqlql1yzh/2h/2q(i)(j)(k)(b)左右边界（次要边界）：左右边界（次要边界）：（由于对称，只考虑右边界即可。）（由于对称，只考虑右边界即可。）不可能满足，需借助于圣维南原理。不可能满足，需借助于圣维南原理。静力等效条件：静力等效条件：轴力轴力 N=0；弯矩弯矩 M=0；剪力剪力 Q=ql；第28页，本讲稿共38页(i)(j)(k)可见，这一条件自动满足。可见，这一条件自动满足。代入：代入：第29页，本讲稿共38页xyllqlql1yzh/2h/2q(p)截面上的应力分布：截面
20、上的应力分布：三次抛物线三次抛物线第30页，本讲稿共38页xyllqlql1yzh/2h/2q(p)4.与材料力学结果比较与材料力学结果比较材力中几个参数材力中几个参数：截面宽：截面宽：b=1,截面惯矩：截面惯矩：静矩：静矩：弯矩：弯矩：剪力：剪力：将其代入式将其代入式(p)，有，有（3-6）第31页，本讲稿共38页xyllqlql1yzh/2h/2q（3-6）比较，得：比较，得：（1）第一项与材力结果相同，为主要项。第一项与材力结果相同，为主要项。第二项为修正项。当第二项为修正项。当 h/l1，该项，该项误差很小，可略；当误差很小，可略；当 h/l较大时，须较大时，须修正。修正。（2）为梁各
21、层纤维间的挤压应力，材力中不为梁各层纤维间的挤压应力，材力中不考虑。考虑。（3）与材力中相同。与材力中相同。注意：注意：按式（按式（3-6），梁的左右边），梁的左右边界存在水平面力：界存在水平面力：说明式（说明式（3-6）在两端不适用。）在两端不适用。第32页，本讲稿共38页解题步骤小结：解题步骤小结：（1）（2）（3）根据问题的条件：几何特点、受力特点、约束特点（面力分布规律根据问题的条件：几何特点、受力特点、约束特点（面力分布规律、对称性等），估计、对称性等），估计某个应力分量某个应力分量（）的变化形式。）的变化形式。由由 与应力函数与应力函数 的关系式（的关系式（2-26），求得应），求
22、得应力函数力函数 的具体形式（具有待定函数）。的具体形式（具有待定函数）。（4）（5）将具有待定函数的应力函数将具有待定函数的应力函数 代入相容方程：代入相容方程：确确定定 中的待定函数形式。中的待定函数形式。由由 与应力函数与应力函数 的关系式（的关系式（2-26），求得应），求得应力分量力分量 。由边界条件确定由边界条件确定 中的待定常数。中的待定常数。用半逆解法求解用半逆解法求解梁、矩形长板梁、矩形长板类弹性力学平面问题的类弹性力学平面问题的基本步骤基本步骤：第33页，本讲稿共38页例题：例题：悬臂梁，厚度为单位悬臂梁，厚度为单位1，=常数。求：常数。求：应力函数应力函数 及梁内应力。及
23、梁内应力。xyObl解：解：(1)应力函数的确定应力函数的确定xQM取任意截面，其内力如图：取任意截面，其内力如图：取取 作为分析对象，可假设：作为分析对象，可假设：（a）f(y)为待定函数为待定函数由由 与应力函数与应力函数 的关系，有：的关系，有：（b）对对 x 积分一次，有：积分一次，有：对对 y 再积分一次，有：再积分一次，有：其中：其中：（c）第34页，本讲稿共38页xyOblxQM（c）由由 确定待定函数：确定待定函数：（d）要使上式对任意的要使上式对任意的x，y成立，有成立，有（e）（f）由式（由式（e）求得）求得（g）由式（由式（f）得）得（h）（i）积分式（积分式（h）和（）和（i）得）得（j）（k）第35页，本讲稿共38页xyOblxQM(l)包含包含9个待定常数，由边界条件确定。个待定常数，由边界条件确定。(2)应力分量的确定应力分量的确定(m)第36页，本讲稿共38页xyOblxQM(3)利用边界条件确定常数利用边界条件确定常数(o)代入可确定常数为：代入可确定常数为：把这些常数代入式（把这些常数代入式（m）得）得第37页，本讲稿共38页xyOblxQM第38页，本讲稿共38页