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1、平面的法向量与平面的法向量与 平面的向量表示平面的向量表示高中数学选修高中数学选修2 21 1 提问：提问：A，B，C，三点不线，四点，三点不线，四点A，B，C，M 共面的充要条件是：共面的充要条件是：BACM图示：平面的向量方程1.直线与平面垂直的定义直线与平面垂直的定义 2.平面的法向量：平面的法向量：如果向量如果向量 的基线与平面的基线与平面 垂直垂直，则向量，则向量 叫平面叫平面 的法向量的法向量。几点注意：几点注意：1.法向量一定是非零向量法向量一定是非零向量;2.一个平面的所有法向量都互一个平面的所有法向量都互相平行相平行;3.向量向量 是平面的法向量，向是平面的法向量，向量量 与
2、平面平行或在平面内，与平面平行或在平面内，则有则有A给定一点给定一点A和一个向量和一个向量 ,那么过点那么过点A,以向量以向量 为法向量的平面是完全为法向量的平面是完全确定的确定的.l3.平面的向量表示：平面的向量表示：因为方向向量与法向量可以确定直线和因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，上节我们用直线的方向向量表平面的位置，上节我们用直线的方向向量表示了空间直线、平面间的示了空间直线、平面间的平行平行 如何用平面的法向量表示空间两平面平如何用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系呢？行、垂直的位置关系呢？4.两平面平行或重合、垂直的充要条件两平面平行或重合、垂直的充要条件
3、l1教材未提l教材未提待定系数法待定系数法例例 如如图图，已知矩形，已知矩形和矩形和矩形所在平面互相垂直，点所在平面互相垂直，点分分别别在在对对角角线线上，且上，且求求证证：ABCDEFxyzMN简证：因为矩形简证：因为矩形ABCD和矩形和矩形ADEF所在平面互相垂直，所以所在平面互相垂直，所以AB，AD，AF互相垂直。以互相垂直。以 为正交为正交基底，建立如图所示空间坐标系，基底，建立如图所示空间坐标系，设设AB,AD,AF长分别为长分别为3a，3b，3c，则可得各点坐标，从而有则可得各点坐标，从而有又平面又平面CDECDE的一个法向量是的一个法向量是因为因为MN不在平面不在平面CDE内内所
4、以所以MN/平面平面CDE分析：要证明一条直线与一个平面分析：要证明一条直线与一个平面垂直垂直,由直线与平面垂直的定义可由直线与平面垂直的定义可知知,就是要证明这条直线与平面内就是要证明这条直线与平面内的的任意一条直线任意一条直线都垂直都垂直.例例:(试用试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理向量方法证明直线与平面垂直的判定定理)已知直线已知直线m,n是平面是平面 内的两条相交直线内的两条相交直线,如果如果 m,n,求证求证:.mng 取已知平面内的任一条直线取已知平面内的任一条直线 g ,拿相关直线的方拿相关直线的方向向量来分析向向量来分析,看条件可以转化为向量的什么条件看条件可以转化为向
5、量的什么条件?要要证的目标可以转化为向量的什么目标证的目标可以转化为向量的什么目标?怎样建立向量怎样建立向量的条件与向量的目标的联系的条件与向量的目标的联系?mng解解:在在 内作不与内作不与m,n重合的任一直线重合的任一直线g,在在 上取非零向量上取非零向量 因因m与与n相交相交,故向量故向量m,n不平行不平行,由共面向量定理由共面向量定理,存在唯一实数存在唯一实数 ,使使 例例:已知直线已知直线m,n是平面是平面 内的两条相交直线内的两条相交直线,如果如果 m,n,求证求证:.6.6.有关平面的斜线概念，有关平面的斜线概念，三垂线定理及其逆定理三垂线定理及其逆定理 P104P104什么叫平
6、面的斜线、垂线、射影？什么叫平面的斜线、垂线、射影？如果如果a ,aAO，思考思考a与与PO的位置关的位置关系如何？系如何？aAPo PO是平面是平面的斜线的斜线,O为斜足为斜足;PA是平面是平面的垂线的垂线,A为垂足为垂足;AO是是PO在平面在平面内的射内的射影影.例题分析：例题分析：1 1、判定下列命题是否正确、判定下列命题是否正确 (1)(1)若若a a是平面是平面的斜线、直线的斜线、直线b b垂直于垂直于a a在平面在平面内的射影，则内的射影，则abab。()()(2)(2)若若a a是平面是平面的斜线，的斜线，b b是平面是平面内的直线，内的直线，且且b b垂直于垂直于a a在在内的
7、射影，则内的射影，则abab。()()三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理PO 平面PAOaPO答：答：答：答：a aPOPO 三垂线定理：三垂线定理：三垂线定理：三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的在平面内的一条直线，如果和这个平面的在平面内的一条直线，如果和这个平面的在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。为什么呢？为什么呢？为什么呢？为什么呢？PAa PAaAOaa平面PAO三垂线定理三垂线定理三垂线定
8、理三垂线定理P Pa aA Ao o 数式板书 1 1、三垂线定理描述的是、三垂线定理描述的是PO(PO(斜线斜线)、AO(AO(射射影影)、a(a(直线直线)之间的垂直关系。之间的垂直关系。2 2、a a与与POPO可以相交，也可以异面。可以相交，也可以异面。3 3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。平面内的一条直线垂直的判定定理。对三垂线定理的说明：对三垂线定理的说明：三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理 4 4、三垂线定理的图形是由、三垂线定理的图形是由“四线一面四线一面”五五个部件组成个部件组成垂线、斜线、射影、面
9、内一线、垂线、斜线、射影、面内一线、平面平面三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条一条斜线斜线垂直，那么它也和这条垂直，那么它也和这条斜线斜线的射影的射影垂垂直。直。三垂线定理的逆定理：三垂线定理的逆定理：三垂线定理：三垂线定理：在平面内的一条直线，如果在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条和这个平面的一条斜线的射影斜线的射影垂直，那么它也垂直，那么它也和这条和这条斜线斜线垂直。垂直。P Pa aA Ao o 数式数式 另外另外,空间向量的运用还经常用来判定空间垂直关系空间向量的运用还经常用来判定空间垂直关系,证
10、两直线垂直线常可转化为证明以这两条线段对应的向量证两直线垂直线常可转化为证明以这两条线段对应的向量 的数量积为零的数量积为零.证明：证明：如图如图,已知已知:求证：求证：在直线在直线l上取向量上取向量 ,只要证只要证为为分析分析:逆定理逆定理同样可用向量同样可用向量,证明思路几乎证明思路几乎一样一样,只不过其中的加法运算只不过其中的加法运算用减法运算来分析用减法运算来分析.法二：三垂线定理法板书 关于三垂线定的应用，关键是找出平面关于三垂线定的应用，关键是找出平面关于三垂线定的应用，关键是找出平面关于三垂线定的应用，关键是找出平面(基准面基准面基准面基准面)及垂线。及垂线。及垂线。及垂线。至于
11、射影则是由垂足、斜足来确定的，因而是第二位的。至于射影则是由垂足、斜足来确定的，因而是第二位的。至于射影则是由垂足、斜足来确定的，因而是第二位的。至于射影则是由垂足、斜足来确定的，因而是第二位的。第一、定平面第一、定平面第一、定平面第一、定平面(基准面基准面基准面基准面)第二、找平面第二、找平面第二、找平面第二、找平面垂线垂线垂线垂线（电线杆电线杆电线杆电线杆）第三、看第三、看第三、看第三、看斜斜斜斜线，射影可见线，射影可见线，射影可见线，射影可见三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理第四、第四、第四、第四、证明证明证明证明直线直线直线直线a a a a垂直于射影线，从而得出垂直于射影线，从
12、而得出垂直于射影线，从而得出垂直于射影线，从而得出a a a a与与与与b b b b垂直。垂直。垂直。垂直。强调：强调：11四线四线是相对同是相对同一一个平个平面面而言。而言。22定理的关键是找定理的关键是找“基准面基准面”和和“电线杆电线杆”。A1D1C1B1ACBDFE证明证明:设正方体的棱长为设正方体的棱长为1,建立如图的空间直角坐标系建立如图的空间直角坐标系xyzA1D1C1B1ACBDFEA AB BC CO O 小结小结1.直线与平面垂直的定义直线与平面垂直的定义 2.平面的法向量：平面的法向量：3.平面的向量表示：平面的向量表示：4.两平面平行或重合、垂直的充要条件两平面平行或
13、重合、垂直的充要条件 6.6.有关平面的斜线概念，有关平面的斜线概念，三垂线定理及其逆定理三垂线定理及其逆定理 P104P104巩固性训练11.设设 分别是直线分别是直线l1,l2的方向向量的方向向量,根据下根据下 列条件列条件,判断判断l1,l2的位置关系的位置关系.平行平行垂直垂直平行平行巩固性训练21.设设 分别是平面分别是平面,的法向量的法向量,根据根据 下列条件下列条件,判断判断,的位置关系的位置关系.垂直垂直平行平行相交相交1、设平面、设平面 的法向量为的法向量为(1,2,-2),平面平面 的法向量为的法向量为(-2,-4,k),若若 ，则，则k=；若；若 则则 k=。2、已知、已
14、知 ，且，且 的方向向量为的方向向量为(2,m,1)，平面，平面的法向量为的法向量为(1,1/2,2),则则m=.3、若、若 的方向向量为的方向向量为(2,1,m),平面平面 的法向量为的法向量为(1,1/2,2),且且 ，则，则m=.巩固性训练31如图，正方体如图，正方体 中，中，E为为 的中点，的中点，证明：证明：/平面平面AEC练习练习:用空间向量来解决下列题目用空间向量来解决下列题目2 2、在正方体、在正方体AC 中，中，E、F、G、P、Q、R分别是所在棱分别是所在棱AB、BC、BB A D 、D C 、DD 的中点，的中点，求证：求证：平面平面PQR平面平面EFG。BD 平面平面EFGABCDA B C D FQEGRP例例.在空间直角坐标系内，设平面在空间直角坐标系内，设平面 经过经过 点点 ，平面，平面 的法向量为的法向量为 ，为平面为平面 内任意一点，求内任意一点，求 满足的关系式。满足的关系式。解：由题意可得解：由题意可得