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1、讲解内容讲解内容 1.图像变换的目的、要求和应用图像变换的目的、要求和应用 2.一维、二维连续、离散傅立叶变换定义、一维、二维连续、离散傅立叶变换定义、性质及其应用性质及其应用目的目的 1.熟悉二维傅立叶变换定义、性质及其应用；熟悉二维傅立叶变换定义、性质及其应用；2.掌握一维傅立叶变换算法及频谱分析方法掌握一维傅立叶变换算法及频谱分析方法第三章第三章 图像变换图像变换第三章第三章 图像变换图像变换图图像像变变换换的的目目的的在在于于：使使图图像像处处理理问问题题简简化化；有有利利于于图图像像特特征征提提取取；有有助助于于从从概概念念上上增增强强对对图图像像信信息的理解。息的理解。图图像像变变
2、换换通通常常是是一一种种二二维维正正交交变变换换。一一般般要要求求：正正交交变变换换必必须须是是可可逆逆的的；正正变变换换和和反反变变换换的的算算法法不不能能太太复复杂杂；正正交交变变换换的的特特点点是是在在变变换换域域中中图图像像能能量量将将集集中中分分布布在在低低频频率率成成分分上上，边边缘缘、线线状状信信息息反反映映在在高高频频率率成分上，有利于图像处理。成分上，有利于图像处理。因因此此正正交交变变换换广广泛泛应应用用在在图图像像增增强强、图图像像恢恢复复、特特征提取、图像压缩编码和形状分析等方面。征提取、图像压缩编码和形状分析等方面。频率通常是指某个一维物理量随时间变化快慢频率通常是指
3、某个一维物理量随时间变化快慢程度的度量。程度的度量。例如例如交流电频率为交流电频率为50506060HzHz（交流电压）（交流电压）中波某电台中波某电台1026kHz1026kHz（无线电波）（无线电波）第三章第三章 图像变换图像变换图像是二维信号，其坐标轴是二维空间坐标轴，图像是二维信号，其坐标轴是二维空间坐标轴，图像本身所在的域称为图像本身所在的域称为空间域空间域（S Spacepace D Domainomain）。图像灰度值随空间坐标变化的快慢也用频率来度图像灰度值随空间坐标变化的快慢也用频率来度量，称为量，称为频率域频率域（S Spatial patial F Frequencyre
4、quency D Domainomain）。第三章第三章 图像变换图像变换第第3 3章章 图像变换图像变换每一种变换都有自己的正交函数集，引入不同的每一种变换都有自己的正交函数集，引入不同的变换变换 傅立叶变换傅立叶变换 余弦变换余弦变换 正弦变换正弦变换 图像变换图像变换 哈达玛变换哈达玛变换 沃尔什变换沃尔什变换 K-LK-L变换变换 小波变换小波变换本章讨论常用的傅立叶变换本章讨论常用的傅立叶变换。3.2 3.2 傅立叶变换傅立叶变换 在学习傅立叶级数的时候，一个周期为在学习傅立叶级数的时候，一个周期为T T的函数的函数f f(t)(t)在在-T/2,T/2T/2,T/2上满足狄利克雷（
5、上满足狄利克雷（Dirichlet)Dirichlet)条件，则在条件，则在-T/2,T/2-T/2,T/2可以展成傅立叶级数可以展成傅立叶级数 其复数形式为其复数形式为 其中其中 可见，傅立叶级数清楚地表明了信号由哪些频率分量组成可见，傅立叶级数清楚地表明了信号由哪些频率分量组成及其所占的比重，从而有利于对信号进行分析与处理及其所占的比重，从而有利于对信号进行分析与处理。3.2.1 3.2.1 连续函数的傅立叶变换连续函数的傅立叶变换 1.1.一维连续函数的傅立叶变换一维连续函数的傅立叶变换 令令f f(x x)为为实实变变量量x x的的连连续续函函数数，f f(x x)的的傅傅立立叶叶变变
6、换换用用F(u)F(u)表示，则定义式为表示，则定义式为 若已知若已知F F(u u)，则傅立叶反变换为，则傅立叶反变换为 两式称为傅立叶变换对。两式称为傅立叶变换对。这这里里f f(x x)是是实实函函数数，它它的的傅傅立立叶叶变变换换F F(u u)通通常常是是复复函函数数。F F(u u)的的实实部部、虚虚部部、振振幅幅、能能量量和和相相位位分分别别表表示示如如下：下：傅立叶变换中出现的变量傅立叶变换中出现的变量u u 通常称为频率变量。通常称为频率变量。例：矩形函数的傅立叶变换例：矩形函数的傅立叶变换函数函数：f(x)=A 0=x=(u)=+-(x)e j2utdx=0 A e j2u
7、tdx=(-A/j2u)(e-j2u-1)=(A/j2u)(eju-e-ju)e-ju=(A/u)sin(u)(e-ju)|(u)|=(A/u)|sin(u)(e-ju)|=A|sin(u)/(u)|*e jax dx=e jax/ja+c sin(x)=(e jx-e jx)/2j=(1-e j2x)e-jx/2jsin(u)=0 (u=1/时时)|e ju|=|cos(u)-jsin(u)|=1 sinx2+cosx2=1 2.2.二维连续函数的傅立叶变换二维连续函数的傅立叶变换 傅立叶变换很容易推广到二维的情况。如果傅立叶变换很容易推广到二维的情况。如果f(x，y)是连是连续和可积的，且
8、续和可积的，且F(u，v)是可积的，则二维傅立叶变换对为是可积的，则二维傅立叶变换对为 二维函数的傅立叶谱、相位和能量谱分别为二维函数的傅立叶谱、相位和能量谱分别为|F(u，v)=R2(u，v)+I2(u，v)1/2 (3.211)(u，v)=tan-1 I(u，v)R(u，v)(3.212)E(u，v)=R2(u，v)+I2(u，v)(3.213)二维连续函数二维连续函数 f(x,y)的傅立叶变换的傅立叶变换(a)(a)矩形函数矩形函数 (b)(b)图像表示图像表示 (c)(c)傅立叶谱傅立叶谱一些二维函数及其傅立叶谱一些二维函数及其傅立叶谱 3.2.2 3.2.2 离散函数的傅立叶变换离散
9、函数的傅立叶变换1.1.一维离散函数的傅立叶变换一维离散函数的傅立叶变换 假定取间隔假定取间隔x x单位的抽样方法将一个连续函数单位的抽样方法将一个连续函数f f(x x)离散化离散化为一个序列为一个序列 f f(x x0 0)，f f(x x0 0+x x)，f f x x0 0+(+(N N-1)-1)x x，如图所，如图所示。示。将序列表示成将序列表示成 f f(x x)=)=f f(x x0 0+x xx x)即即 用用 序序 列列 f f(0)(0)，f f(1)(1)，f f(2)(2)，f f(N N-1)-1)代代 替替 f f(x x0 0)，f f(x x0 0+x x)，
10、f f x x0 0+(+(N N-1)-1)x x。被抽样函数的离散傅立叶变换定义式为被抽样函数的离散傅立叶变换定义式为 F F(u)=)=式中式中u=0，1，2，N 1。反变换为。反变换为 f(x)=式中式中x=0=0，1 1，2 2，N N-1-1。例例 f(x)是一个连续函数，是一个连续函数，x=0,1,2,3时，分别取样得到时，分别取样得到 f(0)=2,f(1)=3,f(2)=4,f(3)=4由公式：由公式：(u)=(1/M)f(x)cos2 ux/M-jsin2 ux/M 3得得F(0)=1/4*f(x)exp-j20X/M /所有取样点都贡献所有取样点都贡献 x=0 /u=0,
11、exp-j20X/M=1 =1/4*f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=3.25 3 F(1)=1/4*f(x)exp-j2X/M /u=1 x=0 =1/4*(2exp0+3*exp-j/2+4*exp-j+4*exp-j3/2)=1/4-2+j /按按欧拉公式算得欧拉公式算得F(2)=1/4*(2exp0+3*exp-j+4*exp-j2+4*exp-j3)=-1/4*1+j0F(3)=1/4*(2exp0+3exp-j3/2+4exp-j3+4*exp-j9/2)=1/42+j|F0|=3.25|F1|=(2/4)2+(1/4)21/2=(5)/4|F2|=(1/4)2+(0/4)2
12、1/2=1/4|F3|=(2/4)2+(1/4)21/2=(5)/42.2.二维离散函数的傅立叶变换二维离散函数的傅立叶变换在二维离散的情况下，傅立叶变换对表示为在二维离散的情况下，傅立叶变换对表示为 F(u，v)=(3.220)式中式中u=0，1，2，M-1；v=0，1，2，N-1。f(x，y)=(3.221)式中式中 x=0，1，2，M-1；y=0，1，2，N-1。一一维维和和二二维维离离散散函函数数的的傅傅立立叶叶谱谱、相相位位和和能能量量谱谱也也分分别别由由前面式子给出，唯一的差别在于独立变量是离散的。前面式子给出，唯一的差别在于独立变量是离散的。一一般般来来说说，对对一一幅幅图图像像
13、进进行行傅傅立立叶叶变变换换运运算算量量很很大大，不不直直接接利利用用以以上上公公式式计计算算。现现在在都都采采用用傅傅立立叶叶变变换换快快速速算算法法，这这样样可可大大大大减减少少计计算算量量。为为提提高高傅傅立立叶叶变变换换算算法法的的速速度度，从从软软件件角角度度来来讲讲，要要不不断断改改进进算算法法；另另一一种种途途径径为为硬硬件件化化，它它不不但但体体积积小且速度快。小且速度快。原图原图离散傅立叶变换后的频域图离散傅立叶变换后的频域图例如例如 数字图像的傅立叶变换数字图像的傅立叶变换3.2.3 3.2.3 二维离散傅立叶变换的若干性质二维离散傅立叶变换的若干性质 离散傅立叶变换建立了
14、函数在空间域与频率域之间的转离散傅立叶变换建立了函数在空间域与频率域之间的转换关系。在数字图像处理中，经常要利用这种转换关系及其换关系。在数字图像处理中，经常要利用这种转换关系及其转换规律，因此，下面将介绍离散傅立叶变换的若干重要性转换规律，因此，下面将介绍离散傅立叶变换的若干重要性质。质。1 1周期性和共轭对称性周期性和共轭对称性 若离散的傅立叶变换和它的反变换周期为若离散的傅立叶变换和它的反变换周期为N N，则有，则有 F(u，v)=F(u+N，v)=F(u，v+N)=F(u+N，v+N)傅立叶变换存在共轭对称性傅立叶变换存在共轭对称性 F(u，v)=F*(-u，-v)这这种种周周期期性性
15、和和共共轭轭对对称称性性对对图图像像的的频频谱谱分分析析和和显显示示带带来来很大益处。很大益处。2.2.分离性分离性 一个二维一个二维傅立叶傅立叶变换可由连续两次一维变换可由连续两次一维傅立叶傅立叶变换来实现。变换来实现。xyxvxv1-D1-D离散傅离散傅立叶变换立叶变换用两次一维用两次一维DFTDFT计算二维计算二维DFTDFT 3.3.旋转性质旋转性质 平面直角坐标改写成极坐标形式：平面直角坐标改写成极坐标形式：做代换有：做代换有：如如果果 被被旋旋转转 ,则则 被被旋旋转转同同一一角角度度。即即有有傅立叶变换对：傅立叶变换对：4.4.卷积定理卷积定理3.2.5 3.2.5 傅立叶变换在
16、图像处理中的应用傅立叶变换在图像处理中的应用傅立叶变换在图像处理中是一个最基本的数学工具。傅立叶变换在图像处理中是一个最基本的数学工具。利用这个工具，可以对图像的频谱进行各种各样的利用这个工具，可以对图像的频谱进行各种各样的处理，如滤波、降噪、增强等。处理，如滤波、降噪、增强等。a)有栅格影响的原始图像有栅格影响的原始图像 b)傅里叶变换频谱图像傅里叶变换频谱图像用傅里叶变换去除正弦波噪声示例用傅里叶变换去除正弦波噪声示例3.2.5 3.2.5 傅立叶变换在图像处理中的应用傅立叶变换在图像处理中的应用 a)lena a)lena图图 b)lena b)lena图的频谱图的频谱3.2.5 3.2.5 傅立叶变换在图像处理中的应用傅立叶变换在图像处理中的应用 c)c)增强纵轴上某一谱段的强度增强纵轴上某一谱段的强度 d)d)傅里叶反变换的结果傅里叶反变换的结果3.2.5 3.2.5 傅立叶变换在图像处理中的应用傅立叶变换在图像处理中的应用