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1、第五章第五章 一元函数的导数一元函数的导数及其应及其应5.2.3函数的最大（小）值 学习目标1.能利用导数求某些函数的在给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值.2.体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系.温故知新温故知新 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果存在实数，如果存在实数M满足：满足：1最大值最大值:（1）对于任意的）对于任意的xI，都有，都有f(x)M;（2）存在）存在x0I，使得，使得f(x0)=M那么，称那么，称M是函数是函数y=f(x)的的最大值最大值2最小值最小值:（1）对于任意的）对于任意的x I，都有，都有f(x)M;（2）
2、存在）存在x0 I，使得，使得f(x0)=M那么，称那么，称M是函数是函数y=f(x)的的最小值最小值 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果存在实数，如果存在实数M满足：满足：3.求函数最值的一般方法求函数最值的一般方法?一是利用函数性质一是利用函数性质 二是利用不等式二是利用不等式三是利用导数三是利用导数 新知探究观察如图所示的函数yf(x)，x3，2的图象，回忆函数最值的定义，回答下列问题：问题1图中所示函数最值点与最值分别是什么？提示最大值点是x2，最大值是3；最小值点是x0，最小值是3.问题2图中所示函数的极值点与极值分别是什么？提示极大值点是x2，极大
3、值是2；极小值点是x0，极小值是3.问题3一般地，函数的最值与函数的极值有什么关系？提示函数的最值可能是极值，也可能是区间端点的函数值.探索新知探索新知1.函数最值与极值的关系1.(1)函数f(x)在区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在a，b上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在_处或_处取得.(2)求函数yf(x)在a，b上最值的步骤求函数yf(x)在(a，b)内的_.将函数yf(x)的各极值与_的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是_，最小的一个是_.端点极值点极值端点处最大值函数的最大值与最小值最多只有一个，极大值与极小值则可能有多个函数f(x)在闭区间a，
4、b上的最值最小值2.最值与极值的区别与联系(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言.(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有).(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点.(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.【例1】求下列各函数的最值.解(1)f(x)3x26x63(x22x2)3(x1)23，f(x)在1，1内恒大于0，f(x)在1，1上为增函数.故当x1时，f(x)min12；当x1时，f(x)max2.即f(x)的最小值为12，最大值为2.解：解：令令
5、解得解得x0(0,)(,)+-+00(,)当当x变化时变化时,f(x)的变化情况如下表的变化情况如下表:0求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤:求函数y=f(x)在(a,b)内的极值;将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.注意注意1)1)函数的最值概念是函数的最值概念是全局性全局性的的2)2)函数的最大值（最小值）函数的最大值（最小值）唯一唯一3)3)函数的最大值函数的最大值大于等于大于等于最小值最小值4)4)函数的最值可在函数的最值可在端点处端点处取得取得【例2】已知f(x)axlnx，aR.(1)当a1时
6、，求曲线f(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)是否存在实数a，使f(x)在区间(0，e上的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.当a0时，f(x)在(0，e上单调递减，综上，存在实数ae2，使得当x(0，e时，f(x)有最小值3.【例3】已知函数f(x)ax36ax2b，x1，2时，f(x)的最大值为3，最小值为29，求a，b的值.解由题设知a0，否则f(x)b为常数，与题设矛盾.f(x)3ax212ax3ax(x4)，令f(x)0，得x10，x24(舍去).(1)当a0时，列表如下：x1(1，0)0(0，2)2f(x)0f(x)7abb16ab由表可知，当x0时，f(x)取得最大值.f(0)3，即b3.又f(1)7a3，f(2)16a3f(1)，f(2)16a329，a2.(2)当af(1)，f(2)16a293，a2.综上可得，a2，b3或a2，b29.1.通过学习函数最值的概念及求解方法，培养数学抽象和数学运算素养.2.求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值.3.已知最值求参数时，可先用参数表示最值，有时需分类讨论.谢谢大家谢谢大家！