《《数学物理方程-福州大学-江飞》3.3格林函数.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《数学物理方程-福州大学-江飞》3.3格林函数.ppt（46页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1.1.格林函数及其性质格林函数及其性质3 3 格林函数格林函数*引入格林函数动机引入格林函数动机回顾调和函数的积分公式回顾调和函数的积分公式其中其中 自然期望利用该公式求解调和方程的狄利克雷问题或自然期望利用该公式求解调和方程的狄利克雷问题或诺伊曼问题。诺伊曼问题。福州大学数学与计算机科学学院江飞福州大学数学与计算机科学学院江飞:*考虑调和方程的狄利克雷问题（狄氏问题）考虑调和方程的狄利克雷问题（狄氏问题）令令由格林第二公式知由格林第二公式知（1 1）让其与（让其与（1 1）式相减）式相减,可得可得我们称我们称 为狄氏问题的格林函数（狄氏问题的源函数）。为狄氏问题的格林函数（狄氏问题的源函数
2、）。注意到注意到因此狄氏问题的解为因此狄氏问题的解为该方法称为格林函数法！该方法称为格林函数法！格林函数法意义格林函数法意义（1 1）格林函数仅依赖于区域：）格林函数仅依赖于区域：（2 2）对于某些特殊区域是可以用初等方法求得格林函数。）对于某些特殊区域是可以用初等方法求得格林函数。（3 3）可利用格林函数研究解的性质。）可利用格林函数研究解的性质。点源函数（狄点源函数（狄拉克函数）拉克函数）*格林函数性质格林函数性质（1 1）格林函数）格林函数 除除 一点外处处满足调和方程，一点外处处满足调和方程，而当而当 时，时，其阶数和，其阶数和相同。相同。（2 2）（4 4）（5 5）（3 3）（利用
3、极值原理（利用极值原理）（3-53-5）证明见习题）证明见习题1.2.1.2.*格林函数物理意义格林函数物理意义接地导体壳接地导体壳设在点设在点 处置一单位点处置一单位点 正电正电荷，那么所产生的电位势为荷，那么所产生的电位势为 由于导电面是接地的，导电面内的由于导电面是接地的，导电面内的电位为电位为其中其中 表示导电面上感应电荷所产生的电位！表示导电面上感应电荷所产生的电位！（性质（性质4 4互易原理）互易原理）2.2.静电源像法静电源像法*原理原理 当区域的边界具有特殊的对称性时，可用当区域的边界具有特殊的对称性时，可用类似于反射波的方法求格林函数。具体地说：类似于反射波的方法求格林函数。
4、具体地说：假设在区域外也有一个点电荷，假设在区域外也有一个点电荷，它对自由空间的电场产生一个电它对自由空间的电场产生一个电位，如果这两个点电荷所产生的位，如果这两个点电荷所产生的电位在边界上恰好抵消，该假设电位在边界上恰好抵消，该假设的点电荷在的点电荷在 内的电位就等于边内的电位就等于边界上感应电荷所产生的电位。假界上感应电荷所产生的电位。假想电荷位置应该与源电荷关于边想电荷位置应该与源电荷关于边界有某种对称性（镜像法）。界有某种对称性（镜像法）。接地导体壳接地导体壳假假想想电电荷荷记记接地导体壳接地导体壳假假想想电电荷荷取取即即反演点。反演点。此时称此时称 为为 关于关于 球面的球面的并且并
5、且则则即即设设 处负点源电荷为处负点源电荷为其在其在 产生电势为产生电势为接地导体壳接地导体壳假假想想电电荷荷由于在球面上电势为零，故由于在球面上电势为零，故利用（利用（1 1）式得）式得（1 1）从而可得其电位势为从而可得其电位势为即假想电荷的电量为即假想电荷的电量为因此球上的格林函数是因此球上的格林函数是下面利用球上格林函数求下面利用球上格林函数求回顾下：该问题的解回顾下：该问题的解为此需计算格林函数的方向导数。为此需计算格林函数的方向导数。注注则则令令利用余弦定理，利用余弦定理，注意到注意到从而从而将其代入解的表达式，将其代入解的表达式，其中其中 是点是点 的坐标，的坐标，是球面是球面
6、上上的点的坐标，而的点的坐标，而泊松公式泊松公式通过镜像法，球区域格林函数公式通过镜像法，球区域格林函数公式小结：小结：求求把把 代入代入 表达式，并改写表达式，并改写成球坐标形式。成球坐标形式。*同理可得对应的同理可得对应的2D2D情况情况通过镜像法，球区域格林函数公式通过镜像法，球区域格林函数公式注意注意2D2D情况的基本解为情况的基本解为 ，故，故注意到注意到其中其中 ,是是 和和 的夹角（也是的夹角（也是 和和 的夹角），的夹角），满足满足分别为分别为 与与 上单位向量。上单位向量。则则则则例例1 1半空间第一边值问题半空间第一边值问题解：解：利用关于平面对称性易得利用关于平面对称性易
7、得上半空间格林函数为上半空间格林函数为 因此因此的形式解为的形式解为的形式解为的形式解为注注（1 1）（1 1）的推导见）的推导见p84:(3.4p84:(3.4)并利用（并利用（2.62.6），这两结果），这两结果都是在有界区域的。为此，对于上半空间问题，为都是在有界区域的。为此，对于上半空间问题，为使（使（2.62.6）成立，我们需要假定）成立，我们需要假定3.3.解的验证解的验证我们仅对我们仅对2D2D球上的狄氏问题进行验证球上的狄氏问题进行验证因此因此的解为的解为其中其中i i利用求导与积分可利用求导与积分可交换性得交换性得注注iiii下面验证边界条件，即验证下面验证边界条件，即验证记
8、记则则注注，则，则拆解区间拆解区间利用利用p85p85性质性质5 5从而从而下面证明上式右式趋于零下面证明上式右式趋于零asas设，设，则则有有有有故故（1 1）把区间分成三部分把区间分成三部分积分（积分（1 1）在这三个区间拆解，并分别记为）在这三个区间拆解，并分别记为在在 上上由于，由于，故存在正整数故存在正整数 ，使得，使得故故有有（1 1）显然显然另一方面另一方面即即有有即即故故的解为的解为因此因此有有5.5.调和函数的基本性质调和函数的基本性质如果函数序列如果函数序列 中的每个函数在某中的每个函数在某定理定理3.13.1（哈纳克第一定理（关于调和函数序列的一致哈纳克第一定理（关于调和
9、函数序列的一致收敛性定理）收敛性定理）有限区域有限区域 中都是调和函数，在闭区域中都是调和函数，在闭区域 上连续，而上连续，而且这序列在且这序列在 上一致收敛，则它有上一致收敛，则它有 上也一致收敛，上也一致收敛，并且极限函数并且极限函数 在区域在区域 中也是调和函数。中也是调和函数。，存在这样的，存在这样的 ，使当，使当 时，在时，在 上上证证中处处有中处处有 。所以根据柯西判别法知道调和。所以根据柯西判别法知道调和以以 表示调和函数表示调和函数 在在 上的值。按假设，连续上的值。按假设，连续函数序列函数序列 在在 上一致收敛，即对于任意给定的上一致收敛，即对于任意给定的处处有处处有 。由极
10、值原理，对于这些。由极值原理，对于这些 在在函数序列函数序列 在在 上也一致收敛。上也一致收敛。3D3D解的表达式解的表达式下面证明极限函数下面证明极限函数 在区域在区域 中也是调和函数。中也是调和函数。在此球上，每个调和函数均可用泊松公式表为在此球上，每个调和函数均可用泊松公式表为为此，任取一点为此，任取一点 ，以，以 为球心作一球为球心作一球 ，因为函数序列因为函数序列 一致收敛于一致收敛于 。故在上式取故在上式取得得即知即知 是球内的调和函数，定理证毕。是球内的调和函数，定理证毕。设设 是是 上的一个单调上的一个单调定理定理3.23.2（哈纳克第二定理哈纳克第二定理）不减的调和函数序列，
11、若它在不减的调和函数序列，若它在 内的某一点内的某一点 收敛，则收敛，则它在它在 中处处收敛于一个调和函数中处处收敛于一个调和函数 ，并且这种收敛在，并且这种收敛在的任一闭子区域上是一致的。的任一闭子区域上是一致的。证证*首先证明：记首先证明：记 是以是以 点为球心，点为球心，为半径为半径 中的任意一点，中的任意一点，都收敛。都收敛。的任意闭球，则对于的任意闭球，则对于注意到区域注意到区域 是开集，则是开集，则 因此因此存在存在以以 点为球心、半径为点为球心、半径为 的球的球 满足满足由泊松公式，成立由泊松公式，成立设设 是是 中的任一点，对中的任一点，对 中的任意调和函数中的任意调和函数 ，
12、因此，因此，若若 ，则，则利用调和函数的平均值公式，上式即为（哈纳克不等式）利用调和函数的平均值公式，上式即为（哈纳克不等式）注意到注意到由于由于故故即即则则对于给定的调和函数序列对于给定的调和函数序列 ，记，记利用哈纳克不等式利用哈纳克不等式注意到注意到 的收敛性，即的收敛性，即 限制限制 即即 则则综上即知综上即知故故 在在 上一致收敛，则由哈纳克第一定理知上一致收敛，则由哈纳克第一定理知 在在 上一致收敛收于一个调和函数上一致收敛收于一个调和函数 。对这些球逐一运用上述推理，即得：对这些球逐一运用上述推理，即得：对任一点对任一点 ，可以用完全落在，可以用完全落在中的折线中的折线 连接连接
13、 和和 ，而，而 可以用可以用有限个完全落在有限个完全落在 中的闭球覆盖（中的闭球覆盖（球心球心可在折线上可在折线上）。）。在在 点收敛，从而在点收敛，从而在 内处处收敛一个调和函数内处处收敛一个调和函数 。设设 是是 中任一有界闭集，由有限覆盖定理，存在有限中任一有界闭集，由有限覆盖定理，存在有限个完全落在个完全落在 中的闭球中的闭球 覆盖覆盖 。因。因 在在 中处处收敛，特别在每个闭球中处处收敛，特别在每个闭球 的球心的球心 处收敛，从而处收敛，从而 在在 上一致收敛。注意到闭球的个数有限，故上一致收敛。注意到闭球的个数有限，故 在在 上也一致收敛。上也一致收敛。定理定理3.3 3.3 设
14、设 为区域为区域 中的非负调和函数，则对中的非负调和函数，则对 中的中的任一任一有界闭子区域有界闭子区域 ，存在仅与，存在仅与 有关的正常数，使有关的正常数，使得得证证 记记 与与 的边界的边界 的距离为的距离为 。有不等式有不等式由有限覆盖定理，由有限覆盖定理，可由可由 个半径个半径为为 的开球覆盖。对的开球覆盖。对即即由哈纳克不等式可得，对于任一用由哈纳克不等式可得，对于任一用于于覆盖覆盖 的半径为的半径为 的球中的的球中的任意两点任意两点 ,，成立，成立由于由于 在在 上的最大点与最小点必上的最大点与最小点必分别落在某个半径为分别落在某个半径为 的覆盖球的覆盖球中，取中，取 ，即得，即得
15、定理定理3.43.4（可去奇点定理可去奇点定理）设设 在点在点 的邻域中除点的邻域中除点 外是调和函数，在外是调和函数，在 点附近成立点附近成立其中其中 表示表示 点和点和 点的距离，则点的距离，则总可以重新定义函数总可以重新定义函数 在点在点 的值，的值，使使 在整个所考虑的点在整个所考虑的点 的邻域中的邻域中（包括（包括 本身在内）是调和函数。本身在内）是调和函数。证证 为简单起见，不妨取为简单起见，不妨取 点为坐标原点。点为坐标原点。由泊松公式知，存在由泊松公式知，存在 满足满足下面证明下面证明 。这样我们可定义这样我们可定义则重新定义的函数则重新定义的函数 就在点的邻域中调和。就在点的
16、邻域中调和。下面证明下面证明 。记记 则则作函数作函数满足满足（1 1）使得使得及正数及正数 ，注意到（，注意到（1 1），故总存在充分），故总存在充分小的小的故故由极值原理（定理由极值原理（定理2.32.3）知）知从而从而由由 的任意性，即知的任意性，即知故故即即这就完成了可去奇点定理的证明。这就完成了可去奇点定理的证明。推论推论 如果如果 确实是调和函数确实是调和函数 的孤立点（即是的孤立点（即是不可除去的奇点），那么不可除去的奇点），那么 在在 点附近趋于无穷大点附近趋于无穷大的阶数不会低于的阶数不会低于定理定理3.43.4（可去奇点定理可去奇点定理）设设 在点在点 的邻域中除点的邻域中
17、除点 外是调和函数，在外是调和函数，在 点附近成立点附近成立使使 在整个所考虑的点在整个所考虑的点 的邻域中的邻域中则总可以重新定义函数则总可以重新定义函数 在点在点 的值，的值，是调和函数。是调和函数。（2D2D情况见习题情况见习题7 7）不妨设不妨设 就是坐标原点（可通过平移变换实现）。就是坐标原点（可通过平移变换实现）。由于由于定理定理3.5*3.5*（调和函数的解析性定理调和函数的解析性定理）设设 是区域是区域 中的调和函数，那么它在中的调和函数，那么它在 中是关于自变量中是关于自变量 的解析函数，也就是说在的解析函数，也就是说在 中任一点中任一点 的附的附近，它都可以展开成近，它都可以展开成 的幂级数。的幂级数。证证利用泊松公式利用泊松公式利用二项式定理可以将上式右端展开为利用二项式定理可以将上式右端展开为 的幂级的幂级数。数。当当 在球面上，而在球面上，而 在原点附近时这幂在原点附近时这幂级数是一致收敛的，因此可以逐项积分，而且积分后仍级数是一致收敛的，因此可以逐项积分，而且积分后仍得到一个关于得到一个关于 为一致收敛的幂级数，因此为一致收敛的幂级数，因此 在在 处是解析的。由点处是解析的。由点 的任意性知道的任意性知道 在在 内处处解析。定理证毕。内处处解析。定理证毕。多元函数幂级数多元函数幂级数p.94:1.8.9(1).10p.94:1.8.9(1).10