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1、弹性力学有限元法弹性力学有限元法第1页，本讲稿共58页2023/2/1113.1有限元法求解问题的基本步骤有限元法求解问题的基本步骤1.问题及求解域定义问题及求解域定义2.连续体离散化连续体离散化 即即有限元网格划分有限元网格划分，将连续体划分为有限个具，将连续体划分为有限个具有一定形状的单元组合体，相邻单元之间通过节点有一定形状的单元组合体，相邻单元之间通过节点相连接。相连接。3.单元分析单元分析（1）选择位移模式）选择位移模式位移法位移法：选择节点位移作为基本未知量。（应用较多）：选择节点位移作为基本未知量。（应用较多）力法力法：选择节点力为基本未知量。：选择节点力为基本未知量。混合法混合
2、法：取一部分力和一部分节点位移作为基本未知量。：取一部分力和一部分节点位移作为基本未知量。第2页，本讲稿共58页2023/2/112（2）分析单元的力学性质）分析单元的力学性质 列出单元节点和节点位移之间的关系式。应用几何方程和列出单元节点和节点位移之间的关系式。应用几何方程和物理方程来建立力和位移的方程式，导出单元刚度矩阵。物理方程来建立力和位移的方程式，导出单元刚度矩阵。节点载荷和节点位移之间的关系式为：节点载荷和节点位移之间的关系式为：为单元刚度矩阵。为单元刚度矩阵。（3）计算等效节点力计算等效节点力：用等效的节点力来代替所有在单元：用等效的节点力来代替所有在单元上的力。上的力。第3页，
3、本讲稿共58页2023/2/1134.组成物体的整体方程组组成物体的整体方程组 由单元刚度矩阵构成整体刚度矩阵。对总体建立方程：由单元刚度矩阵构成整体刚度矩阵。对总体建立方程：5.求解有限元方程和结果解释求解有限元方程和结果解释 根据边界条件和初始条件求解上式，得到节点位移。根据边界条件和初始条件求解上式，得到节点位移。第4页，本讲稿共58页2023/2/1143.2 连续体离散化连续体离散化 结构的离散化也称为结构的离散化也称为有限元网格划分有限元网格划分，即将求解域近似，即将求解域近似为具有不同有限大小和形状且只在节点上彼此相连的有限个为具有不同有限大小和形状且只在节点上彼此相连的有限个单
4、元组成的离散域。单元组成的离散域。常用的单元类型：常用的单元类型：1.杆单元杆单元 一维单元，位移仅是轴向座标的函数。一维单元，位移仅是轴向座标的函数。第5页，本讲稿共58页2023/2/1152.平面单元平面单元 二维单元，单元内任意点的应力、应变、位移仅与两个二维单元，单元内任意点的应力、应变、位移仅与两个座标方向的变量有关。座标方向的变量有关。第6页，本讲稿共58页2023/2/116 三角形单元：采用三角形单元：采用线性位移模式，线性位移模式，在整个单元内各点的在整个单元内各点的应变值为常数，所以也称为常应变单元或常应力单元。应变值为常数，所以也称为常应变单元或常应力单元。矩形单元：采
5、用矩形单元：采用双线性位移模式双线性位移模式，单元内的应力是线性，单元内的应力是线性变化的。变化的。3.薄板弯曲单元和薄板单元薄板弯曲单元和薄板单元第7页，本讲稿共58页2023/2/1174.多面体单元多面体单元第8页，本讲稿共58页2023/2/1185.等参数单元等参数单元：单元内：单元内任一点的位移与节点位移之间任一点的位移与节点位移之间的关系的关系恰好和恰好和该点的坐标与节点坐标之间该点的坐标与节点坐标之间的关系相同。的关系相同。任意四边形的边一般不平行于坐标轴，沿单元边的位任意四边形的边一般不平行于坐标轴，沿单元边的位移将按抛物线变化，而不是线性变化。移将按抛物线变化，而不是线性变
6、化。以直角坐标系以直角坐标系XOY下的任意直边四边形单元单元的形心下的任意直边四边形单元单元的形心为坐标原点，用等分它四个边的两条直线为坐标轴，建立一为坐标原点，用等分它四个边的两条直线为坐标轴，建立一个非正交的局部座标系个非正交的局部座标系 ，使单元边界上的，使单元边界上的 、是是 ，这样在局部坐标系中构成一个矩形单元。矩形单元的节点和这样在局部坐标系中构成一个矩形单元。矩形单元的节点和内部任一点都与原总体坐标系中的单元的节点和内部点形成内部任一点都与原总体坐标系中的单元的节点和内部点形成一一对应关系。一一对应关系。总体坐标系适用于整个结构，局部坐标系只总体坐标系适用于整个结构，局部坐标系只
7、适用于具体某个单元。适用于具体某个单元。第9页，本讲稿共58页2023/2/1196.轴对称单元：轴对称单元：几何形状是回转体，所受约束和外力对称于回转轴几何形状是回转体，所受约束和外力对称于回转轴的的机械机构称为轴对称问题。对此类问题一般采取柱坐标系机械机构称为轴对称问题。对此类问题一般采取柱坐标系来描述应力和变形。来描述应力和变形。对于此类问题采用轴对称单元。对于此类问题采用轴对称单元。划分网格的基本原则：划分网格的基本原则：（1）网格数量：网格数量增加，计算精度会有所提高。）网格数量：网格数量增加，计算精度会有所提高。（2）网格疏密：在结构不同处采用不同的网格形式。）网格疏密：在结构不同
8、处采用不同的网格形式。（3）单元阶次：网格数量较少时，计算精度差别较大，采）单元阶次：网格数量较少时，计算精度差别较大，采用高阶单元。网格数量较多时，采用两种单元的精度相差不用高阶单元。网格数量较多时，采用两种单元的精度相差不大，采用低阶单元计算量降低。大，采用低阶单元计算量降低。第10页，本讲稿共58页2023/2/1110（4）网格质量：网格几何形状的合理性，网格质量）网格质量：网格几何形状的合理性，网格质量的好坏会影响计算精度，对于太差的网格形状程序的好坏会影响计算精度，对于太差的网格形状程序将会自动停止计算。将会自动停止计算。（5）网格分界面和分界点：结构中一些特殊位置的）网格分界面和
9、分界点：结构中一些特殊位置的界面或特殊位置的点应分为网格边界或节点。界面或特殊位置的点应分为网格边界或节点。（6）位移协调性：一个单元的节点必须也是相邻单）位移协调性：一个单元的节点必须也是相邻单元的节点，只有这样单元上的力和力矩才能够通过元的节点，只有这样单元上的力和力矩才能够通过节点传递到相邻单元。节点传递到相邻单元。（7）网格布局：对于对称结构应该划分对称单元。）网格布局：对于对称结构应该划分对称单元。（8）节点和单元编号：一般情况下程序自动编号。）节点和单元编号：一般情况下程序自动编号。第11页，本讲稿共58页2023/2/11113.3 单元分析单元分析1.单元的插值函数单元的插值函
10、数 如果弹性体内的位移分量已知，则应变分量和如果弹性体内的位移分量已知，则应变分量和应力分量也可以确定了。应力分量也可以确定了。几何方程几何方程 虎克定律虎克定律第12页，本讲稿共58页2023/2/1112 对于整体划分单元后，在每个单元的局部范围里可以采对于整体划分单元后，在每个单元的局部范围里可以采用比较简单的函数来近似地表达单元的真实位移，把各单元用比较简单的函数来近似地表达单元的真实位移，把各单元的位移函数连接起来，就可以近似表示整个区域的真实的位的位移函数连接起来，就可以近似表示整个区域的真实的位移函数。移函数。第13页，本讲稿共58页2023/2/1113 在离散体中任取一个单元
11、，三个节点按逆时针方向顺序编在离散体中任取一个单元，三个节点按逆时针方向顺序编号为号为i，j，m。节点坐标分别表示为（。节点坐标分别表示为（xi，yi），（），（xj，yj），），（xm，ym）。）。第14页，本讲稿共58页2023/2/1114 对于弹性力学平面问题，一个三角形单元上的每对于弹性力学平面问题，一个三角形单元上的每个节点应有个节点应有2个位移分量，则三角形单元共有个位移分量，则三角形单元共有6个自个自由度：由度：。三角形单元的节点位移矢量是：三角形单元的节点位移矢量是：单元节点力矢量是：单元节点力矢量是：第15页，本讲稿共58页2023/2/1115 单元分析的基本任务单元分析
12、的基本任务是建立单元节点力与节点位移之间的是建立单元节点力与节点位移之间的关系式：关系式：式中式中 是是6*6的矩阵，称为的矩阵，称为单元刚度矩阵单元刚度矩阵。将单元的位移分量将单元的位移分量u，v取为坐标取为坐标x，y的多项式，且位移的多项式，且位移场函数场函数u，v在三个节点处的数值应该等于这三个节点处的六在三个节点处的数值应该等于这三个节点处的六个位移分量。个位移分量。即有：即有：第16页，本讲稿共58页2023/2/1116在在i，j，m三点应该有：三点应该有：第17页，本讲稿共58页2023/2/1117由上式可以确定由上式可以确定 的值。将其带入的值。将其带入（1）式就可以得到用）
13、式就可以得到用单元节点位移表示的单单元节点位移表示的单元位移模式元位移模式。第18页，本讲稿共58页2023/2/1118N称为形函数矩阵或插值函数矩阵。称为形函数矩阵或插值函数矩阵。插值函数具有如下性质：插值函数具有如下性质：（1）在节点上插值函数的值有：）在节点上插值函数的值有：（2）在单元内任一点各插值函数的和等于一。）在单元内任一点各插值函数的和等于一。第19页，本讲稿共58页2023/2/1119线性单元线性单元平面单元平面单元立体单元立体单元总体、局部和自然坐标总体、局部和自然坐标数值积分：高斯勒让德多项式数值积分：高斯勒让德多项式ANSYS实例实例第20页，本讲稿共58页2023
14、/2/11203.1 一维单元一维单元1.形函数形函数形函数在有限元分析中形函数在有限元分析中,扮演非常主要的角扮演非常主要的角色色.除作为元素除作为元素(单元单元)的内插函数的内插函数,将元素将元素内的位移或温度分布内的位移或温度分布,以节点位移或节点温以节点位移或节点温度表示外度表示外,在余量法中的迦辽金法中在余量法中的迦辽金法中,亦可亦可作为加权函数来用作为加权函数来用.此外此外,亦可将分布载荷亦可将分布载荷转换为集中力与弯矩转换为集中力与弯矩,分别施加在各节点上分别施加在各节点上.形函数根据其多项式的幂次形函数根据其多项式的幂次,分为一次、二分为一次、二次、三次与高次等。次、三次与高次
15、等。第21页，本讲稿共58页2023/2/1121位移沿着单元的分布可以用一个线性函数近似。如图所示。位移沿着单元的分布可以用一个线性函数近似。如图所示。第22页，本讲稿共58页2023/2/1122一维一次元素的形函数中，函数值沿单一坐标轴以一维一次元素的形函数中，函数值沿单一坐标轴以线性变化。假设位移函数沿线性变化。假设位移函数沿x轴线性变化，位移函轴线性变化，位移函数数uu(x)可写成可写成:u=a1+a2x向量形式向量形式:假设在假设在i、j节点的位移值分别为节点的位移值分别为ui和和uj,有有:u=ui 在在X=Xi处处 u=uj 在在X=Xj处处第23页，本讲稿共58页2023/2
16、/1123将节点的值带入线性方程将产生两个方程和两个未知量：将节点的值带入线性方程将产生两个方程和两个未知量：求解未知量求解未知量a1和和a2得到：得到：第24页，本讲稿共58页2023/2/1124由节点的值表示的单元的位移分布为：由节点的值表示的单元的位移分布为：改写一下形式得到：改写一下形式得到：定义形函数：定义形函数：其中其中l为单元长度。为单元长度。第25页，本讲稿共58页2023/2/1125由形函数表示的单元的位移分布为：由形函数表示的单元的位移分布为：写成矩阵形式：写成矩阵形式：可以使用形函数和相应的节点值来表示给定单元上的任意的未知量的变化。可以使用形函数和相应的节点值来表示
17、给定单元上的任意的未知量的变化。第26页，本讲稿共58页2023/2/11262.形函数的性质形函数的性质1.在相应的节点上值为在相应的节点上值为1,而在相邻节点上值为而在相邻节点上值为0.和和 和和2.形函数的和为形函数的和为1。第27页，本讲稿共58页2023/2/11273.形函数对于形函数对于x导数的和为导数的和为0第28页，本讲稿共58页2023/2/11283.实例实例（a）悬臂梁在）悬臂梁在X4cm处的温度由单元（处的温度由单元（2）来表示：）来表示：第29页，本讲稿共58页2023/2/1129（b）悬臂梁在）悬臂梁在X=8cm处的温度由单元（处的温度由单元（3）来表示：）来表
18、示：对于这个例子，注意对于这个例子，注意 和和 的区别。的区别。第30页，本讲稿共58页2023/2/1130假设承受的是轴向负荷假设承受的是轴向负荷,应用线性单元应用线性单元,柱体的柱体的垂直位移由下式确定垂直位移由下式确定.AB第31页，本讲稿共58页2023/2/1131（a）应用总体坐标）应用总体坐标Y，点，点A的位移由单元（的位移由单元（1）表示：）表示：（b）点）点B的位移由单元（的位移由单元（4）表示：）表示：第32页，本讲稿共58页2023/2/11323.2 一维三节点单元一维三节点单元一维三节点单元一维三节点单元用二次函数代替线性函用二次函数代替线性函数要求使用三个节点来数
19、要求使用三个节点来定义一个单元定义一个单元,这是因这是因为至少要有三个点才能为至少要有三个点才能确定一个二次函数确定一个二次函数.第第三个点可以取在单元的三个点可以取在单元的中点中点.第33页，本讲稿共58页2023/2/1133如单元的温度分布可以如单元的温度分布可以表示表示为为:并且节点的值为并且节点的值为:T=Ti 在在X=Xi处处T=Tk 在在X=Xk处处T=Tj 在在X=Xj处处第34页，本讲稿共58页2023/2/1134产生的三个方程和三个未知量产生的三个方程和三个未知量:求解求解c1，c2和和c3，整理后得到由节点的值和形函数表示的单，整理后得到由节点的值和形函数表示的单元温度
20、分布：元温度分布：将以上表达式写成矩阵形式为：将以上表达式写成矩阵形式为：第35页，本讲稿共58页2023/2/1135这里形函数为这里形函数为：一般来说，对于给定单元，由节点的值表示的参数变化一般来说，对于给定单元，由节点的值表示的参数变化 可以写为：可以写为：第36页，本讲稿共58页2023/2/1136对于给定单元节点的位对于给定单元节点的位移变化移变化:在形函数的性质中在形函数的性质中,二二次形函数关于次形函数关于X的导数的导数之和不为零之和不为零.第37页，本讲稿共58页2023/2/11373.3 一维四节点单元一维四节点单元 在有限元公式中，二次插值提供了较为精确的结果。然在有限
21、元公式中，二次插值提供了较为精确的结果。然而，如果需要更高的精度，可以使用更高阶的插值函数，例而，如果需要更高的精度，可以使用更高阶的插值函数，例如三次多项式。这样可以使用三次函数表示给定变量的空间如三次多项式。这样可以使用三次函数表示给定变量的空间变化。用三次函数代替二次函数，要求使用四个节点来定义变化。用三次函数代替二次函数，要求使用四个节点来定义一个单元，这是因为至少要有四个节点才能确定一个三阶多一个单元，这是因为至少要有四个节点才能确定一个三阶多项式。单元被分成等长的三段。四个节点的取法如图所示。项式。单元被分成等长的三段。四个节点的取法如图所示。应用三次近似考虑上例，典型单元的温度分
22、布可以表示为：应用三次近似考虑上例，典型单元的温度分布可以表示为：第38页，本讲稿共58页2023/2/1138第39页，本讲稿共58页2023/2/1139并且节点的值为：并且节点的值为：在在 处处 在在 处处 在在 处处 在在 处处由节点的值和形函数表示的单元温度分布：由节点的值和形函数表示的单元温度分布：写成矩阵的形式为：写成矩阵的形式为：第40页，本讲稿共58页2023/2/1140形函数为形函数为:第41页，本讲稿共58页2023/2/1141当插值函数的阶数增加时当插值函数的阶数增加时,可以用拉格朗日可以用拉格朗日插值代替以上的方法来得到形函数插值代替以上的方法来得到形函数:对于三
23、次插值函数对于三次插值函数,每个节点相关的形函数每个节点相关的形函数可以用三个函数的乘积表示可以用三个函数的乘积表示.函数的乘积在函数的乘积在给定的节点上为给定的节点上为1,而在其他节点上为而在其他节点上为0.如考虑节点如考虑节点i:第42页，本讲稿共58页2023/2/1142若将若将X=Xj X=Xk X=Xm代入方程代入方程,函数函数Si的值为零的值为零.当在给定节点上计算形函数时当在给定节点上计算形函数时,即即X=Xi时时,函数的值函数的值为为1:第43页，本讲稿共58页2023/2/1143由节点值表示的三次插值函数任意参数由节点值表示的三次插值函数任意参数的变化可的变化可以表示为以
24、表示为:三次形函数性质三次形函数性质:形函数在相应节点上值为形函数在相应节点上值为1,而在另一个相邻节点上值为而在另一个相邻节点上值为0;如果对形函数求和如果对形函数求和,结果为结果为1;对三次形函数的求导将得到二次的结果对三次形函数的求导将得到二次的结果.第44页，本讲稿共58页2023/2/11443.4整体、局部和自然坐标整体、局部和自然坐标 在有限元建模中，可以使用几个参考系。整体坐标用来表示每个节点的位置和每在有限元建模中，可以使用几个参考系。整体坐标用来表示每个节点的位置和每个单元的方向，并用来施加边界条件和负荷。另一方面，需要使用局部和自然坐标系，个单元的方向，并用来施加边界条件
25、和负荷。另一方面，需要使用局部和自然坐标系，以简化计算。对于一维单元，整体坐标以简化计算。对于一维单元，整体坐标X和局部坐标和局部坐标x的关系为：的关系为：第45页，本讲稿共58页2023/2/1145 在一维一次形函数的表达式中带入由局部坐标在一维一次形函数的表达式中带入由局部坐标x表示表示的的X有：有：第46页，本讲稿共58页2023/2/11463.4.1 一维线性自然坐标一维线性自然坐标 自然坐标是局部坐标的无量纲形式。使用自然坐标容易在上限自然坐标是局部坐标的无量纲形式。使用自然坐标容易在上限1和下限和下限1之间积分。之间积分。令：令：这里这里x是局部坐标，局部坐标与自然坐标的关系如
26、图所示。是局部坐标，局部坐标与自然坐标的关系如图所示。第47页，本讲稿共58页2023/2/1147 通过将由通过将由 表示的表示的x带入形函数的表达式能够带入形函数的表达式能够得到自然线性形函数。自然线性形函数具有线性得到自然线性形函数。自然线性形函数具有线性形函数相同的性质。形函数相同的性质。第48页，本讲稿共58页2023/2/11483.4.2 一维自然二次和三次形函数一维自然二次和三次形函数将将 带入形函数的表达式得到二次自然形带入形函数的表达式得到二次自然形函数为：函数为：第49页，本讲稿共58页2023/2/1149 一维三次自然形函数为：一维三次自然形函数为：第50页，本讲稿共
27、58页2023/2/11503.5 数值积分：高斯数值积分：高斯-勒让德多项式勒让德多项式 高斯高斯-勒让得积分是用来计算不等距离点上的已知函数的积分。高斯勒让得积分是用来计算不等距离点上的已知函数的积分。高斯-勒让得勒让得公式的主要目标是用特定权系数的乘积之和以及一些选定点上的函数表示积分。公式的主要目标是用特定权系数的乘积之和以及一些选定点上的函数表示积分。由以下积分：由以下积分：引入变量引入变量 ，将积分的范围从，将积分的范围从a到到b改变为从改变为从-1到到1。使得：。使得：得到极限为：得到极限为：第51页，本讲稿共58页2023/2/1151求解求解c0和和c1有：有：因此因此且且所
28、以将所以将I表示为从表示为从-1到到1的积分为：的积分为：第52页，本讲稿共58页2023/2/1152两点高斯勒让德公式要求确定两个权因子两点高斯勒让德公式要求确定两个权因子 和两个和两个样本点样本点 。应用勒让德多项式。应用勒让德多项式 创建四创建四个方程如下：个方程如下：第53页，本讲稿共58页2023/2/1153由以上方程组得到：由以上方程组得到：解得：解得：第54页，本讲稿共58页2023/2/1154利用高斯勒让德两点采样公式计算积分利用高斯勒让德两点采样公式计算积分把把x换为换为 。得到：。得到：并且并且:积分积分I能够用能够用 表示为：表示为：第55页，本讲稿共58页2023/2/1155应用高斯勒让德两点公式，按以下方式计算积分的值：应用高斯勒让德两点公式，按以下方式计算积分的值：其中其中第56页，本讲稿共58页2023/2/11563.6 ANSYS中的形函数中的形函数(Shape Function)第57页，本讲稿共58页2023/2/1157 作业：用拉格朗日方法推导一维三节点单作业：用拉格朗日方法推导一维三节点单元的形函数。元的形函数。第58页，本讲稿共58页2023/2/1158