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1、第第 四四 章章 固体固体的的能带理论能带理论4.4 4.4 推导能带的近似思想推导能带的近似思想4.3 4.3 导体导体和绝缘体和绝缘体 4.1 4.1 能带理论简介能带理论简介4.5 4.5 布洛赫定理布洛赫定理4.2 4.2 固体的能带固体的能带第第 四四 章章 固体固体的的能带理论能带理论u 研究研究固体中固体中电子运动电子运动的主要理论的主要理论基础基础u 定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点u 说明了说明了导体、半导体及绝缘体导体、半导体及绝缘体的区别的区别u 晶体中电子的平均自由程为什么远大于原子的间距晶体中电子的平均自由程为什么远大于
2、原子的间距u 提供了分析半导体理论问题的基础，提供了分析半导体理论问题的基础，推动了半导体推动了半导体 技术的发展技术的发展u 随着计算机技术的发展，能带理论的研究从定性的随着计算机技术的发展，能带理论的研究从定性的 普遍性规律发展到对具体材料复杂能带结构的计算普遍性规律发展到对具体材料复杂能带结构的计算 能带理论能带理论是是信息技术的物理基础信息技术的物理基础1928-29 1928-29 建立能带理论并由实验证实建立能带理论并由实验证实1947.12 1947.12 发明晶体管发明晶体管1962 1962 制成集成电路制成集成电路1971 1971 Intel Intel 40044004
3、微处理器芯片微处理器芯片 23002300晶体管晶体管1982 80286 13.4万万1989 80486 120万万1993 pentium 3201993 pentium 320万万1995 pentium MMX 5501995 pentium MMX 550万万第第 四四 章章 固体固体的的能带理论能带理论集成度每集成度每 10 10 年增加年增加 1000 1000 倍倍 ！学好能带理论，你可以回答以下问题学好能带理论，你可以回答以下问题第第 四四 章章 固体固体的的能带理论能带理论金刚石为什么是绝缘体？金刚石为什么是绝缘体？硅为什么是半导体？硅为什么是半导体？金属为什么导电性好？
4、金属为什么导电性好？为什么能带理论是信息技术的物理基础？为什么能带理论是信息技术的物理基础？第第 四四 章章 固体固体的的能带能带大量大量原子有相互作用构成一个体系时，电原子有相互作用构成一个体系时，电子的能量状态（能级）如何？子的能量状态（能级）如何？n 可以可以从两方面来分析：从两方面来分析：孤立原子的能级孤立原子的能级固体的能带固体的能带 研究电子在周期势场中的运动研究电子在周期势场中的运动n 从从原子能级到固体能带原子能级到固体能带 原子原子中的电子处于不同的能级中的电子处于不同的能级。几个原子有相互作用构成一个体系时电子几个原子有相互作用构成一个体系时电子 的能级如何？的能级如何？第
5、第 四四 章章 固体固体的的能带能带先看两个原子的情况先看两个原子的情况。Mg。Mg1s2s2p3s3p根据根据泡利不相容原理，原来的泡利不相容原理，原来的能级已填满不能再填充电子能级已填满不能再填充电子分裂分裂为两条为两条1s2s2p3s3p空带空带价带价带第第 四四 章章 固体固体的的能带能带n 各各原子间的相互作用原子间的相互作用原来孤立原子的能级发生分裂原来孤立原子的能级发生分裂n 若若有有N N个原子组成一体，对于原来孤立个原子组成一体，对于原来孤立原子的原子的 一个能级，就分裂成一个能级，就分裂成N N条靠得很近的能级，称条靠得很近的能级，称 为为能带（能带（energy band
6、energy band）。）。能带的宽度记作能带的宽度记作 E E，E E eV eV 的量级的量级 n 若若N N数量级为数量级为10102323，则能带中两相邻能级的，则能带中两相邻能级的间距约间距约 10 10-23-23eVeV。第第 四四 章章 固体固体的的能带能带能级能级能带能带N N条条能隙，禁带能隙，禁带 E E一般规律：一般规律：p 越是越是外层电子，能带越宽，外层电子，能带越宽，E E越大越大。p 点阵间距越小，能带越宽，点阵间距越小，能带越宽，E E越大。越大。p 两个能带有可能重叠。两个能带有可能重叠。第第 四四 章章 固体固体的的能带能带能带重叠示意图能带重叠示意图金
7、刚石的能带金刚石的能带钠的能带钠的能带第第 四四 章章 固体固体的的能带能带电子在周期性晶格中电子在周期性晶格中的运动，电子的运动，电子共有化，受到共有化，受到周期性势场的作用。周期性势场的作用。孤立原子中电子的孤立原子中电子的势阱势阱电子能级电子能级+势垒势垒第第 四四 章章 固体固体的的能带能带解解定态薛定谔方程，定态薛定谔方程，可以得出可以得出两两点重要点重要结论：结论：电子电子的能量是量子化的能量是量子化的的电子的运动有隧道效应电子的运动有隧道效应#原子原子的的外层电子外层电子（在高能级）（在高能级）势垒穿透概率较大，势垒穿透概率较大，电子可以在整个固体中运动，称为电子可以在整个固体中
8、运动，称为共有化电子共有化电子。原子。原子的内层电子与原子核结合较紧，一般不是共有化电子，的内层电子与原子核结合较紧，一般不是共有化电子，称为称为离子实离子实。第第 四四 章章 固体固体的的能带能带三三 .能带中电子的排布能带中电子的排布 固体中的一个电子只能处在某个能带中的固体中的一个电子只能处在某个能带中的 某一能级上。某一能级上。1.1.排布原则：排布原则：（1 1）服从泡里不相容原理（费米子）服从泡里不相容原理（费米子）（2 2）服从能量最小原理服从能量最小原理 对孤立原子的一个能级对孤立原子的一个能级 E Enl nl ，它它最多能最多能容纳容纳 2(22(2l l+1)+1)个电子
9、。个电子。这一能级分裂成由这一能级分裂成由 N N个能级组成的能带，个能级组成的能带，一个能带最多能容纳一个能带最多能容纳 2 2 (2(2l l+1)+1)N N 个电子。个电子。第第 四四 章章 固体固体的的能带能带2 2p p、3 3p p能带，最多容纳能带，最多容纳 6 6个电子。个电子。例如，例如，1 1s s、2 2s s能带，最多容纳能带，最多容纳 2 2个电子。个电子。每个能带最多容每个能带最多容纳纳 2 2个电子个电子每个能带最多容每个能带最多容纳纳 6 6个电子个电子MgMg原子原子1s1s2s2s2p2p3s3s3p3p晶体晶体MgMg（N N个原子）个原子）电子排布时，
10、电子排布时，应从最低的能应从最低的能级排起。级排起。第第 四四 章章 固体固体的的能带能带l 满带：填满电子的满带：填满电子的能带能带l 不满带：未填满电子的能带不满带：未填满电子的能带l 空带：没有电子占据的能带空带：没有电子占据的能带l 禁带：不能填充电子的能区禁带：不能填充电子的能区l 价带：在价带：在0k0k时能被电子占满的最高能时能被电子占满的最高能 带，对半导体价带通常是慢带带，对半导体价带通常是慢带l 导带：半导体最外面（能量最高）的导带：半导体最外面（能量最高）的 一个能带。一个能带。u 能带能带被占据情况的几个概念：被占据情况的几个概念：空带空带 满带满带E E 不满带不满带
11、 禁带禁带价带价带导带导带第第 四四 章章 固体固体的的能带能带u 能带能带对电导的贡献对电导的贡献满带满带电子电子交换能态交换能态并不改变并不改变能量状态能量状态，所以，所以满带不满带不导电。导电。导带：导带：不满带或满带以上最低的空带不满带或满带以上最低的空带为什么把空带或不满带称为导带？为什么把空带或不满带称为导带？因为因为只有这种能带中的电子才能导电。只有这种能带中的电子才能导电。第第 四四 章章 固体固体的的能带能带这只有导带中的电子才有可能。这只有导带中的电子才有可能。E E导电导电电子在电场作用下作定向运动，电子在电场作用下作定向运动，以一定速度漂移，以一定速度漂移，v v 10
12、 10-2-2 cm/s cm/s电子得到附加能量电子得到附加能量到较高的能级上去，到较高的能级上去，第第 四四 章章 固体固体的的能带能带满带满带空带空带价带价带导带导带不满带不满带导带导带E Ep p从能带来分析导电性：从能带来分析导电性：不导电不导电E Ep p导电导电第第 四四 章章 导体和绝缘体导体和绝缘体 它们的导电性能不同，它们的导电性能不同，是因为它们的能带结构不同。是因为它们的能带结构不同。固体按导电性能的高低可以分为固体按导电性能的高低可以分为导体导体半导体半导体绝缘体绝缘体第第 四四 章章 固体固体的的能带能带n 导体导体的能带结构的能带结构 空带空带 导带导带E E某某
13、些些一一价价金属，金属，如如:Li Li 满带满带某些二价金属，某些二价金属，如如:Be,Ca,Mg,:Be,Ca,Mg,Zn,Ba Zn,Ba 导带导带 空带空带如如:Na,K,Cu,:Na,K,Cu,Al,Ag Al,Ag 空带空带价价带带第第 四四 章章 固体固体的的能带能带第第 四四 章章 固体固体的的能带能带第第 四四 章章 固体固体的的能带能带第第 四四 章章 固体固体的的能带能带 导体导体在外电场的作用下，大量共有化电子在外电场的作用下，大量共有化电子很易获得能量，集体定向流动形成电流。很易获得能量，集体定向流动形成电流。从能级图上来看，从能级图上来看，是因为其共有化电子是因为其
14、共有化电子很易从低能级跃迁到高能级上去。很易从低能级跃迁到高能级上去。E第第 四四 章章 固体固体的的能带能带u 绝缘体绝缘体的能带结构的能带结构E E 空带空带 空带空带 满带满带禁禁带带E Eg g=3=36eV6eV从能级图来看，从能级图来看，是因为满带是因为满带与空带间有一个与空带间有一个较宽较宽的禁带的禁带 绝缘体绝缘体在外电场的作用下，在外电场的作用下，共有化电子很难接受外电场的能量，共有化电子很难接受外电场的能量，所以形不成电流。所以形不成电流。当当外电场足够强外电场足够强时，共有化电子还是能越过时，共有化电子还是能越过禁带跃迁到上面的空带中，使禁带跃迁到上面的空带中，使绝缘体的
15、击穿绝缘体的击穿 。共有化电子很难从低能级（满带）共有化电子很难从低能级（满带）跃迁到高能级（空带）上去。跃迁到高能级（空带）上去。（E Eg g：3 36 eV6 eV）第第 四四 章章 固体固体的能带结构的能带结构n 绝热近似：原子核比电子重得多，考虑子运动时可不考虑原原子核比电子重得多，考虑子运动时可不考虑原 子核的运动。子核的运动。n 单电子近似：多电子转化为单电子问题多电子转化为单电子问题n 周期性势场近似：电子在等效周期性势场中运动电子在等效周期性势场中运动能带理论中的主要思想：三大近似能带理论中的主要思想：三大近似第第 四四 章章 固体固体的的能带理论能带理论u固体固体中电子中电
16、子运动遵从的薛定谔方程运动遵从的薛定谔方程电子电子离子实离子实电子离子电子离子实关联实关联 r ri i 表示表示10102929个电子量级的坐标个电子量级的坐标非常复杂无法求解！非常复杂无法求解！第第 四四 章章 固体固体的的能带理论能带理论u 绝热近似绝热近似u 离子实（原子）体系离子实（原子）体系l 价电子和内层电子的分离：内层电子与原子核一起运动构成离子实价电子和内层电子的分离：内层电子与原子核一起运动构成离子实l 绝热近似：由于电子的响应速度极快，可以将离子的运动与电子的运绝热近似：由于电子的响应速度极快，可以将离子的运动与电子的运 动分离动分离l 决定材料中声波的传播，热膨胀，晶格
17、比热，结构缺陷等性能决定材料中声波的传播，热膨胀，晶格比热，结构缺陷等性能l 周期性排列的原子体系的行为可以通过晶格动力学理论处理（通过晶周期性排列的原子体系的行为可以通过晶格动力学理论处理（通过晶 格振动中能量量子格振动中能量量子-声子描述晶体的物理特性）声子描述晶体的物理特性）u 电子体系电子体系l 遵从薛定谔方程遵从薛定谔方程l 决定材料的电导率，超导电性，能带结构，磁学性能等决定材料的电导率，超导电性，能带结构，磁学性能等第第 四四 章章 固体固体的的能带理论能带理论u绝热近似：价电子和离子实分离绝热近似：价电子和离子实分离电子电子离子实离子实电子离子电子离子实关联实关联 r ri i
18、 表示表示10102929个电子量级的坐标个电子量级的坐标方程依然复杂无法求解！方程依然复杂无法求解！布洛赫定理布洛赫定理u单电子近似：电子在等效周期性势场中运动，通过分离变量求解，获得单电子近似：电子在等效周期性势场中运动，通过分离变量求解，获得N N个形式完全相同的薛定谔方程，只须求解一个方程！个形式完全相同的薛定谔方程，只须求解一个方程！通过解这个方程我们可以得到能量本通过解这个方程我们可以得到能量本征值征值E E与动量与动量K K的关系，即能带结构图的关系，即能带结构图下一步怎么近似简化？下一步怎么近似简化？多电子问题转化为单电子问题多电子问题转化为单电子问题电子波电子波函数函数布洛赫
19、定理布洛赫定理能隙起因能隙起因能隙（禁带）物理原因？能隙（禁带）物理原因？p 电子会受周期性势场的散射电子会受周期性势场的散射产生禁带产生禁带p 当布拉格反射当布拉格反射条件满足时，沿条件满足时，沿一个方向行进一个方向行进的波的波受到反射，沿相受到反射，沿相反方向传播，反射波与入射反方向传播，反射波与入射波干涉，形成波干涉，形成驻波驻波能隙的能隙的起因起因p 以自由电子一维情况为例以自由电子一维情况为例(r)=exp(ikr)(+)=exp(ix/a)+exp(-ix/a)=2cos(x/a)(-)=exp(ix/a)-exp(-ix/a)=2isin(x/a)能隙（禁带）物理原因？能隙（禁带
20、）物理原因？简并能级在晶格势作用下分裂简并能级在晶格势作用下分裂两个驻波两个驻波(+)(+)和和 (-)(-)使电子聚集在不同的区域内，使电子聚集在不同的区域内，(+)(+)态的电子在离子实附近，受到强的吸引势，使势能降低到平态的电子在离子实附近，受到强的吸引势，使势能降低到平面波所对应的平均势能之下，而面波所对应的平均势能之下，而(-)(-)态则相反。因此在布里态则相反。因此在布里渊区边界上产生能隙。渊区边界上产生能隙。电子几率密度电子几率密度能隙起因能隙起因l 什么是能带？什么是能带？l 能带中基本概念如价带，导带能带中基本概念如价带，导带l 怎么区分导体和绝缘体？怎么区分导体和绝缘体？l 能隙产生的原因？能隙产生的原因？l 如何用能带理论论述导电？如何用能带理论论述导电？l 能带理论的近似思想（选修）能带理论的近似思想（选修）本讲要点本讲要点