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1、圆周运动本科思本科思维导图维导图高考考高考考纲纲复复习习目目标标理解线速度、角速度、周期、转速等描述圆周运动快慢的物理量。理解向心加速度的概念，掌握向心加速度的公式及其相关计算。理解向心力的概念，掌握向心力公式并会计算。会分析生活中圆周运动向心力的来源。知道离心运动的条件，应用和危害。知知识识梳理梳理匀速圆周运动及描述1.匀速圆周运动(1)定义：做圆周运动的物体，若在任意相等的时间内通过的圆弧长_，就是匀速圆周运动。相等(2)特点：加速度大小不变，方向始终指向_，是变加速运动。圆心(3)条件：合外力大小不变、方向始终与_方向垂直且指向圆心。速度知知识识梳理梳理匀速圆周运动及描述2.描述匀速圆周
2、运动的物理量快慢转动快慢m/srad/s知知识识梳理梳理匀速圆周运动及描述2.描述匀速圆周运动的物理量一圈s方向圆心知知识识梳理梳理匀速圆周运动及描述3.描述圆周运动快慢的各物理量之间的关系v、r的图象关系例例题题描述描述圆圆周运周运动动物理量的基本公式物理量的基本公式(多选)一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为4m/s，转动周期为2s，则（）A.角速度为0.5rad/sB.转速为0.5r/sC.轨迹半径为mD.加速度大小为4BCD例例题题描述描述圆圆周运周运动动物理量的基本公式物理量的基本公式如图所示，钟表的秒针、分针、时针转动周期、角速度都不同，下列说法中正确的是（）A.秒针的周期最大，角
3、速度最大B.秒针的周期最小，角速度最大C.时针的周期最大，角速度最大D.时针的周期最小，角速度最大B提示：秒针转一圈用时1min，分针转一圈用时1h，时针转一圈用时12h例例题题描述描述圆圆周运周运动动物理量的基本公式物理量的基本公式在暗室内，一台双叶电扇绕O轴沿顺时针方向转动，如图所示转速为50圈/秒。在闪光灯的照射下，出现了稳定的如右图所示的图象。则闪光灯的闪频（每秒闪动的次数）的最大值是多少？解析：闪光灯的闪频最大时，所对应的扇叶转动位置应是扇叶第一次转过90角，由于n=50转/秒，即f=50Hz，则周期T=s=0.02s.由题意知，扇叶转过90时的闪光间隔为T=s=s.故每秒闪光次数f
4、=Hz=200Hz.提示：闪光灯的闪频最大时，所对应的扇叶转动位置应是扇叶第一次转过90角。例例题题描述描述圆圆周运周运动动物理量的基本公式物理量的基本公式风速仪结构如图a所示。光源发出的光经光纤传输，被探测器接收，当风轮旋转时，通过齿轮带动凸轮圆盘旋转，当圆盘上的凸轮经过透镜系统时光被挡住。已知风轮叶片转动半径为r，每转动n圈带动凸轮圆盘转动一圈。若某段时间t内探测器接收到的光强随时间变化关系如图b所示，则该时间段内风轮叶片（）A.转速逐渐减小，平均速率为4nr/tB.转速逐渐减小，平均速率为8nr/tC.转速逐渐增大，平均速率为4nr/tD.转速逐渐增大，平均速率为8nr/t提示：b图说明
5、透过光的时间越来越长，且在t时间内凸轮圆盘转了4圈解析：由图14-3（b）分析可知透过光的时间越来越长，说明风轮叶片转速逐渐减小，还能看出t时间内凸轮圆盘转了4圈，又因为它转1圈风轮叶片转n圈，所以t时间内风轮叶片转了4圈，所以它的平均速率，故只有B项正确。B例例题题描述描述圆圆周运周运动动物理量的基本公式物理量的基本公式（2012山西）机械手表的分针与秒针从重合至第二次重合，中间经历的时间为（）B、1min提示：秒针比分针转动得快（角速度大），它们从重合至第二次重合，秒针一定比分针多砖一圈。C例例题题描述描述圆圆周运周运动动物理量的基本公式物理量的基本公式解析：先求出分针与秒针的角速度：设两
6、次重合时间间隔为t，则有例例题题描述描述圆圆周运周运动动物理量之物理量之间间的关系的关系（2015海南模拟）如图所示，在开门过程中，门上A、B两点的角速度、线速度v大小关系是（）A.ABB.A=BC.vAvBD.vA=vBB提示：开门过程中，A、B在相同时间转过的角度相同。例例题题描述描述圆圆周运周运动动物理量之物理量之间间的关系的关系（2011四川高一）（多选）甲、乙两个做匀速圆周运动的质点，它们的角速度之比为3:1，线速度之比为2:3，那么下列说法正确的是（）A.它们的半径之比为2:9B.它们的半径之比为1:2C.它们的周期之比为2:3D.它们的周期之比为1:3AD提示：根据它们角速度和线
7、速度的关系，得出它们做圆周运动的半径关系（v=r）。周期与角速度成反比。（=2/T）例例题题描述描述圆圆周运周运动动物理量之物理量之间间的关系的关系（2015南京三模）一质点以匀速率在水平面上做曲线运动，其轨迹如图所示，从图中可以看出，质点在a、b、c、d四点处加速度最大的点是（）A.aB.bC.cD.d提示：a=。速率相等时，加速度与运动圆半径成反比。C规规律律总结总结对公式vr的理解当r一定时，v与成正比.当一定时，v与r成正比.当v一定时，与r成反比.对的实验室在v一定时，an与r成反比；在一定时，an与r成正比.练习练习（2016广西模拟）关于匀速圆周运动的向心加速度，下列说法中正确的
8、是（）A.由于a=，所以线速度大的物体向心加速度大B.由于a=，所以半径大的物体向心加速度小C.由于a=，所以角速度大的物体向心加速度大D.由于a=，所以角速度大的物体向心加速度可能大D知知识识梳理梳理常见的传动方式及特点1.皮带传动：如图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动运动特点：两轮的转动方向与皮带的绕行方式有关，可同向转动，也可反向转动等量关系：两轮边缘线速度大小相等，即vAvB.两者角速度与其半径成反比，周期与其半径成正比知知识识梳理梳理常见的传动方式及特点2.摩擦传动和齿轮传动：如图甲、乙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象。定量关系：两轮边缘线速度大小相等，即vAvB.（z1、z
9、2分别表示两齿轮的齿数）知知识识梳理梳理常见的传动方式及特点3.同轴传动：如图甲、乙所示，绕同一转轴转动的物体。运动特点：转动方向相同等量关系：A点和B点转动的周期、角速度相同，AB由vr知v与r成正比.例例题题(多选)如图所示，当正方形薄板绕着过其中心O与板垂直的轴转动时，板上A、B两点的（）A.角速度之比AB11B.角速度之比AB1C.角速度之比AB1D.角速度之比AB1提示：A、B的转动是共轴转动模型AD例例题题(多选)(2018新疆石河子调研)如图为一链条传动装置的示意图。已知主动轮是逆时针转动的，转速为n，主动轮和从动轮的半径比为k，下列说法正确的是（）A.从动轮是顺时针转动的B.主
10、动轮和从动轮边缘的线速度大小相等C.从动轮的转速为nkD.从动轮的转速为提示：主动轮和从动轮的转动是皮带传动模型。BC例例题题如图所示，轮O1、O3固定在同一转轴上，轮O1、O2用皮带连接且不打滑。在O1、O2、O3三个轮的边缘各取一点A、B、C，已知三个轮的半径之比r1r2r3211，求：(1)A、B、C三点的线速度大小之比vAvBvC；提示：A、C是共轴转动模型，A、B是皮带传动模型。解析：令vAv，由于皮带传动时不打滑，所以vBv.因AC，由公式vr知，当角速度一定时，线速度跟半径成正比，故vC=v，所以vAvBvC221.221例例题题(2)A、B、C三点的角速度大小之比ABC；提示：
11、A、C是共轴转动模型，A、B是皮带传动模型。解析：令A，由于轮O1、O3共轴转动，所以C.因vAvB，由公式知，当线速度一定时，角速度跟半径成反比，故B2，所以ABC121.121例例题题(3)A、B、C三点的向心加速度大小之比aAaBaC.提示：A、C是共轴转动模型，A、B是皮带传动模型。解析：令A点向心加速度为aAa，因vAvB，由公式a知，当线速度一定时，向心加速度跟半径成反比，所以aB2a.又因为AC，由公式a2r知，当角速度一定时，向心加速度跟半径成正比.故aCa.所以aAaBaC241.241练习练习B（2013丹东）如图所示是一个皮带传动减速装置，轮A和轮B共轴固定在一起，各轮半
12、径半径之比RA：RB：RC：RD=2:1:1:2，则在运转过程中，轮C边缘上一点和轮D边缘上一点向心加速度之比为（）A.4:1B.8:1C.2:1D.16:1练习练习(多选)(2018辽宁丹东质检)在如图所示的齿轮传动中，三个齿轮的半径之比为236，当齿轮转动的时候，小齿轮边缘的A点和大齿轮边缘的B点（）A.A点和B点的线速度大小之比为11B.A点和B点的角速度之比为11C.A点和B点的角速度之比为31D.以上三个选项只有一个是正确的AC练习练习如图所示，一种向自行车车灯供电的小发电机的上端有一半径r0=1.0cm的摩擦小轮，小轮与自行车车轮的边缘接触。当车轮转动时，因摩擦而带动小轮转动，从而
13、为发电机提供动力。自行车车轮的半径R1=35cm，小齿轮的半径R2=4.0cm，大齿轮的半径R3=10.0cm。求大齿轮的转速n1与摩擦小轮的转速n2之比。（假定摩擦小轮与自行车车轮之间无相对滑动）提示：大小齿轮间、摩擦小轮和车轮间与皮带传动原理相同。小齿轮和车轮同轴转动练习练习解析：大小齿轮间，摩擦小轮和车轮间与皮带传动原理相同，两轮边缘点的线速度大小相等，由v=2nr可知转速n和半径r成反比；小齿轮和车轮同轴转动，两轮上各点的转速相同。大齿轮与小齿轮转速的关系n1:n小=R1:R3;车轮与小齿轮转速的关系n车=n小，车轮和摩擦小齿轮的转速的关系n车：n2=r0：R1；由以上各式，可求出大齿
14、轮与摩擦小轮的转速之比n1：n2=2：175。知知识识梳理梳理匀速匀速圆圆周运周运动动的向心力的向心力1.作用效果向心力产生向心加速度，只改变速度的_，不改变速度的_。方向大小2.大小3.方向始终沿半径方向指向_，时刻在改变，即向心力是一个变力。圆心知知识识梳理梳理匀速匀速圆圆周运周运动动的向心力的向心力4.来源向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的_提供，还可以由一个力的_提供。合力分力拉力充当向心力拉力在水平方向的分力充当向心力静摩擦力充当向心力支持力充当向心力例例题题向心力的理解向心力的理解(多选)下列关于做匀速圆周运动的物体所受向心力的说法正确的是（）A.因向心力总是沿半径指向圆心，
15、且大小不变，故向心力是一个恒力B.因向心力指向圆心，且与线速度方向垂直，所以它不能改变线速度的大小C.向心力就是物体所受的合外力D.向心力和向心加速度的方向都是不变的BC注意：质点做匀速圆周运动的条件：合力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心。质点做非匀速圆周运动时，合力有两个作用：沿速度方向的分量产生切向加速度，只改变速度的大小；沿半径方向的分量产生向心加速度，只改变速度的方向。例例题题向心力的来源向心力的来源如图所示，小物体A与水平圆盘保持相对静止，跟着圆盘一起做匀速圆周运动，则A受力情况是（）A.重力、支持力B.重力、向心力C.重力、支持力、指向圆心的摩擦力D.重力、支持力、向心力
16、、摩擦力提示：物体做匀速圆周运动，必然需要向心力，考虑哪些力可以为它提供向心力。C例例题题向心力的来源向心力的来源一只小狗拉雪橇沿位于水平面内的圆弧形道路匀速行驶，如图所示画出了雪橇受到牵引力F和摩擦力f可能方向的示意图，其中表示正确的图是（）ABCD提示：物体做匀速圆周运动，其合外力必定指向圆心。摩擦力方向必定与运动方向相反。C例例题题向心力的来源向心力的来源(2015天津理综4)未来的星际航行中，宇航员长期处于零重力状态，为缓解这种状态带来的不适，有人设想在未来的航天器上加装一段圆柱形“旋转舱”，如图3所示.当旋转舱绕其轴线匀速旋转时，宇航员站在旋转舱内圆柱形侧壁上，可以受到与他站在地球表
17、面时相同大小的支持力.为达到上述目的，下列说法正确的是（）A.旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越大B.旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越小C.宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越大D.宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越小解析由题意知有mgFmr，即gr，因此r越大，越小，且与m无关，B正确.B例例题题向心力的来源向心力的来源(多选)如图所示，两个质量不同的小球用长度不等的细线拴在同一点，并在同一水平面内做匀速圆周运动，则它们的（）A.周期相同B.线速度的大小相等C.角速度的大小相等D.向心加速度的大小相等AC提示：两球的合力必定在水平面内时刻指向圆心。受力分析进而进行比较。例例题题向心力
18、的来源向心力的来源解析：对小球受力分析如图所示，受自身重力mg、绳子拉力FT，合力提供向心力即水平指向圆心，设细线和竖直方向夹角为，小球到悬点的高度差为h，则有mgtanmanmhtan，可得向心加速度angtan，所以向心加速度大小不相等，选项D错；由于水平面内做圆周运动的半径不同，线速度vhtan，所以线速度大小不相等，选项B错；角速度，所以角速度大小相等，选项C对；周期，角速度相等，所以周期相等，选项A对例例题题向心力的来源向心力的来源如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动。则下列说法中
19、正确的是（）A.球A的线速度必定大于球B的线速度B.球A的角速度必定小于球B的角速度C.球A的运动周期必定小于球B的运动周期D.球A对筒壁的压力必定大于球B对筒壁的压力提示：两球的合力必定在水平面内时刻指向圆心。分别对两球受力分析，结合几何关系比较两者的各种物理量。AB例例题题向心力的来源向心力的来源（2013江西）质量为m的石块从半径为R的半球形的碗口下滑到碗的最低点的过程中，若摩擦力的作用使得石块的速度大小不变，如图所示，那么（）A.因为速率不变，所以石块的加速度为零B.石块下滑过程中受的合外力越来越大C.石块下滑过程中的摩擦力大小不变D.石块下滑过程中的加速度大小不变，方向始终指向球心D
20、提示：石块做匀速圆周运动。例例题题向心力的来源向心力的来源如图所示，水平的木板B托着木块A一起在竖直平面内做匀速圆周运动，从水平位置a沿逆时针方向运动到最高点b的过程中（）A.B对A的支持力越来越大B.B对A的支持力越来越小C.B对A的摩擦力越来越大D.B对A的摩擦力越来越小提示：做匀速圆周运动的物体，其合外力必定指向圆心。对A隔离分析，即可解得各力的变化情况。解析：A在运动的过程中受重力、支持力、静摩擦力，三个力的合力提供向心力合力沿水平方向的分力等于A所受的摩擦力，合力沿竖直方向的分力等于重力和支持力的合力，合力的大小不变，由a到b的运动过程中，合力沿水平方向的分力减小，所以摩擦力减小合力
21、沿竖直方向的分力逐渐增大，所以支持力逐渐减小BD规规律律总结总结物体离重心越远，需要的向心力就越大稳定状态下，越大，、v越大，小球所受的拉力和向心力就越大稳定状态下，小球所处的位置越高，半径越大，越小，v越大练习练习两根长度不同的细线下面分别悬挂两个小球，细线上端固定在同一点，若两个小球以相同的角速度，绕共同的竖直轴在水平面内做匀速圆周运动，则两个摆球在运动过程中，相对位置关系示意图正确的是（）B如图所示，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上。不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是（）A.A的速度比B的大B.A与B的向心
22、加速度大小相等C.悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等D.悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小练习练习D例例题题向心力的公式向心力的公式应应用用（2012天津）在多次冬奥会上，我国选手申雪、赵宏博在双人花样滑冰运动中获得金牌，如图为赵宏博拉着申雪在空中做圆锥摆运动的精彩场面，已知申雪的体重为G，做圆锥摆运动时和水平冰面的夹角为30，重力加速度为g，求申雪做圆周运动的向心加速度和受到的拉力。提示：合外力提供向心力。这是个圆锥摆的模型，列出牛二方程即可求解。圆周运动问题求解“四步”法例例题题向心力的公式向心力的公式应应用用例例题题变变速速圆圆周运周运动动和匀速和匀速圆圆周运周运动动（2012山西高一
23、）（多选）如图所示，质量为m的小球，从位于竖直平面内的圆弧形曲面上下滑，由于摩擦力的作用，小球从a到b的运动速率增大，b到c速率恰好保持不变，c到d速率减小，则（）A.小球ab段和cd段加速度不为零，但bc段加速度为零B.小球在abcd段过程中加速度全部不为零C.小球在整个运动过程中所受合外力大小一定，方向始终指向圆心D.小球只在bc段所受合外力大小不变，方向指向圆弧圆心提示：物块下滑过程中，速率保持不变的阶段做匀速圆周运动，速率变化的阶段做变速圆周运动。BD例例题题变变速速圆圆周运周运动动和匀速和匀速圆圆周运周运动动（2014四川高一）如图所示，一圆盘可绕一通过圆心且垂直于圆盘的竖直轴转动，
24、在圆盘上放一块橡皮，橡皮块随圆盘一起转动（俯视为逆时针），某段时间圆盘转速不断增大，到哪橡皮块仍相对圆盘静止，在这段时间内，关于橡皮块所受合力F的方向的四种表示（俯视图）中，正确的是（）提示：物块做变速圆周运动，合力不指向圆心；合力在半径方向上的分力提供向心力，沿速度方向的分力产生切向加速度。ABCDC例例题题变变速速圆圆周运周运动动和匀速和匀速圆圆周运周运动动（2013湖北高一）如图所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，且与圆盘相对静止，图中c沿半径指向圆心，a与c垂直，下列说法正确的是（）A.当转盘匀速转动时，P受摩擦力方向为b方向B.当转盘加速转动时，P受摩擦力方向可能为c方向C.当
25、转盘加速转动时，P受摩擦力方向可能为a方向D.当转盘减速转动时，P受摩擦力方向可能为d方向提示：物块做变速圆周运动时，平行速度方向的合力产生切向加速度，只改变速度的大小；垂直速度方向的合力产生向心加速度，只改变速度的方向。D知知识识梳理梳理离心运动和近心运动1.离心运动定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做_圆心的运动。逐渐远离2.受力特点(1)当Fmr时，物体做_运动；(2)当F0时，物体沿_方向飞出；(3)当Fmr时，物体逐渐向圆心靠近，做_运动。3.本质：离心运动的本质并不是受到离心力的作用，而是提供的力_做匀速圆周运动需要的向心力。匀速
26、圆周切线远离近心小于例例题题离心运离心运动动的防止的防止下列哪些现象是为了防止物体产生的离心运动（）A.汽车转弯时要限制速度B.转速很高的砂轮半径不能做得太大C.在修筑铁路时，转弯处内轨要低于外轨D.离心水泵工作时ABC例例题题离心运离心运动动的分析的分析（多选）如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量相等的两个物体A和B，它们与盘间的动摩擦因数相同，当圆盘转动到两个物体刚好还未发生滑动时，烧断细线，两个物体的运动情况是（）A.物体B仍随圆盘一起做匀速圆周运动B.物体A发生滑动，离圆盘圆心越来越远C.两物体仍随圆盘一起做圆周运动，不发生滑动D.两物体均沿半径方向滑动，离
27、圆盘圆心越来越远提示：当物体实际所受到的力不足以提供其运动所需的向心力时，将做离心运动。解析：当圆盘转速加快两物体刚要发生滑动时，A物体靠西线的拉力与圆盘的最大静摩擦力的合力提供向心力做匀速圆周运动，所以烧断细线后，A所受最大静摩擦力不足以提供其做圆周运动所需要的向心力，A要发生相对滑动，离圆盘圆心越来越远，但是B所需要的向心力大于B的最大静摩擦力，所以B仍保持相对圆盘静止状态，故C、D错误，A、B正确。AB例例题题离心运离心运动动的分析的分析（2013北京）在玻璃管中放一个乒乓球并注满水，然后再用软木塞封住管口，将此玻璃管固定在转盘上，处于静止。当转盘在水平面内绕轴OO旋转时（如图所示），则
28、乒乓球的位置会（乒乓球的直径略小于玻璃管内径）（）A.向外侧运动B.向内侧运动C.保持不动D.条件不足，不能判断提示：当物体实际所受到的力不足以提供其运动所需的向心力时，将做离心运动；所受到的力大于需要的向心力时，将做近心运动。解析：若把乒乓球换成等体积的水球，则此水球将会做圆周运动，能够使水球做圆周运动的是两侧的水的合压力，而且这两侧压力不论是对乒乓球还是水球都是一样的。但由于乒乓球的质量小于相同体积的水球的质量，所以此合压力大于乒乓球在相同轨道相同角速度下做圆周运动所需的向心力，所以乒乓球将会做近心运动。B例例题题圆圆周运周运动动的多解的多解问题问题（2015上海模拟）子弹以初速度v0水平
29、向右射出，沿水平直线穿过一个正在沿逆时针方向转动的薄壁圆筒，在圆筒上只留下一个弹孔（从A位置射入，B位置射出，如图所示）。OA、OB之间的夹角=/3，已知圆筒半径R=0.5m，子弹始终以v0=60m/s的速度沿水平方向运动（不考虑重力的作用），则圆筒的转速可能是（）A.20r/sB.60r/sC.100r/sD.140r/s提示：子弹做匀速直线运动，圆筒做匀速圆周运动。圆筒上只有一个弹孔说明子弹在圆筒中飞行的这段时间内，圆筒刚好转过了整数圈。子弹飞行时间和圆筒转动时间相等。C例例题题圆圆周运周运动动的多解的多解问题问题解：OA、OB之间的夹角，所以A和B之间的距离等于R，在子弹飞行的时间内，圆
30、筒转动的角速度（2n-），n=1、2、3.,则时间：所以子弹的速度：解得：则：转速：当n=1时，当n=2时，故选：C例例题题圆圆周运周运动动的多解的多解问题问题（2013徐汇区一模）某机器内有两个围绕各自固定轴匀速转动的铝盘A、B，A盘上固定一个信号发射装置P，能持续沿半径向外发射红外线，P到圆心的距离为28cm，B盘上固定一个带窗口的红外线信号接收装置Q，Q到圆心的距离为16cm，P、Q转动的线速度均为4m/s，当P、Q正对时，P发出的红外线恰好进入Q的接收窗口，如图所示，则Q每隔一定时间就能接收到红外线信号，这个时间的最小值为（）A.0.42sB.0.56sC.0.70sD.0.84s提示
31、：PQ正对时，P发出的红外线恰好进入Q的接收窗口，再次被接收时，经历的时间都为各自周期的整数倍，分别求出各自的周期，求出周期的最小公倍数，从而求出经历的时间。B例例题题圆圆周运周运动动的多解的多解问题问题解：P的周期Q的周期TQ=因为经历的时间必须等于它们周期的整数倍，根据数学知识，0.14和0.08的最小公倍数56s，所以经历的时间最小为0.56s，故0.56s,故B正确，A、C、D错误.故选B.例例题题圆圆周运周运动动的多解的多解问题问题如图所示，竖直筒内壁光滑，半径为R，上部A处开有小口，在小口A处的正下方高度差为h处，亦开有与A大小相同的小口B，一小球以初速度v0从小口A沿切线方向水平
32、射入筒内，使小球紧贴筒内壁运动，要使小球能从小口B飞出，小球进入小口A的最小初速度v0应为多大？提示：小球在水平方向做匀速圆周运动，在竖直方向做自由落体运动。在从A运动到B的过程中，小球在水平方向应运动了整数倍个的圆周。例例题题圆圆周运周运动动的多解的多解问题问题解析：将小球的运动分解成水平面的匀速圆周运动和竖直方向的自由落体运动，自由落体运动规律得h=.由匀速圆周运动规律得n（2R）=v0t（n=1、2、3.）.由以上两式得v0=2nR（n=1，2，3，.）当n=1时，当n=1时，v0最小，故最小值为2R例例题题圆圆周运周运动动的多解的多解问题问题甲、乙两运动员在同一圆形轨道上从同一地点同时
33、沿同一绕向进行比赛，可认为甲、乙二人做的都是匀速圆周运动，若甲的周期为T1，乙的周期为T2，并且T1T2。试求：经过多长时间甲、乙两运动员相距最远？经过多长时间他们相距最近？提示：两人相距最远时，一定位于圆形轨道直径的两端；两人相距最近时，一定是在圆形轨道的同一点相遇，运动快的比运动慢的多跑整数圈。例例题题圆圆周运周运动动的多解的多解问题问题解析：设从开始运动经过时间t，甲乙两运动员相距最远，依题意，这时他们一定是在圆形轨道同一直径的两端，则有=（2k+1）k=0，1，2，.解得t=，k=0，1，2，.即经过t=，两运动员相距最远，同理，若设经过时间t两运动员相距最近最近的话，这时他们一定在圆
34、形轨道上相遇，则有，k=1，2，.解得t=,k=1,2,.即，经过t=两运动员相距很近。例例题题圆圆周运周运动动的多解的多解问题问题如图所示，B物体放在光滑的水平地面上，在水平力F的作用下由静止开始运动，B物体质量为m，同时A物体在竖直面内由M点开始做半径r、角速度为的匀速圆周运动。问：力F多大可使A、B两物体的速度相同？提示：要使A与B速度相同，只有当A运动到圆轨道的最低点时，才有可能。解析：设A、B运动时间t后两者速度相同（大小相等，方向相等），则则A有F=ma，对B物体有（n=0，1，2，3.）令vA=vB,得解得课课堂堂总结总结圆周运动描述圆周运动快慢物理量之间的关系三种传动方式皮带传动共轴转动齿轮转动vA=vBwA=wBvA=vB匀速圆周运动的向心力_提供向心力，指向_，只改变速度的_。向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的_提供，还可以由一个力_的提供。合外力圆心方向合力分力课课堂堂总结总结离心运动受力运动当Fmr时，物体做_运动；匀速圆周当F0时，物体沿_方向飞出；当Fmr时，物体逐渐向圆心靠近，做_运动。本质离心运动的本质并不是受到离心力的作用，而是提供的力_做匀速圆周运动需要的向心力。切线远离近心小于